<< Предыдущая

стр. 22
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Предполагается, что римские цифры неподвижно прикреплены к ободку циферблата. Трещина может
пересекать цифру, как показано на рисунке, но не может окружить какую-либо цифру, отделив ее от ободка.—
М. Г.]


50. Вечер начался в 10 ч 59 мин, а когда гости посмотрели на стрелки, поменявшиеся местами, те
показывали 11 ч 54 мин.
51. Истинное время равнялось 2 ч 5 мин.


52. В 3 ч 23 мин.


53. В 3 ч 41 мин.

54. Для того чтобы угол между стрелками был прямым, минутная стрелка должна быть точно на 15 мин
впереди или сзади часовой. Каждое из этих положений встретится за 12 ч 11 раз, то есть через каждые 1 ч 5
мин. Если восемь таких промежутков времени пройдет после 9 ч, то часы будут показывать 5 ч 43 мин. С
другой стороны, если после 3 ч пройдет два таких промежутка, то мы получим 5 ч 43 мин. Это и есть те два
момента времени, которые требовалось найти в задаче, причем второй момент наступит, разумеется, раньше
первого.


55. В 8 ч 23 мин и в 4 ч 41 мин. В головоломках с часами мы исходим из предположения, что на
часах можно определить дробные доли минуты.


56. До вершины холма 6 км. Вверх Вилли-Лежебока взбирался 4 ч, а вниз спустился за 1 ч.

57. Поскольку человек проходит 27 шагов за то время, за которое автомобиль проезжает расстояние в 162
шага, ясно, что автомобиль движется в 6 раз быстрее человека. Человек движется со скоростью 3 км/ч;
следовательно, скорость автомобиля 21 км/ч.

58. Если бы каждый бегун, достигнув верхней площадки лестницы, сделал целое число полных шагов и
неукороченный последний шаг, то наименьшим возможным числом ступенек было бы, конечно, 60 (3 4 5).
Но из исходного рисунка видно, что у А, шагающего через 3 ступеньки, последний шаг будет длиной лишь в
одну ступеньку. Б, перепрыгивающий через 4 ступеньки, на последнем шаге преодолеет всего лишь 3
ступеньки. И К, перепрыгивающему по 5 ступенек, на последнем шаге останется перескочить только через 4
ступеньки. Следовательно, нам надо найти наименьшее число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при
делении на 4 дает 3 и при делении на 5 дает остаток, равный 4. Это число равно 19. Таким образом, лестница
содержит 19 ступенек, из которых только 4 не изображены на рисунке.

59. Надо заметить (и в этом ключ к решению), что человек из Б. проходит 7 км за то же время, за которое
человек из Э. проходит 5 км. Пусть, к примеру, расстояние между городами 24 км, тогда они встретились на
расстоянии 14 км от Э. Человек из Э. двигался со скоростью 3 км/ч, а человек из Б.— со скоростью 4 км/ч.
Оба закончили свой путь в 7 час. вечера.


60. Велосипедист проедет один километр за 3 мин, или со скоростью км/мин. Ветер изменяет его
скорость на км/мин. Следовательно, по ветру он движется со скоростью км/мин, а против ветра — со
скоростью км/мин, так что 1 км он проезжает за 3 и за 4 мин соответственно, как и утверждалось.


61. За 3 мин. Команда в стоячей воде проходит всего расстояния в минуту, а течение — всего
расстояния в минуту. Разность и сумма этих дробей равны соответственно и . Следовательно, путь против
(или 8 ) мин, а по течению (или 3 ) мин.
течения займет

62. Если я прошагаю 26 ступенек; то мне потребуется на спуск 30 с, а если 34, то — 18 с. Умножая 30 на 34
и 26 на 18, мы получим 1020 и 468, разность между этими числами равна 552. Разделив ее на разность между 30
и 18 (то есть на 12), мы получаем в ответе 46, число ступенек на эскалаторе, который движется со скоростью 1
ступенька за 1 с. Скорость, с которой я двигаюсь по эскалатору, роли не играет, поскольку ступенька, с
которой я схожу, достигает платформы в один и тот же момент вне зависимости от того, что я делал до этого.


63. Пусть Андерсон проедет 11 км, бросит велосипед и оставшуюся часть пути пройдет пешком. Браун
будет идти пешком до тех пор, пока не подберет велосипед, а затем проедет на нем оставшуюся часть пути.
При этом он прибудет в пункт назначения одновременно с Андерсоном, и весь путь займет у них 3 ч 20 мин.
Можно также разделить 20 км на 9 участков по 2 км каждый, причем Андерсон должен будет ехать первым. В
этом случае Андерсон проедет каждый из своих 5 участков за ч и пройдет пешком каждый из оставшихся 4
участков за ч, затратив на весь путь 3 ч. Браун проедет каждый из своих 4 участков за ч и пройдет пешком
каждый из оставшихся 5 участков за ч, затратив на весь путь также 3 ч. Расстояния, которые проедут
Андерсон и Браун соответственно, относятся друг к другу как 5 к 4, а расстояния, которые они пройдут
пешком, как 4 к 5.


64. Андерсон проезжает 7 , Браун 1 , а Картер 11 км, что в сумме составляет 20 км. Они могут ехать в
любом порядке, но при этом каждый должен воспользоваться велосипедом только один раз, а второй ездок
должен идти пешком и до и после езды. Путешествие займет у каждого 3 ч, и, следовательно, все прибудут в
пункт назначения одновременно.

65. Аткинс везет Кларка 40 км и высаживает, чтобы оставшиеся 12 км тот прошел пешком. Затем он
возвращается назад, в 16 км от старта подбирает Болдуина и везет его до конца пути. Все трое тратят на дорогу
5 ч. Другое решение состоит в том, что Аткинс сначала 36 км везет Болдуина и возвращается за Кларком,
прошедшим к этому времени 12 км. Мотоцикл в обоих случаях проехал по 100 км, в том числе 24 км без
пассажиров.

66. Проделанное связным расстояние равно квадратному корню из удвоенного квадрата 40, прибавленному
к 40, что составляет 96,568 км, или приблизительно 96 км.


67. Относительная скорость встречных поездов составляет 600 футов в 5 с, или 81 миль/ч. Когда поезда
движутся в одном направлении, то их относительная скорость составляет 600 футов в 15 с, или 27 миль/ч.
Отсюда мы получаем, что скорость более быстрого поезда равна 54 миль/ч, а скорость более медленного —
27 миль/ч.

68. Существуют два расстояния, удовлетворяющих условию задачи,— 210 и 144 мили. Последней случай
исключен, так как в условии сказано, что поезда движутся со скоростями, «не слишком отличающимися от
обычных». (Если бы мы приняли расстояние в 144 мили, то А прошел бы 140 миль за то же время, за которое B
и D прошли бы 4 мили. Так что если бы последние шли со скоростью 2 миль/ч, то первый делал бы 70
миль/ч — скорость, которую, конечно, нельзя назвать «не слишком отличающейся от обычных»!) Если
расстояние равно 210 милям, то окажется, что скорости B и D в два раза меньше скорости A, а скорость C
составляет скорости A, что выглядит вполне разумным.

69. Расстояние от Англчестера до Клинкертона составляет 200 миль. Поезд прошел 50 миль со скоростью
50 миль/ч и 150 миль со скоростью 30 миль/ч. Если бы поломка произошла на 50 миль дальше, то поезд прошел
бы 100 миль со скоростью 50 миль/ч и 100 миль со скоростью 30 миль/ч.


70. Когда Браун оставил позади всего лишь , или , всей дистанции, Томкинс уже прошел минус , или
, всей дистанции. Следовательно, скорость Томкинса в раза больше скорости Брауна. Брауну осталось
пробежать , а Томкинсу — только всей дистанции. Следовательно, Браун, чтобы прибежать хотя бы
одновременно, должен развить скорость, в 5 раз превышающую скорость Томкинса, то есть в 5 раз большую
, или бежать в раза быстрее, чем он бежал первоначально. Однако вопрос ставился не «во сколько раз», а «на
сколько», а «в раза быстрее» — это все равно, что быстрее на первоначальной скорости Брауна.
Правильным ответом, следовательно, будет: на 20 первоначальной скорости быстрее, хотя похоже на то, что
такая рекомендация практически неосуществима.

71. Утверждение о равенстве средних скоростей ошибочно. В действительности средние скорости кораблей
не равны. Первый корабль проходит милю за ч в одном направлении и за ч в обратном. Полусумма этих
дробей равна . Следовательно, средняя скорость, с которой первый корабль проходит 400 миль, равна 1 миле
за ч. Средняя скорость второго корабля составляет 1 милю за ч.
72. Расстояние между двумя пунктами равно 18 км. Точки встречи отстоят от A и B на 10 и 12 км
соответственно. Умножьте 10 (первое расстояние) на 3 и вычтите второе расстояние — 12. Что может быть
проще? Испробуйте другие расстояния до точек встречи (следя за тем, чтобы первое расстояние составляло
более второго) и вы обнаружите, что это правило действует с неизменным успехом.

73. Собака бежала со скоростью 16 км/ч. Ключом к решению задачи служат следующие рассуждения.
Расстояние, которое человеку осталось пройти рядом с собакой, составляло 81 м, или 34 (пес возвращался 4
раза), а длина дорожки равнялась 625 м, или 54. Поэтому разность скоростей (выраженных в км/ч) человека и
собаки (то есть 12) и сумма их скоростей (20) должны находиться в отношении 3 : 5.

74. Вполне очевидно, что Бакстер догонит Андерсона через один час, поскольку к этому времени они
пройдут по 4 км в одном направлении. Далее, скорость собаки составляет 10 км/ч; следовательно, за этот час
она пробежит 10 км! Когда эту головоломку предложили одному французскому профессору математики, тот
воскликнул: «Mon Dieu, quelle sґerie!»,31 совершенно не заметив, как просто она решается.

75. Девять исследователей A, B, C, D, E, F, G, H, J проезжают 40 миль, затратив на это по полному баку
горючего. Затем A передает по 1 галлону остальным восьми участникам и поворачивает назад, причем у него
остается 1 галлон на обратную дорогу. Остальные восемь участников едут еще 40 миль, затем B передает по 1
галлону семи другим исследователям. Двух галлонов ему как раз хватает на обратный путь. Семеро
исследователей проезжают еще 40 миль, затем C передает остальным шести по 1 галлону и возвращается
домой, затратив на обратный путь 3 галлона. Шестеро исследователей проезжают еще 40 миль, после чего D
передает каждому по 1 галлону и возвращается назад. Пятеро оставшихся проезжают еще 40 миль, затем E дает
каждому по 1 галлону и возвращается назад. Теперь уже четверо исследователей продвигаются еще на 40 миль
в глубь пустыни, F раздает каждому по 1 галлону и возвращается назад. G, H, J преодолевают еще 40 миль, G
дает каждому по 1 галлону и едет назад. H и J проезжают еще 40 миль, H отдает 1 галлон J и возвращается.
Наконец, последний путешественник J проезжает еще 40 миль, располагая 9 галлонами на обратный путь.
Таким образом, J достигает пункта, расположенного в 360 милях от начального. Это наибольшее расстояние,
которое можно проехать по прямой при заданных условиях.

76. Уокинхолм складывает 5 рационов на 90-мильной отметке (см. рисунок) и возвращается на базу (5
дней). Затем он оставляет 1 рацион на отметке 85 миль и возвращается к отметке 90 миль (1 день). Один рацион
профессор оставляет на отметке 80 миль и возвращается снова к отметке 90 миль (1 день). Переносит 1 рацион
на отметку 80 миль, возвращается к отметке 85 миль, подбирает оставшийся там 1 рацион и переносит его на
отметку 80 миль (1 день). «Забрасывает» 1 рацион на отметку 70 миль и возвращается к отметке 80 миль (1
день), затем возвращается на базу (1 день). Таким образом, на отметках 70 и 90 миль остается по 1 рациону.
Уокинхолм переносит 1 рацион на отметку 5 миль и возвращается на базу (1 день). Если ему нужно пройти 20
миль, то он может это сделать, дойдя до отметки 10 миль и вернувшись на базу. Переносит 4 рациона на
отметку 10 миль и возвращается на базу (4 дня). Оставляет 1 рацион на отметке 10 миль и возвращается к
отметке 5 миль, подбирает оставленный там 1 рацион и переносит его к отметке 10 миль (1 день). Переносит 2
рациона на отметку 20 миль и возвращается к отметке 10 миль (2 дня). Переносит 1 рацион к отметке 25 миль и
возвращается к отметке 20 миль (1 день). Оставляет 1 рацион на отметке 30 миль, возвращается к отметке 25
миль, забирает оставленный там 1 рацион и переносит его на отметку 30 миль (1 день). Идет к отметке 70 миль
(2 дня). Идет на базу (1 дня). Всего 23 дня.
Предпринимались попытки уменьшить это время, но все они были основаны на трюках, так или иначе
запрещенных. Например, Уокинхолма «вынуждали» оставлять не целый суточный рацион, а лишь его часть,
совершать марш-бросок или съедать суточный рацион перед уходом с очередной отметки, чтобы он мог нести
еще два суточных рациона и т. п. В последнем случае Уокинхолм на самом деле нес бы три рациона: один в
желудке и два за плечами!

Если бы маршрут профессора пролегал по пустыне, то кратчайшее время равнялось бы 86 дням, а
поступать следовало бы так.

Сложить 42 рациона в 10 милях от базы, вернуться на базу (42 дня). Отнести 1 рацион на отметку 15 миль,
вернуться к первому складу в 10 милях от базы (1 день). Оставить 20 рационов в 20 милях от базы и вернуться
к складу, расположенному в 10 милях от базы (20 дней). Отнести 1 рацион на расстояние 20 миль от базы и
вернуться в точку, отстоящую на 15 миль от базы, взять ранее оставленный там 1 рацион и перенести его к
отметке 20 миль (1 день). Перенести 10 рационов в точку, отстоящую на 30 миль от базы, и вернуться к отметке
20 миль (10 дней). Отнести 1 рацион к отметке 35 миль и вернуться к отметке 30 миль (1 день). Отнести 4
рациона на отметку 40 миль и вернуться к отметке 30 миль (4 дня). Отнести 1 рацион к отметке 40 миль и
вернуться к отметке 35 миль. Взять там 1 рацион и перенести его к отметке 40 миль (1 день). Отнести 2 рациона
в точку, отстоящую на 50 миль от базы, и вернуться к отметке 40 миль (2 дня). Отнести 1 рацион к отметке 55
миль и вернуться к отметке 50 миль (1 день). Перенести 1 рацион к отметке 60 миль и вернуться к отметке 55
миль. Взять там 1 рацион и перенести его на отметку 60 миль (1 день). Совершить оттуда переход до конечного
пункта маршрута (2 дня). Всего — 86 дней.


77. Если человек, выйдя из A, пройдет 1 км со скоростью 5 км/ч, то на это он затратит 20 мин. Обратный
путь со скоростью 4 км/ч займет у приятелей 25 мин. Таким образом, человек догонит приятеля-инвалида в
12.35. Последний к тому времени проедет км за 35 мин со скоростью 1 км/ч.




78. Предположим, что поезд идет в течение часа и имеет невероятную длину 3 км. Тогда (см. рисунок) за
это время он пройдет от B до C 60 км, а пассажир переместится от A до C, или на 63 км. С другой стороны,
если бы пассажир шел от паровоза в хвост поезда, то поезд успел бы пройти расстояние от B до C (снова 60
км), в то время как пассажир переместился бы лишь на расстояние от B до C, то есть на 57 км. Следовательно,в
первом случае скорость пассажира относительно железнодорожного полотна составляет 63, а во втором — 57
км/ч32.

79. Поскольку поезд идет 5 ч, разделим путь на 5 равных интервалов. Когда леди выезжает из
Вюрцльтауна, 4 встречных поезда уже находятся в пути, а пятый лишь отправляется со станции. Каждый из
этих 5 поездов она встретит. Когда леди проедет пути, из Мадвилля отправится новый встречный поезд, когда
она проедет пути — еще один, — еще один, — еще один и, наконец, когда она прибудет в Мадвилль,
оттуда как раз будет отправляться очередной, пятый, поезд. Если мы примем, как и следует сделать, что она не
встречает «по пути» ни этот последний поезд, ни тот, который прибыл в Вюрцльтаун, когда ее поезд
отправлялся оттуда, то по дороге из Вюрцльтауна в Мадвилль леди повстречает 9 поездов.


80. Слуга должен нести чемодан 1 км и передать его джентльмену, который донесет чемодан до станции.
Садовник должен нести другой чемодан 2 км, а потом отдать его слуге, который и донесет чемодан до
станции. Таким образом, каждый из них пронесет один чемодан 2 км — иначе говоря, труд, который затратят
на переноску багажа джентльмен, слуга и садовник, будет одинаковым.

81. Пусть n — число ступенек эскалатора; время, которое требуется, чтобы одна ступенька исчезла внизу,
примем за единицу.

Тротмен проходит 75 ступенек за n - 75 единиц времени, или со скоростью 3 ступеньки за (n - 75)/25
единиц, времени. Следовательно, Уокер проходит 1 ступеньку за (n - 75)/25 единиц времени. Но он же
проходит и 50 ступенек за n - 50 единиц времени, или 1 ступеньку за (n - 50)/50 единиц времени.
Следовательно, (n - 50)/50 = (n - 75)/25, откуда n = 100.


82. Путешествие длилось 10 ч. Аткинс прошел пешком 5 км; Браун — 13 км, а ослик,
принадлежавший Крэнби, пробежал в общей сложности 80 км. Надеюсь, ослику после такого подвига дали
хорошенько отдохнуть.


83. Велосипедисты A, B, C, D могут проехать один километр соответственно за , , и ч.
Следовательно, они совершают полный круг за , , и ч и, таким образом, в первый раз встречаются
через ч (или, что то же, через 6 мин). Четыре раза по 6 мин составит 26 мин. Поэтому четвертая встреча
всех четырех велосипедистов произойдет в 12 ч 26 мин 40 с.


84. Брукс догонит Картера через 6 мин.

85. 1) Муха встретит B в 1 ч 48 мин.

2) Определять расстояние, которое пролетит муха, не нужно. Это слишком трудная задача. Зато можно
просто найти время, когда бы могли столкнуться автомобили,— 2 ч. На самом деле муха пролетает (в
километрах):




сумма этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 300 км.

86. Наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 7 равно 420. Вычитая из него 1, получаем 419 —
возможное число ступенек. Кроме того, условиям задачи будут удовлетворять числа, полученные
последовательным прибавлением чисел, кратных 420, к 419. Следовательно, число ступенек в эскалаторе может
быть равно 419, 839, 1259, 1679 и т. д. Поскольку интересующий нас эскалатор содержит меньше 1000 ступенек
и на линии есть еще один эскалатор с меньшим числом ступенек, обладающий теми же свойствами, что и
первый, то эскалатор на «Керли-стрит» содержит 839 ступенек.


87. Молодые люди едут втрое быстрее, чем идут пешком; следовательно, всего времени им необходимо
затратить на обратный путь и только V4 ехать на автобусе. Таким образом, они будут ехать в течение 2 ч,
покрыв расстояние в 18 км, и идти пешком 6 ч. Возвратятся они ровно через 8 ч после отъезда.

88. Водитель должен провезти четверых солдат 12 км и высадить их в 8 км от пункта назначения. Затем он
должен вернуться на 8 км и подобрать еще четверых солдат (из восьми), которые к тому времени там окажутся,
провезти их 12 км и высадить в 4 км от пункта назначения. Вернувшись затем на 8 км за остальными
солдатами, которые к тому времени успеют пройти 8 км от исходного пункта, везти их 12 км до конца. Все
солдаты прибудут на место назначения одновременно, причем автомобиль пройдет 52 км за 2 ч.
Следовательно, солдаты прибудут на место в 2 ч 36 мин.

89. Расстояние между пунктами составляет 300 км.

<< Предыдущая

стр. 22
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>