<< Предыдущая

стр. 24
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



где разность прогрессии равна соответственно 267, 273, 327 и 333. Он указал на то, что для каждой из шести
перестановок средних трех цифр можно найти соответствующее решение.

[В. Тебо в книге «Parmi les Nombres Curieux» показал, что существует 760 таких прогрессий. Кроме 456 и
его перестановок, среднее число может быть любой перестановкой следующих групп из трех цифр: 258, 267,
348 и 357.— М. Г.]

125. Если вы умножите 6666 на сумму четырех заданных цифр, то получите правильный ответ. Поскольку
1, 2, 3, 4 в сумме дают 10, то, умножая 6666 на 10, получаем ответ 66 660. Если мы будем искать сумму всех
выборок по четыре различные цифры, то получим 16 798 320, или 6666 2520.

126. Эту задачу можно решить несколькими способами. Ответ, разумеется, одинаковый во всех случаях,
равен 201 599 999 798 400. Сумма девяти цифр равна 45 и




Записав далее
девять раз, сложив и приписав в конце 00, получим ответ.


127. С помощью четырех перестановок , , , мы получим число 157 326 849, равное квадрату
числа 12 543. Однако правильное решение — , , — даст число 523 814 769, равное квадрату числа
22 887. При этом совершается всего три перестановки.

128. Наименьший квадрат равен 1 026 753 849 (32 0432); наибольший — 9 814 072 356 (99 0662).

129. Задача имеет только два решения: числа 567 (5672 = 321 489) и 854 (8542 = 729 316). При поиске
решения следует рассматривать лишь такие трехзначные числа, сумма цифр которых равна 9, 18 и 27 или 8, 17
и 26. Наименьшее трехзначное число, квадрат которого шестизначен, равно 317.

130. Суммы цифр данных шести чисел соответственно равны


46 31 42 34 25 34
146777



Складывая цифры сумм (если потребуется — не один, а несколько раз), мы получим в результате однозначные
числа, стоящие во втором ряду. Назовем эти однозначные числа цифровыми корнями исходных чисел.
Цифровые корни можно объединить в группы из трех чисел восьмью различными способами


146 147 167 177 467 477 677 777
2 3 5 6 8 9 2 3



(Внизу выписаны цифровые корни.) Как показано в моей книге «Математические развлечения», цифровой
корень квадрата должен равняться 1, 4, 7 или 9. Поэтому искомые числа должны иметь цифровые корни 4, 7, 7.
Две семерки можно выбрать тремя способами. Но если бы пятое число содержалось среди искомых, то их
сумма оканчивалась бы на 189 или на 389, что невозможно для квадрата, ибо в нем перед 89 должно стоять
четное число или 0. Следовательно, ответ имеет вид




В правой части стоит число, равное квадрату 3645.

Чтобы подчеркнуть ценность этого нового метода, я позволю себе процитировать профессора Роуза Бола:

«Данное приложение целиком обязано своим появлением мистеру Дьюдени. Свойства цифр мало известны
математикам, и мы надеемся, что его пример поможет привлечь внимание к этому методу... При решении
некоторого класса арифметических задач метод цифрового корня оказывается чрезвычайно полезным».

131. 7 + 1 = 8; 9 - 6 = 3; 4 5 = 20.

132. Приведем пять решений задачи:




133. Цифры 4, 6 и 8 должны стоять во втором разряде, поскольку никакое простое число не может
оканчиваться на эти цифры. Цифры 2 и 5 могут появиться в разряде единиц только в том случае, если простое
число однозначно, то есть если нет других цифр. После этого решение без особого труда доводится до конца:
134. В каждом из следующих восьми примеров девять цифр используются по одному разу, а разность
между соседними суммами равна 9.




135. Число 94 857 312 при умножении на 6 дает 569 143 872, причем все девять цифр в каждом случае
используются один и только один раз.

[Известны еще два решения: 89 745 321 6 = 538 471 926 и 98 745 231 6 = 592 471 386.— М. Г.]

136. Нетрудно представить число 24 с помощью трех четверок, пятерок, восьмерок или девяток:




Число 24 можно изобразить и с помощью трех единиц, шестерок и семерок. Действительно,




137. Бочки можно разместить 42 различными способами. Положение бочек 1 и 9 всегда остается
неизменным. Условимся сначала помещать бочку 2 так, чтобы она оказывалась под бочкой 1. Тогда, если бочка
3 расположится под бочкой 2, то мы получим пять вариантов размещения бочек. Если же бочка 3 расположится
справа от бочки 1, то в пяти вариантах под бочкой 2 оказывается бочка 4, в пяти — бочка 5, в четырех — бочка
6 и в двух — бочка 7. Всего получается 21 вариант. Но бочку 2 не обязательно ставить под бочку 1. С тем же
успехом ее можно расположить справа от бочки 1. При этом мы получим еще 21 вариант. Эта партия
размещений при внимательном рассмотрении оказывается не новой: все варианты переходят в один из первых
вариантов при зеркальном отражении и при переворачивании «с головы на ноги». В центре всегда
располагаются бочки 4, 5 или 6.
138. Необходимо лишь поменять местами 8 и 9, перевернув предварительно девятку так, чтобы она
превратилась в шестерку. Тогда сумма чисел в каждом столбце станет равной 18.

139. Два числа, составленные из одних лишь единиц и дающие одинаковый результат при сложении и
умножении,— это 1,1 и 11. Их сумма и произведение равны 12,1.

140. Вопрос Джорджа не застал Дору врасплох. Она немедленно дала верный ответ: 0.

141. Искомое число равно 142 857. Оно совпадает с периодически повторяющейся последовательностью
цифр, стоящих в дробной части числа , записанного в десятичной форме.

142. Искомое число равно 153. Кубы чисел 1, 5 и 3 равны соответственно 1, 125 и 27, а их сумма 153.

[Автор не заметил четвертого числа: 371. Если не считать 1, то 407, 370, 153 и 371 — единственные четыре
числа, совпадающие с суммой кубов своих цифр. Относительно более общей задачи отыскания чисел,
совпадающих с суммой n-ных степеней своих цифр, смотри книгу Joseph S. Madachy «Mathematics on
Vacations» (N. Y., 1966, pp. 163—165).— M. Г.]

143. Вот как выглядит подробная запись деления:




[Когда Дьюдени впервые опубликовал эту головоломку, один читатель прислал ему доказательство
единственности решения, однако оно слишком длинно, чтобы его здесь можно было привести.— М. Г.]

144. Полностью восстановленный пример выглядит так:




Три нуля внизу показывают, что последнее четырехзначное число делится как на 625, так и на 1000.
Следовательно, оно разлагается в произведение следующих множителей: 5, 5, 5, 2, 2, 2, x, где x — число,
которое меньше 10. У трехзначного делителя по крайней мере один из составляющих его множителей должен
равняться 5. Следовательно, последняя цифра делителя равна 5 или 0. Вычитание из единственного нуля
незадолго до конца показывает, что она равна 5. Отсюда мы сразу получаем последнее число: 5000. Делитель
не содержит 2 (иначе он не оканчивался бы на 5); следовательно, последняя цифра частного должна равняться 8
(2 2 2), делитель равен 625, а x представляет собой четвертую пятерку. Остальное делается совсем просто.

145. Ответ:




Если первое число разбить на пары (45, 39 и т. д.), то их можно переставлять в любом порядке, лишь бы пара 06
не стояла в начале, а пара 45 — в конце.

146. Довольно легко обнаружить, что делитель должен равняться 312, а в частном не может содержаться
девятка, поскольку делитель, умноженный на 9, даст повторяющиеся цифры. Таким образ.ом, известно, что
частное содержит все цифры от 1 до 8 по одному разу. Остальное уже сравнительно легко сделать. Мы
обнаружим, что имеется четыре возможных случая и что только в одном из них отсутствует повторение цифр, а
именно:




[Возможно и другое решение:




147. Приводим ответ:




Если читатель проделает указанные действия, то обнаружит, что все условия головоломки выполнены.

148. Разделив 4 971 636 104 на 124 972, мы получим 39 782. Читатель может сам произвести деление и
убедиться, что все условия выполнены. Если мы разрешим ввести дополнительные семерки в делимое, то ответ
будет иметь вид




[Возможны еще три решения:
149. Первый пример на деление имеет вид




а второй




150. Ответ имеет вид




Ясно, что R не может быть равным 1; следовательно, оно должно равняться 5 или 6 для того, чтобы во второй
строке появилось R. Далее, цифра D должна быть нулем, чтобы в пятой строке получилось V . Точно так же как
M должно быть 1, 2, 3 или 4, если R равно 5, но может быть и 5, если R равно 6. Цифра S должна быть четным
числом, если R равно 5, чтобы D равнялось 0, а если R равно 6, то 5 должно равняться 5. Выяснив все эти
факты, мы уже легко получим ответ с помощью небольшого числа проб.

151.




152. 6543 98 271 = 642 987 153.

153. Единственное слово (а не бессмысленный набор букв), удовлетворяющее заданным условиям,— это
ПОДСВЕЧНИК. Сумма расшифровывается следующим образом:




154. Ключ к коду имеет вид


12 34 567 890
АТ QВ KXSWEP



откуда мы получаем
a BEESWAX означает число 4 997 816.

155.




156.




157.




158. Очевидно, что A равно 1, а B и C обозначают либо 6 и 2, либо 3 и 5. Из третьего уравнения видно, что
они равны 3 и 5, поскольку D должно равняться 7. Буква E равна 8, так как в произведении D E появляется C
= 5. Остальное закончить совсем легко, и мы получаем следующий ответ:




159. Из зерна крестьянина должно было получиться 1 мешка муки, что после уплаты всей муки как раз
и даст ровно один мешок.

160. Ответ задачи: полкурицы плюс полкурицы, то есть одна курица. Если полторы курицы несут полтора
яйца за полтора дня, то одна курица несет по одному яйцу за полтора дня. Курица, которая несется лучше в
полтора раза, несет полтора яйца за полтора дня, или по яйцу а день. Поэтому она снесет 10 яиц (десяток яиц
с половиной) за 10 дня (полторы недели).

161. У Адама было 60 овец, у Бена 50, у Клода 40 и у Дана 30. После всех перераспределений у каждого
оказалось по 45 овец.

162. Наименьшее возможное количество яиц равно 103, а женщина ежедневно продавала по 60 штук.
Любые кратные этих чисел можно использовать в качестве ответа на вопрос задачи. Например, женщина могла
привезти 206 яиц и продавать по 120 штук или привезти 309 яиц и продавать по 180. Поскольку требовалось
найти наименьшее число, то ответ единствен.

163. Нужно просто разделить данное число на 8. Если оно разделится нацело, без остатка, то мышка — во
второй бочке. Если остаток будет равен 1, 2, 3, 4 или 5, то номер бочки совпадет с этим остатком. Если остаток
получится .больше 5, то его нужно вычесть из 10. Полученная разность равна номеру бочки. Число 500 при

<< Предыдущая

стр. 24
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>