<< Предыдущая

стр. 21
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Если бы мы продавали яблоки кубическими сантиметрами, то как бы мы смогли узнать,
сколько кубических сантиметров содержится, скажем, в дюжине дюжин яблок?

518. На вершине горы. Профессор Рэкбрейн рассказал за завтраком, что когда он был в
Италии, то участвовал в восхождении на вершину горы, где его внимание обратили на то
обстоятельство, что кружка вмещает на вершине горы жидкости меньше, чем у подножия.

— Не могли бы вы сказать,— спросил профессор,— что это была за гора с таким
странным свойством?

519. Арифметика Купидона. Однажды утром Дора Крэкхэм показала присутствующим
листок бумаги с мешаниной цифр и знаков на нем, изображенный на рисунке. Она
утверждала, что невеста одного из молодых математиков преподнесла такой листок своему
суженому, когда была в игривом настроении.
— Что я должен с ним сделать? — спросил Джордж.

— Просто отгадай, что на нем написано,— ответила Дора.— Если на него посмотреть
должным образом, то расшифровать надпись будет нетрудно.

520. Танграмы. Читателям, быть может, будет приятно получить коллекцию
поразительно реалистичных фигур и картинок, которые представляют собой комбинации из
удивительных кусочков — танграмов. Вы видите квадрат, разрезанный на 7 кусков. Если вы
отметите точку В посредине между А и С на стороне произвольного квадрата, a D посредине
между С и Е на прилежащей стороне, то направление разрезов станет очевидным. В случаях,
приведенных на помещенных здесь рисунках, использовано два полных комплекта по 7
кусочков в каждом.




В случае 2 изображен велосипедист, 3 представляет собой человека, толкающего тачку,
4 — мальчика на ослике, 5 — машину, 6 — дом, 7 — собаку, 8 — лошадь, 9 — британского
льва.
Как нетрудно заметить, возможности таких двух комплектов безграничны, и с их
помощью удается с успехом изобразить много интересных предметов.

ОТВЕТЫ
1. Чек был выписан на сумму 31 доллар 63 цента. Человек получил 63 доллара 31 цент. После утери
пятицентовой монетки осталось 63 доллара 26 центов, что в два раза превышает сумму, указанную в чеке.

2. Когда человек вошел в магазин, у него было с собой 99 долларов 98 центов.

3. Наибольшая сумма равна 1 доллару 19 центам и составлена из одной монеты в полдоллара, одной
монеты в четверть доллара, четырех монет по 10 центов и четырех монет по 1 центу.

4. Сначала просителей было 20 человек и каждый получил по 6 долларов. Пятнадцать человек (на 5 человек
меньше) получили бы по 8 долларов каждый. Но их стало 24 (возросло на четыре человека), и каждый получил
только по 5 долларов. Сумма еженедельного пожертвования составляет, таким образом, 120 долларов.

5. Группа детей состояла из трех мальчиков и трех девочек. Каждый ребенок получил по две булочки
третьего сорта и по одной булочке второго сорта, общая стоимость всех булочек и составляет 7 центов.
6. Вилли-Лежебока проработал 16 дня и прогулял 13 дня. Сумма, которую он получил за проработанное
время (из расчета 8 долларов в день), точно совпадает с той суммой, которую он выплатил за прогулы (из
расчета 10 долларов в день).

7. Десять мешков должны содержать соответственно 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 489 однодолларовых
купюр. Первые девять чисел составляют геометрическую прогрессию. Если сумму этой прогрессии вычесть из
1000, то получится содержимое десятого мешка.

8. У игроков А, В, С, D, E, F и G перед началом игры было соответственно 4 доллара 49 центов, 2 доллара
25 центов, 1 доллар 13 центов, 57 центов, 29 центов, 15 центов и 8 центов. Ответ можно получить, двигаясь от
конца задачи к началу, однако более простой способ таков: 7 + 1 = 8; 2 7 + 1 = 15; 4 7 + 1 = 29 и т. д.
(первые сомножители представляют собой последовательные степени двойки, то есть числа 2, 4, 8, 16, 32 и 64).

9. Абрахам (А) должен получить треть всей суммы, а Бенджамин (Б) — две трети. Пусть, например, Б
может выкопать канаву за 2 ч и выбросить весь грунт за 4 ч. Тогда А выкапывает канаву за 4 ч и выбрасывает
весь грунт за 8 ч. Следовательно, при рытье канавы их силы относятся, как 2 к 4, а при выбрасывании грунта —
как 4 к 8 (то есть отношение сил остается неизменным). При этом А может выкопать канаву за то же время, за
которое Б может выбросить весь грунт (4 ч), а Б может выкопать канаву за четвертую часть того времени,
которое А тратит на выбрасывание грунта. Любые другие конкретные числа, удовлетворяющие условиям
задачи, приведут к двум аналогичным отношениям сил обоих землекопов. Следовательно, Абрахаму
причитается треть всей суммы, а Бенджамину — в два раза больше, то есть две трети.

10. Кэтрин, Джейн и Мери получили соответственно 122, 132 и 142 доллара, что как раз вместе и
составляет общую сумму их доли наследства 396 долларов. По условию задачи Джон Смит получает столько
же, сколько и его жена Кэтрин (122 доллара), Генри Снукс — в полтора раза больше своей жены Джейн (198
долларов), а Том Кроу — в два раза больше своей жены Мери (284 доллара), поэтому общая сумма наследства
равна 1000 долларов. Следовательно, имена жен указаны верно.

11. Фермер купил 19 коров за 950 долларов, 1 овцу за 10 долларов и 80 кроликов за 40 долларов, что
составляет в совокупности 100 голов общей стоимостью в 1000 долларов. Арифметически задачу нетрудно
решить с помощью метода средних: средняя стоимость одной головы скота та же, что и стоимость одной овцы.


Алгебраически задачу можно решить следующим образом. Поскольку x + y + z = 100, то x + y + z =
50.

= 1000
50x + 10y + z
-
= 50
x+ y+ z

= 950
49 + 9 y



(цены даются в долларах), или 99x + 19y = 1900. Итак, задача сводится к решению неопределенного
уравнения. Единственный28 набор x и y, удовлетворяющий этому уравнению, имеет вид x = 19, y = 1. Чтобы
общее число голов равнялось 100, z должно быть равно 80.

12. Все семь торговок продавали яблоки по 1 центу за 7 штук: в тех случаях, когда оставшихся яблок
оказывалось менее семи, их придавали по 3 цента за штуку. Таким образом, каждая торговка выручила по 20
центов. Не оспаривая ни в коей мере остроумия этой задачи, я всегда считал ее решение неудовлетворительным
из-за его неопределенности, даже если допустить, что при таком эксцентричном способе торговли можно в
полном смысле слова говорить о единой «цене» на яблоки. С тем же успехом мы могли бы считать, что
торговки продают яблоки по одной цене, но с разными скидками; продают яблоки разных сортов по разным
ценам; продают по одной цене за корзину, продают на вес, в то время как яблоки имеют разную величину,
сбавляют цену с менее свежих яблок и т. д.

В общем случае можно сказать, что п торговок, у которых имеется соответственно na + (n - 1), n(a + b) +
(n- 2), n(a + 2b) + (n- 3), ..., n[a + b(n- 1)] яблок, могут продавать их кучками по n штук на 1 цент, а
оставшиеся яблоки — по b центов за штуку, причем каждая из торговок получит выручку в a + b(n - 1) центов.
В случае нашей задачи a = 2, b = 3, n = 7.

13. Старший сын получил в наследство 55 долларов, средний — 275, младший — 385 и госпиталю была
завещана сумма 605 долларов, что вместе составляет 1320 долларов.

14. В наследство оставлено 1464 доллара (немного меньше чем 1500). Доли каждого из пяти детей равны
соответственно 1296, 72, 38, 34 и 18 долларам. Гонорар нотариуса составляет 6 долларов.

15. Доли Альфреда и Бенджамина равны соответственно 24 и 76 долларам. Действительно, если 8 (одна
треть от 24) вычесть из 19 (одна четверть от 76), то останется 11.

16. Сумма 2500 долларов, которую внес в дело Роджерс, очевидно, составляет третью часть всего капитала,
который, таким образом, до его вступления в долю равнялся 7500 долларам. Следовательно, пай Смага
составлял 4500 долларов (в 1 раза больше, чем пай Вильямсона), а пай Вильямсона — 3000 долларов.
Поскольку их паи должны стать одинаковыми, Смаг получит из взноса Роджерса 2000 долларов, а
Вильямсон — 500 долларов.

17. У Томкинса, когда он вышел из дому, было с собой 2 доллара 10 центов.

18. Наименьшая сумма (в центах), которая могла быть у одного из участников вечера, должна на единицу
превышать число участников. Суммы, принадлежащие остальным участникам, можно найти последовательным
удвоением и вычитанием 1. Следовательно, мы получим 10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153 и 2305 центов. Пусть
тот, у кого больше всего денег, начинает первым. Тогда в конце у каждого участника останется по 29 (512)
центов, то есть по 5 долларов 12 центов.


19. Продавец при каждом снижении сбавлял цену на стоимости мотоцикла. Следовательно, при
очередном снижении он предложит цену 156 долларов 25 центов.

20. Задача сводится к решению неопределенного уравнения 344x = 265y + 33. Методы решения таких
уравнений известны достаточно хорошо, поэтому мы не будем на них останавливаться. Решив уравнение,
найдем, что x = 252 и y = 327. Итак, если торговец купит 252 лошади по 344 доллара и 327 волов по 265
долларов, то лошади обойдутся ему на 33 доллара дороже, чем волы.

21. Было куплено 75 индюков по 80 центов за штуку на общую сумму 60 долларов. Оставив себе 15 птиц,
фермер продал оставшихся 60 индюков по 90 центов за штуку, всего на сумму 54 доллара, как и требовалось.
Таким образом, он получил по 10 центов прибыли с каждой из перепроданных 60 птиц.

22. Бакалейщик отложил на черный день 168 бумажных долларов, 168 монет по полдоллара и 168 монет по
четверти доллара на общую сумму 294 доллара. В каждом из шести мешков должно быть по 28 денежных
знаков каждого типа; в каждом из семи мешков — по 24 и в каждом из восьми мешков — по 21 денежному
знаку каждого типа.

23. Объяснение простое. Каждый способ продажи приведет к одинаковым результатам лишь в том случае,
если число яблок, проданных по три штуки на цент, будет относиться к числу яблок, проданных по две штуки
на цент, как 3 к 2.

Так, например, если бы у первой торговки осталось 36 яблок, а у второй 24, то выручка составила бы 24
цента вне зависимости от того, продали бы они эти яблоки сами или это сделала бы их подруга. Однако если
они отдадут подруге по равному числу яблок, то потеря в выручке составит 1 цент на каждые 60 штук. Таким
образом, если бы они оставили подруге по 60 штук, то потеряли бы на этом 2 цента. Если бы они дали ей 180
штук (по 90 каждая), то потери составили бы 3 цента и т. д.

Утрата одного цента в нашем случае происходит по той причине, что торговка, продававшая по три яблока
на цент, выигрывает 2 цента, а та, которая продавала по два яблока на цент, теряет 3 цента.


Возможно, самым справедливым было бы поделить выручку в 24 цента, дав первой торговке 9 цента, а
второй 14 цента, то есть так, чтобы каждая потеряла по цента на всей операции.
24. Общая сумма взносов, выраженная в центах, равна 300 737. Это число представимо в виде
произведения двух простых сомножителей: 311 и 967. Поскольку нам известно, что в Лиге Красной Смерти не
более 500 членов, то число членов равно 311, а взнос составляет 967 центов, или 9 долларов 67 центов.

Других решений быть не может.

25. Цыпленок стоит 2 доллара, утка 4 и гусь 5 долларов.

26. У каждого мальчика вначале было 12 центов, и он дал по 1 центу каждой девочке. У каждой девочки
было 36 центов, из которых она дала по 3 цента каждому мальчику. После этого у всех детей стало по 18
центов.

27. Костюм Мелвилла стоил 150 долларов, причем пиджак стоил 75, брюки 50 и жилет 25 долларов.

28. У Ричарда было 4 доллара, а у Джона — 2 доллара 50 центов.

29. Сотня яблок стоила 96 центов.

30. По истечении 18 лет капитал равнялся 22 781 доллару 25 центам.

31. Поскольку одна и та же фальшивая банкнота участвовала во всех операциях, то все они оказались
недействительными. Следовательно, каждый остался по отношению к своему должнику в том же положении,
что и до того момента, как банкир нашел банкноту. Кроме того, мясник еще должен фермеру 5 долларов за
теленка29.

32. Тому 7 лет, а Мэри 13 лет.

33. Миссис Вильсон 39 лет, Эдгару — 21, Джеймсу — 18, Джону — 18, Этель — 12, Дейзи 9 лет. Ясно, что
Джеймс и Джон — одногодки.

34. Де Морган родился в 1806 г. Когда ему было 43 года, то текущий год равнялся квадрату его возраста —
1849. Дженкинс родился в 1860 г. Ему было 52 + 62 (61) лет в 54 + 64 (1921) году. В 2 312 (1922) году ему
исполнилось 2 31 (62) года. И, наконец, его возраст был равен 3 5 (15) годам в 3 54 (1875) году.

35. Больным было соответственно 64 и 20 лет.

36. Демохар прожил 60 лет.

37. Отцу и матери было по 36 лет, а трое детей были шестилетними близнецами. Суммарный возраст равен
как раз 90 годам, и все остальные условия задачи также выполнены.


38. Майку сейчас 1 , Пэту 29 , и Бидди 24 года. Когда Пэт под окном своей гостиной построил
года назад), Майку было 3 , Пэту 22 и Бидди 17 года. Через 11 года Майку будет 22
свинарник (7
(столько, сколько было Пэту, когда он построил свинарник). Пэту будет 41 и Бидди 36 года, что в сумме
составит 100 лет.

39. 30 и 12 лет.

40. Мальчику 10, а сестре 4 года.

41. Детям было соответственно 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 лет, а отцу 48 лет.

42. Человек родился в 1856 г. и умер в 1920 г., достигнув возраста 64 лет. Пусть x — возраст в момент
смерти. Тогда 29x — дата рождения. Дата рождения плюс возраст составят дату смерти: 29x + x = 30x. Далее,
из условия задачи ясно, что человек был жив в 1900 г. и умер к 1930 г. Поэтому смерть произошла между этими
датами, а поскольку дата равна 30x:, то она делится на 30. Следовательно, этой датой может быть только 1920
г., что при делении на 30 дает 64. Итак, в 1900 г. человеку было 44 года.
43. Читатель родился в полдень 19 февраля 1873 г. и к полудню 11 ноября 1928 г. прожил по 10 176 дня в
каждом веке. Разумеется, XIX в. закончился в полночь 31 декабря 1900 г., который не был високосным, а 11
ноября 1928 г. читателю исполнилось 55 лет и (приблизительно) 9 месяцев.

44. Между рождением Клеопатры и смертью Боадицеи прошло 129 лет, но, поскольку их суммарный
возраст равнялся всего лишь 100 годам, был период времени в 29 лет, когда ни одной из них не было на свете
(то есть период между смертью Клеопатры и рождением Боадицеи). Следовательно, Боадицея родилась через
29 лет после смерти Клеопатры, последовавшей в 30 г. до н. э., а именно в 1 г. н. э.

45. Робинсону 32 года, его брату — 34, сестре — 38, а матери 52 года.


46. Если бы это были обыкновенные часы, то они показывали бы 4 ч 23 мин. Но поскольку минутная
стрелка двигалась в направлении, противоположном часовой, то истинное время составляло 4 ч 36 мин.
Чтобы получить истинное время, надо из 60 вычесть то количество минут, которое показывают часы.


47. Это бывает в 9 ч 6 мин, когда часовая стрелка проходит путь в 45 (6 в квадрате) минутного
деления (после XII). Если бы мы допустили дроби, меньшие одной минуты, то нашлось бы еще одно решение, а
именно: 12 ч 5 с ( мин).


48. Впервые это произойдет в 12 ч 5 мин, что можно будет неправильно истолковать (из-за
идентичности стрелок) как 1 ч мин.

49. Если циферблат треснет так, как показано на рисунке, то сумма цифр в каждой из четырех частей будет
равна 20. Искушенный читатель сразу заметит, что поскольку три десятки (римская цифра X имеется ввиду и в
числах IX и XI) соседствуют друг с другом, то две из них должны быть объединены в одной части. Это можно
сделать двумя способами.




[В первом издании своих занимательных задач Дьюдени дал воистину дьявольское решение этой
головоломки: IX надо было рассматривать вверх ногами и истолковывать как XI30. (Именно так и делается на
исходном рисунке.) Позже автор привел решение, показанное здесь. Существует еще двенадцать решений.
Читателю предлагается самому отыскать их.

<< Предыдущая

стр. 21
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>