<< Предыдущая

стр. 23
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



90. Расстояние равно 13 км; так что в город мистер Уилкинсон идет 2 ч, а возвращается 4 ч, затратив на
путь в общей сложности 7 ч.
91. Расстояние от Лондона до Баглминстера составляет 72 км.

92. Робинсон догонит Брауна через 12 мин после старта.

93. Для решения задачи не требуется алгебраических выкладок, не нужно знать и расстояние между
городами. Отправим оба поезда от места встречи, где бы она ни произошла, обратно с теми же скоростями.
Тогда за час первый поезд пройдет 60 км, а второй 40 км. Поэтому расстояние между поездами за час до
встречи равно 60 + 40, или 100 км.

94. Через 20 мин после начала путешествия Пэт сообщил, что пройдена половина того расстояния, которое
оставалось до Пигтауна. Следовательно, путь от Богули до Пигтауна занимает 1 ч.

Отъехав от Пигтауна на 5 миль, Пэт и полковник Крэкхэм оказались вдвое ближе к Болифойну, чем к
Пигтауну. Еще через час они достигли Болифойна. Следовательно, путь от Пигтауна до Болифойна занимает 3
ч. Поскольку 5 миль попутчики проехали за 2 ч, то за 4 ч они проезжали 10 миль. Следовательно, искомое
расстояние 10 миль.

95. Второй человек, увидев, что его приятель повернулся и идет ему навстречу, стал пятиться и прошел
таким образом 200 м. Конечно, его поведение было весьма эксцентрично, но он поступил именно так, и это
единственный ответ на вопрос задачи. В результате приятели смогли, глядя друг на друга, двигаться по прямой
в одном направлении.

96. Если бы весы были неверными из-за различного веса их чашек, то истинный вес пудинга составлял бы
154 г; первое показание весов дало бы 130, а второе 178 г. Половина суммы показаний весов (среднее
арифметическое) равна 154. Но из рисунка к условию задачи видно, что чашки весят поровну и что ошибка
проистекает из-за разницы в длине плеч коромысла33. Следовательно, показания весов равнялись 121 и 169 г, а
истинный вес составляет 143 г. Извлекая квадратный корень из произведения показаний весов, мы получим 143
(среднее геометрическое). Длины плеч весов относятся как 11 к 13.

Если мы обозначим через х истинный вес, то для разобранных случаев получим соответственно следующие
уравнения:




97. Поскольку одна банка весит 1 кг, то, глядя на левую часть рисунка, мы видим, что 8 пакетов
уравновешивают 3 кг и, следовательно, один пакет уравновешивает кг. Во втором случае один пакет
уравновешивает 6 кг. Умножив на 6, мы получим . Извлекая затем квадратный корень из , получаем , или
1 кг. Это и есть истинный вес одного пакета. Значит, восемь пакетов весят 12 кг.

98. Важно отметить, что отец, ребенок и собака вместе весили 180 фунтов, как это показано на рисунке.
Далее, разность между 180 и 162 равна 18, что совпадает с удвоенным весом собаки. Значит, собака весит 9, а
ребенок 30 фунтов, так как, если из 30 фунтов вычесть 70% этого веса, получится ровно 9.

99. На первых весах мы видим, что яблоко и 6 слив равны по весу груше, поэтому на вторых весах можно,
не нарушая равновесия, заменить грушу на яблоко и 6 слив. Затем можно убрать по 6 слив с каждой чашки и
обнаружить, что 4 яблока весят столько же, сколько и 4 сливы. Следовательно, одно яблоко равно по весу
одной сливе. Заменяя на первых весах яблоко сливой, мы получаем, что одна груша равна по весу 7 сливам. Как
пишут в старых учебниках: ч. т. д.

100. 1. Положив на разные чашки гири в 5 и 9 фунтов, отвесить 4 фунта. 2. С помощью 4 фунтов отвесить
еще 4 фунта. 3. Отвесить в третий раз 4 фунта. 4. Отвесить в четвертый раз 4 фунта, причем остаток будет
также равен 4 фунтам. 5.—9. Поделить с помощью весов каждую порцию в 4 фунта на две равные части.

102. Решениями будут числа 39 157 и 57 139. В каждом случае произведение чисел 39 и 57 минус 1 равно
2222.
103. Если квадрат целого числа оканчивается повторяющимися цифрами, то этими цифрами могут быть
лишь 4, как в случае 144 = 122. Но число таких повторяющихся цифр не может превосходить трех;
следовательно, ответом служит число 1444 = 382.

104. Расположив цифры следующим образом:




мы увидим, что обе суммы равны.

105. Умножив 273 863 на 365, получим 99 959 995. Заметим, что любое восьмизначное число, у которого
первые четыре цифры повторяются, делится без остатка на 73 (и на 137). Кроме того, если такое число
оканчивается на 5 или 0, то оно делится также и на 365 (или на 50 005). Зная эти факты, можно сразу же
выписать ответ.

106. Разделим 7 101 449 275 362 318 840 579 на 7 «уголком», как нас учили в школе. При делении 7 на 7
получим 1, следующая цифра 1 даст в частном 0, затем снова 1 и т. д., пока мы не дойдем до конца. Сверив
частное с делимым, мы увидим, что оно действительно получается при переносе первой семерки делимого в
конец. Частное, получающееся при перестановке в конец первой цифры делимого, можно найти для любого
делителя и любой цифры.

Очень интересно исследовать задачу в общем виде.

Выбрав делитель равным 2, получим число 2-10-52-6-31 578-94-736-8-4-.

Далее цикл замыкается. Черточки стоят в тех местах, где при делении на 2 нет остатка. Заметьте, что
непосредственно за черточкой следуют цифры 1, 5, 6, 3, 9, 7, 8, 4, 2. Следовательно, если необходимо, чтобы
число начиналось с 8, то я возьму 842 105 и т. д., отправляясь от цифры 8, стоящей после черточки. Если
имеется полный цикл, как в этом случае, а также в случае делителей, равных 3, 6 и 11, то количество цифр
искомого числа равно делителю, умноженному на 10 минус 2. Если вы возьмете в качестве делителя 4, то
получите пять отдельных циклов. Так, 4-10 256- даст вам числа, начинающиеся с 4 или 1; 20-512-8- — с 2, 5 или
8; 717 948- с 7; 3076-92 — с 3 или 9; 615 384- даст числа, начинающиеся с 6.

Для некоторых делителей, например для 5 и 9, хотя они и порождают несколько отдельных циклов,
требуется такое же количество цифр, как если бы они порождали один полный цикл. Наш делитель 7
порождает три цикла: один, показанный выше и дающий числа, у которых первой цифрой служат 7, 1 или 4;
второй — для чисел, начинающихся с 5, 8 или 2; третий — с 6, 9 или 3.

107. Мы можем разделить 857 142 на 3, просто перенеся 2 из конца в начало, либо разделить 428 571,
перенеся 1.

108. Вот как можно выразить число 64 с помощью двух четверок и арифметических знаков:




[Интерес к задаче «Четыре четверки» с момента ее опубликования периодически оживлялся. Об
относительно недавней дискуссии, посвященной этой задаче, я писал в январском номере журнала Scienti?c
American за 1964 г. (см. также заметку в разделе ответов в следующем номере того же журнала). Таблицу, в
которой с помощью четырех четверок выражены все числа от 1 до 100, можно найти в книгах: L. Harwood
Clarke «Fun With Figures» (N. Y., 1954, pp. 51—53) и Angela Dunn «Mathematical Ba?ers» (N. Y., 1964, pp. 5—8).

Число 64 легко выразить как с помощью четырех четверок: (4 + 4) (4 + 4), так и с помощью трех
четверок: 4 4 4. М. Бикнел и В. Е. Хоггат в журнале Recreational Mathematics Magazine (14, 1964) указывают
64 способа, которыми можно выразить 64 с помощью четырех четверок.
Кнут в журнале Mathematics Magazine (37, 1964, pp. 308—310) показал, как представить 64, используя
только одну четверку и три рода символов: знак квадратного корня, знак факториала и скобки. Чтобы выразить
таким образом число 64, требуется 57 знаков квадратного корня, 9 знаков факториала и 18 скобок. С помощью
вычислительной машины удалось выяснить, что все положительные целые числа, не превосходящие 208,
можно выразить аналогичным образом. Кнут высказывает предположение, что этот метод применим ко всем
целым положительным числам.

Дьюдени частично прав в своем утверждении относительно 113. Насколько мне известно, никто не сумел
представить это число без использования весьма нестандартных символов или чрезвычайно сложных процедур,
вроде той, которую предложил Кнут.— М. Г.]

109. Какие символы считать допустимыми — дело вкуса, но я бы лично предпочел обойтись без всяких log.

Вот несколько решений:




110. Если мы умножим 497 на 2, то получим 994. Если же мы сложим эти два числа, то получим 499.
Цифры в обоих случаях одни и те же. Аналогичный результат справедлив для 263 и 2. Мы получим
соответственно 526 и 265.

[Г. Линдгрен указывает, что, вводя девятки после первой цифры, можно получить два ответа при любом
желаемом числе цифр: 4997 + 2 = 4999; 499 2 = 9994; 2963 + 2 = 2965; 2963 2 = 5926; аналогично для
49 997+(или )2; 29 963+(или )2 и т. д.— М. Г.]

111. Квадрат числа 836, равный 698 896, содержит четное число цифр, причем его можно читать как
обычным способом слева направо, так и справа налево. Среди всех квадратов, содержащих данное четное число
цифр, палиндромический квадрат наименьший.

112. Если число нулей, заключенных между двумя единицами, равно любому числу, кратному 3, плюс 2, то
два сомножителя всегда можно выписать немедленно с помощью следующего любопытного правила: 1001 =
11 91; 1 000 001 = 101 9901; 1 000 000 001 = 1001 999 001; 1 000 000 000 001 = 10 001 99 990 001.
В последнем случае мы получаем требуемый ответ, а 10 001 = 73 137. Кратность вхождения 3 в 11 равна 3
(11 = 3 3 + 2). Следовательно, в каждый сомножитель мы вставляем по три нуля и добавляем лишнюю
девятку.

Если бы наше число, как я предположил, содержало 101 нуль, то наибольшее число, на которое можно
умножить 3, чтобы произведение не превосходило 101, равнялось бы 33 и сомножители содержали бы 33 нуля
и 34 девятки и имели бы вид, указанный выше. Если бы количество нулей в нашем числе было четным, то вы
смогли бы найти два сомножителя следующим образом: 1001 = 11 91; 100 001 = 11 9091; 10 000 001 = 11
909 091 и т.д.

113. Число 1 234 567 890 разлагается на множители следующим образом: 2 3 3 5 3607 3803. Если
3607 мы умножим на 10, а 3803 на 9, то получим два составных множителя: 36 070 и 34 227, дающих в
произведении 1 234 567 890 и обладающих наименьшей разностью.

114. Для того чтобы число делилось на 11, нужно, чтобы либо четыре чередующиеся цифры в сумме
давали 17, а остальные пять — 28, либо, наоборот, четыре цифры давали в сумме 28, а пять — 17. Так, в
приведенном примере (482 539 761) цифры 4, 2, 3, 7, 1 дают в сумме 17, а 8, 5, 9, 6 дают 28. Далее, четыре
цифры могут в сумме дать 17 девятью различными способами, а пять цифр могут дать 17 двумя способами.
Всего получается 11 способов. В каждом из этих 11 случаев четыре цифры можно переставить 24, а пять
цифр — 120 способами, что дает 2880 вариантов. Всего благоприятных исходов получается 2880 11 = 31680.
Поскольку девять цифр можно переставить 362 880 способами, то мы получаем 115 против 11 за то, что наугад
взятое число не будет делиться на 1134.

115. Запишем под нашим числом справа налево числа 1, 10, 11, как показано ниже:
49 1 29 3 08 2 13
10 1 11 10 1 11 10 1 11 10 1



Умножим теперь числа 1 и 10, стоящие внизу, на числа, записанные над ними, и сложим полученные
произведения; затем проделаем то же самое с числами 11 и вычтем из первой суммы вторую. В результате
получим: 13 + 08 + 29 + 49 = 99; 11 (2 + 3 + 1) = 66. Разность равна 33 и совпадает как раз с остатком от
деления нашего числа на 37.

Вот ключ к решению задачи. Если мы поделим 1, 10, 100, 1000 и т. д. на 37, то будем последовательно
получать остатки: 1, 10, 26 и снова 1, 10, 26 и т. д. Удобнее вычесть 37 из 26 и сказать, что остаток равен минус
11. Если вы примените данный метод к числу 49 629 708 213, то получите, что первая сумма равна 99, а вторая
сумма равна 165. Разность равна минус 66. Прибавьте 37 и вы получите минус 29. Но, поскольку ответ
отрицательный, прибавьте еще раз 37, и вы получите верный ответ, равный 8. Теперь вы можете применить
аналогичный метод и к другим простым делителям. В случае 7 и 13 это сделать легко. В первом из них вы
пишите 1, 3, 2 (1, 3, 2), 1, 3, 2 и т. д. справа налево, причем числа в скобках берете со знаком минус. Во втором
случае надо записать 1 (3. 4, 1), 3, 4, 1 (3, 4, 1) и т. д.

116. Обозначим наше число через ABCABCABC. Если суммы цифр, обозначенных буквами A, B и C,
равны соответственно:


А В С
18 19 8
15 15 15
12 11 22
19 8 18
22 12 11
8 18 19
11 22 12



то в первых трех случаях 11A - 10B = C, в следующих двух 11A - 10B - C = 111(3 37). И наконец, в
последних двух случаях 10B + C - 11A = 111. Если имеет место один из этих случаев, то независимо от
конкретного значения соответствующих цифр наше число делится на 37. Вот пример первого случая:


А ВС АВС AВ С
9 84 763 25 1



где сумма A-цифр равна 18, B-цифр равна 19 и C-цифр равна 8.

Нетрудно видеть, что первые три случая могут встречаться в 22, вторые два — в 10 и последние два — в 10
вариантах, то есть всего в 42 вариантах. Но в каждом варианте число перестановок цифр A равно 6, цифр B
равно 6 и цифр C тоже равно 6. Общее число перестановок будет 6 6 6 = 216. Умножив число вариантов на
число перестановок, мы получаем 9072 благоприятных (число делится на 37) исходов. Поскольку число
перестановок девяти цифр равно 362 880, то вероятность благоприятного исхода равна 9072/362880, или .
Можно сказать иначе: имеется 39 шансов против 1 за то, что число не разделится на 37.

117. Существуют четыре решения: 2 438 195 760, 3 785 942 160, 4 753 869 120, 4 876 391 520. Последняя
цифра обязана быть нулем. При любом размещении цифр с четной цифрой перед нулем число делится на 2, 3,
4, 5, 6, 9, 10, 12, 15 и 18. Остается рассмотреть только 7, 11, 13, 16 и 17. (Делимость на 8 и 14 следует из
делимости на 16 и 7.) Для делимости на 11 цифры, стоящие на четных местах, должны в сумме давать 28, а на
нечетных — 17, или наоборот. Для того чтобы наше число делилось на 7 11 13 = 1001, число, образованное
первой тройкой цифр, и число, образованное последней тройкой (мы отбрасываем нуль), в сумме должны
давать число, образованное средней тройкой цифр. (Отметим, что третий из приведенных случаев есть на
самом деле: 474 --1386 - 912, где 1 перенесена вперед и прибавлена к 4.) Однако самое лучшее, что мы можем
сделать, это умножить наименьшее общее кратное (н. о. к.) наших делителей (12 252 240) на самое маленькое
число (82), при котором произведение (1 004 683 680) будет содержать 10 цифр, а затем прибавлять н. о. к. до
тех пор, пока все цифры не станут различными.

Умножив н. о. к. на 199, получим первое решение, умножив на 309 — второе, на 388 — третье и на 398 —
четвертое решение. Выкладки можно существенно сократить, перескакивая через группы чисел, в которых
цифры очевидным образом повторяются. Все ответы можно получить с помощью арифмометра за каких-
нибудь двадцать минут.

118. Наименьшим возможным числом будет 3 333 377 733. Оно делится на 3 и на 7, и тем же свойством
обладает сумма его цифр (42). Число должно содержать по крайней мере 3 семерки и 7 троек, причем семерки
следует перенести как можно дальше вправо.

119. Искомыми числами являются 5832, 17 576 и 19 683. Сумма цифр каждого из них, равная
соответственно 18, 26 и 27, совпадает с соответствующим кубическим корнем.

120. Наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям, равно 35 641 667 749. Другие числа получаются
прибавлением к данному любого целого, кратного числу 46 895 573 610.

121. Искомыми числами будут 162, 243, 324, 392, 405, 512, 605, 648, 810 и 972. Этим, по-видимому,
исчерпываются все возможные случаи.

122. Существуют три решения: 56 169 (2372), где 56 + 69 = 125 (53); 63 001 (2512), где 63 + 01 = 64 (43) и
23 104 (1522), где 23 + 04 = 27 (33).

123. Произведение чисел 989 010 989 и 123 456 789 равно 122 100 120 987 654 321, что и требовалось
найти.

124. Ответ профессора гласил:


297 564 831
291 564 837
237 564 891
231 564 897

<< Предыдущая

стр. 23
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>