<< Предыдущая

стр. 11
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


270. Головоломка с бегунами. ABCD —квадратное поле площадью в 19,36 га. BE —
прямая дорожка, а Е отстоит от D на 110 м. Во время соревнований Адамc бежал по прямой
от А к D, а Браун начинал бег в В, добегал до E и далее устремлялся к D. Каждый бежал с
постоянной скоростью, и когда Браун достиг Е, он увидел Адамса на 30 м впереди себя.
Кто выиграл соревнование и с каким преимуществом?

271. Три скатерти. Однажды за завтраком миссис Крэкхэм объявила во всеуслышание,
что подруга подарила ей три восхитительные скатерти, все они квадратные со стороной 144
см. Миссис Крэкхэм попросила присутствующих назвать максимальные размеры
квадратного стола, который можно покрыть всеми тремя скатертями одновременно.
Скатерти можно класть на стол как угодно, лишь бы вся его поверхность оказалась
покрытой. Ответ требовалось дать с точностью до сантиметра.

272. Головоломка художника. Один художник решил приобрести холст для миниатюры,
площадь которой должна составлять 72 см2. Чтобы натянуть миниатюру на подрамник,
сверху и снизу должны быть полосы чистого холста шириной 4 см, а по бокам 2 см.

Каковы наименьшие размеры необходимого холста?

273. В саду. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— Мой приятель Томпкинс любит озадачивать нас неожиданными головоломками при
всяком удобном случае, но они не слишком глубоки. Как-то мы гуляли с ним по саду, как
вдруг, указав на прямоугольную клумбу, он заметил:

— Если бы я сделал ее на 2 м шире и на 3 м длиннее, то она стала бы на 64 м2 больше; но
если бы я сделал ее на 3 м шире и на 2 м длиннее, то она увеличилась бы на 68 м2.

Чему равны длина и ширина клумбы?

274. Перепись треугольников. Однажды профессор Рэкбрейн предложил мне
головоломку, которая очень заинтересовала его гостей.

Нарисуйте пятиугольник и соедините все его вершины между собой, как показано на
рисунке. Сколько в полученной фигуре содержится треугольников?
Чтобы пояснить задачу, укажем 6 таких треугольников: AFB, AGB, ACB, BFG, BFC и
BGC. Ответ нетрудно получить, применив определенный метод; в противном случае вы
рискуете потерять часть треугольников или сосчитать некоторые из них дважды.

275. Головоломка с загоном. Ответы к хорошо известным головоломкам, которые
даются в старых книгах, часто бывают совершенно неверными. Тем не менее создается
впечатление, что никто и никогда не замечает этих ошибок. Вот один пример подобного
рода.

У фермера был загон, имевший ограду длиной в 50 жердей, в котором помещалось только
100 овец. Допустим, фермер захотел расширить загон настолько, чтобы в нем поместилось
вдвое большее число овец.

Сколько фермеру потребуется дополнительных жердей?

276. Розарий. Однажды, попивая чай, профессор Рэкбрейн сказал:

— У моего приятеля есть сад прямоугольной формы, половину которого он хочет занять
под розарий, окружив его гравиевой дорожкой постоянной ширины. Не могли бы вы найти
общее правило, которое в равной степени было бы применимо к любому саду прямоугольной
формы независимо от соотношения между его сторонами? Все измерения следует
производить в самом саду. Единственным инструментом служит веревка, длина которой
должна быть не меньше длины сада.




277. Исправьте ошибку. Математика — наука точная, но и первоклассные математики,
как и все простые смертные, порой допускают ошибки. Заглянув в ценную работу Питера
Барлоу «Теория чисел», мы вдруг встречаем следующую задачу:
«Найдите треугольник, у которого все стороны, а также высота и медиана, проведенные
из вершины на основание, выражались бы рациональными числами».

В качестве ответа приводится треугольник со сторонами 480, 299, 209, что не только не
верно, но и совершенно непонятно.

Быть может, читателю захочется найти правильнее решение, если мы скажем, что все
пять измеряемых величин выражаются целыми числами, каждое из которых меньше ста.
Такой треугольник, очевидно, не должен быть прямоугольным.

278. Мотоциклисты. Два мотоциклиста решили попасть из пункта А в пункт В. Один из
них решил проехать 6 км до D, а затем еще 15 км прямо до В. Второй мотоциклист решил
отправиться в В через С. К великому своему удивлению, проверив пройденное расстояние по
спидометрам, мотоциклисты обнаружили, что в обоих случаях оно оказалось одинаковым. А
смогли бы они быстро ответить на простой вопрос: чему равно расстояние от А до С?




Зная, как следует действовать, можно моментально получить ответ. Сумеет ли сделать
это читатель?
279. Снова мотоциклисты. Вот еще один случай, происшедший с мотоциклистами, о
которых говорилось в предыдущей головоломке. На участке карты (см. рисунок) показаны
три дороги, образующие прямоугольный треугольник. Когда у мотоциклистов спросили,
каково расстояние между A и В, один из них ответил, что, после того как он проехал от A до
В, а оттуда к С и назад к A, на спидометре было 60 км. Второй мотоциклист добавил, что ему
случайно известно о том, что С расположено в 12 км от дороги, соединяющей A с В, то есть
от точки D (штриховая линия на рисунке). Тогда спросивший, проделав в уме очень простую
выкладку, сказал:

— Все понятно, от A до В...

А не смог бы читатель столь же быстро определить это расстояние?

280. Стоимость сада. Однажды профессор Рэкбрейн поведал своим ученикам о том, что
его соседу предложили садовый участок. Участок имеет форму треугольника, размеры
которого указаны на рисунке.




Сколько соседу придется заплатить за него, если один квадратный метр стоит 10
долларов?

281. Выбор места. Один человек купил земельный участок, расположенный между тремя
прямыми дорогами, которые образуют равносторонний треугольник. Ему захотелось
построить дом таким образом, чтобы с каждой из дорог к нему вели три прямые подъездные
аллеи, На рисунке изображен один из возможных вариантов.

Где следует построить дом, чтобы по возможности уменьшить расход на прокладку
аллей?




282. Крест из фишек. Расположите 20 фишек в форме креста, как показано на рисунке.
Сколько вы насчитаете различных случаев, когда четыре фишки сами по себе образуют
правильный квадрат?

Например, квадраты образуют фишки, составляющие концы креста, фишки,
расположенные в центре, а также фишки, которые отмечены буквами А и В.




Какие 6 фишек следует убрать, чтобы никакая четверка оставшихся фишек не
располагалась в вершинах какого-нибудь квадрата?

283. Треугольные посадки. У одного человека было 21 дерево. Деревья были посажены
в форме треугольника (см. рисунок).
Если владелец деревьев захочет огородить какой-нибудь треугольный участок своей
земли с деревьями по углам, то сколькими способами он сможет это сделать?




Пунктирные линии показывают три возможных способа. А сколько их всего?

284. Круг и диски. Как-то на ярмарке мы увидели человека, который сидел за столом,
покрытым клеенкой с большим красным кругом в центре. Человек предлагал публике
закрыть круг пятью тонкими дисками, которые лежали рядом, обещая тому, кто сумеет это
сделать, ценный приз. Все диски были одинакового размера, разумеется, меньшего, чем
красный круг (на рисунке для наглядности изображены только три диска).




Человек утверждал, что справиться с заданием очень легко, и сам, играючи, покрывал
круг дисками. Те же, кто пытался сделать это после него, неизменно терпели неудачу. Я
забыл вам сказать об одном существенном уcловии: раз положив диск, его нельзя было
больше сдвигать, иначе справиться с заданием удалось бы довольно просто. Предположим,
что диаметр красного круга равен 6 дм. Каким должен быть наименьший диаметр (скажем, с
точностью до дм) пяти дисков, чтобы с их помощью можно было бы закрыть круг?

285. Три изгороди. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— У одного человека было круглое поле, и он захотел разделить его на 4 равные части
тремя изгородями равной длины. Как это можно сделать?

— А для чего ему нужны были заборы одинаковой длины? — спросила Дора.

— Сведений об этом не сохранилось,— ответил полковник.— Нам не известно также ни
того, зачем он делил поле на 4 части, ни того, деревянными или железными были изгороди,
ни того, пастбище или пашню представляло собой поле. Я не могу даже назвать имя этого
человека, не то что сказать, каков цвет его волос. Можно показать, что для решения
головоломки все эти сведения не существенны.

286. Квадратура круга. Задача о квадратуре круга сводится к отысканию отношения
диаметра к длине окружности. Его нельзя найти с абсолютной, но можно определить с
достаточной точностью, чтобы использовать для практических целей.




Точно так же в евклидовой геометрии нельзя построить отрезок прямой, равный длине
заданной окружности. Конечно, можно получить достаточно точный результат, поставив на
ребро монету и аккуратно прокатив ее по прямой на листе бумаги, но прокатить подобным
образом сад круглой формы не так-то просто.

На рисунке изображена ломаная линия, длина которой очень близка к длине
изображенной окружности. Горизонтальное звено этой ломаной равно половине длины
окружности. Не могли бы вы найти ее с помощью простого метода, в котором
использовались бы только карандаш, циркуль и линейка?

287. Автомобиль и круг. Автомобиль едет по кругу. Его колеса, расположенные с
внешней стороны круга, движутся вдвое быстрее колес, расположенных с внутренней
стороны.

Чему равна длина окружности, которую проходят внешние колеса, если расстояние
между колесами на обеих осях 1,5 м?

288. Точильный круг. Три человека купили точильный круг диаметром 20 см. Сколько
должен сточить каждый из компаньонов, чтобы круг был разделен поровну, если исключить
4 см диаметра, которые пошли на отверстие? Практическая ценность каждой доли не
учитывается, речь идет лишь о равном дележе общей массы круга.

289. Автомобильные колеса. «Видите ли, сэр,— сказал продавец автомобилей,—
переднее колесо автомобиля, который вы покупаете, каждые 360 футов делает на 4 оборота
больше заднего; но если бы вы уменьшили длину окружности каждого колеса на 3 фута, то
переднее колесо на таком же расстоянии делало бы на целых 6 оборотов больше заднего».

Почему покупателю не захотелось, чтобы разность числа оборотов возрастала, нас не
касается. Головоломка состоит в том, чтобы найти длину окружности каждого колеса. Это
очень легко сделать.

290. Недоразумение с колесом. Вот одно любопытное недоразумение, которое многих
крайне озадачивает. Колесо делает полный оборот, пройдя расстояние от А до В. Очевидно,
что отрезок АВ равен именно длине окружности колеса. Хотя для произвольного диаметра
мы не сможем точно определить эту длину16, тем не менее мы сумеем найти для нее
приближенное значение с достаточной степенью точности. Так, если у нас колесо диаметром
28 см, мы можем умножить диаметр на 22, разделить на 7 и получим искомую длину — 88
см. Это, конечно, слишком грубое приближение, но если мы умножим его на 355 и разделим
на 113, то получим 87,9646, что уже лучше, а умножив на 3,1416, мы получим 87,9648 — еще
лучшее приближение. Но это между прочим.




Теперь заметим, что внутренний круг (ступица) тоже делает полный оборот вдоль
воображаемой пунктирной линии CD, а так как CD равно АВ, длины меньшей и большей
окружностей равны! Разумеется, даже младенцу с первого взгляда ясно, что это не верно. И
все же, где именно допущена ошибка?

Попытайтесь ее найти. Не может быть и тени сомнения в том, что ступица за один
полный оборот проходит расстояние от С до D. Тогда почему же CD не равно длине ее
окружности?

291. Знаменитый парадокс. Есть такой вопрос, который задают постоянно, но на
который я никогда не слышал удовлетворительного или достаточно убедительного для
неискушенного человека ответа. Он состоит в следующем: «Движется ли на ходу верхняя
часть велосипедного колеса быстрее нижней?»

Люди, не привыкшие к точному мышлению, неизменно встречают такой вопрос смехом и
отвечают: «Разумеется, нет!» Они считают подобный вопрос совершенно нелепым и не
достойным даже того, чтобы всерьез над ним призадуматься. «Колесо,—говорят они,— это
твердое тело, вращающееся вокруг центральной оси, и если одна из его частей стала бы
двигаться быстрее другой, то оно разлетелось бы вдребезги».

Тогда вы обращаете внимание .вашего скептика на проезжающий мимо экипаж и просите
его заметить, что спицы в нижней части колеса ясно видны, их даже можно пересчитать; а
вот в верхней части они движутся так быстро, что становятся неразличимыми. Движущееся
колесо выглядит примерно так, как оно изображено на рисунке. Наш друг вынужден
признать очевидное, но поскольку он не может дать объяснение тому, что видит, и не хочет
отказываться от своей прежней точки зрения, то, вероятно, ответит: «Ну, возможно, это
обман зрения».




Итак, повторяем вопрос: «Движется ли верхняя часть колеса быстрее нижней?»

292. Еще один парадокс с колесом. Два велосипедиста остановились на
железнодорожном мосту где-то в Сассексе, когда мимо них проходил поезд.

— Этот поезд идет из Лондона в Брайтон,— сказал Хендерсон.

— Большая его часть,— заметил Бэнкс, — а остальная — движется по направлению к
Лондону.

— О чем это, скажи на милость, ты говоришь?

— Я говорю, что если поезд идет из Лондона в Брайтон, то часть этого поезда все время
движется в противоположном направлении — из Брайтона в Лондон.

<< Предыдущая

стр. 11
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>