<< Предыдущая

стр. 27
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

и (n - 2)n(n - 1)/24 квадратов, если n четно.

Если мы имеем m прямых, перпендикулярных другим n прямым, причем m меньше n, то число квадратов
равно
257. Правило заключается в следующем. Если четыре стороны образуют арифметическую прогрессию, то
наибольшая площадь равна квадратному корню из произведения всех сторон. Квадратный корень из 70 80
90 100 равен 7099 м2. Это и есть верный ответ.

258. Площадь дорожки равна точно 66 м2, что станет совершенно очевидным, если вы представите себе
маленький треугольный кусок, отрезанный снизу и перенесенный в правый верхний угол (см. рисунок).




Докажем наше утверждение. Площадь всего сада равна 55 40 = 2200 м2. Но (53 40) + 66 также равно
и 402 должна равняться
2200. Кроме того, сумма чисел , что и выполняется в действительности.
2 2




Общее решение таково. Обозначим ширину прямоугольника через B, длину через L, ширину дорожки
через C и длину дорожки через x. Тогда




В нашем случае x = 66 ; следовательно, основание прямоугольного треугольника с гипотенузой 66 м и
катетом, равным 40 м, составляет 53 м.




259. Разделим стороны треугольника точками A, B и E пополам. Если провести AB и опустить
перпендикуляры DA и CB, то ABCD будет наибольшим возможным прямоугольником, а его площадь составит
половину площади треугольника. Два других решения FEAG и KEBH подошли бы нам (у обоих та же самая
площадь), если бы они не захватывали дерево. Это правило можно приложить к любому остроугольному
треугольнику, а в случае прямоугольного треугольника получатся только два решения.




260. Многоугольник с произвольным числом сторон можно свести к равновеликому треугольнику, а
поскольку угол AGF оказался прямым, то сделать это очень легко. Продолжим отрезок GA. Приложим линейку
к точкам A и C, параллельно перенесем ее вверх до точки B и отметим точку 1. Затем соединим отрезком
прямой точки 1 и D и параллельно перенесем его вверх до точки C, отметив точку 2. Теперь приложим линейку
к точкам 2 и E, параллельно перенесем ее до точки D и отметим точку 3. Далее соединим линейкой точки 3 и F,
параллельно перенесем ее до E, отметив точку 4. Если теперь мы соединим прямой точки 4 и F то получим
треугольник G4F, площадь которого равна площади нашего неправильного поля. Поскольку на карте GF равно
7 см (70 м), то отрезок G4 равен 6 см (60 м) и площадь поля равна (70 60), или 2100 м2. Этот простой и
ценный способ определения площади многоугольников следовало бы знать каждому, но, увы, пока это остается
лишь благим пожеланием.




261. Все размеры приведены на рисунке. Обычно для того, чтобы найти решение, приходится решать
биквадратное уравнение, но поскольку в условии задачи сказано, что ответ должен быть «в целых метрах», то
можно заметить, что число 912 представимо в виде суммы квадратов единственным образом: 912 = 842 + 352.
Зная это, определить все размеры очень легко. Искомое расстояние равно 35 м.
262. Соединим прямой точки A и D (см. рисунок) и построим отрезок CE, перпендикулярный и равный
отрезку AD. Тогда точка E совпадет с центром одного из квадратов. Проведем прямую EB и продолжим ее в
обе стороны. Проведем также через C прямую FG параллельно EB, а через A и D — перпендикуляры к EB и
FG. Поскольку Н есть центр углового квадрата, то, приняв отрезок HE за единицу длины, мы обнаружим, что
доска имеет размеры 10 10.

Если бы не были даны размеры шашек, то мы могли бы разбить доску на более мелкие квадраты. Но
поскольку размеры шашек видны из рисунка, дальнейшее разбиение доски невозможно: в более мелких
квадратах наши шашки просто не уместятся. Так как расстояние между центрами квадратов равно стороне
квадрата, мы легко можем восстановить всю доску, что и показано на рисунке.

263. На рисунке слева показано чрезвычайно простое решение данной головоломки. Звездочка в центре —
это офицер, а точки — солдаты.
264. На рисунке справа изображена симметричная звезда в том самом положении, которое она занимает на
скатерти. Все другие лоскутки для большей ясности не показаны. Удивительно, как трудно обнаружить звезду
до тех пор, пока вам ее однажды не покажут. После эго решение становится совершенно очевидным.

265. Данную трапецию можно вписать в окружность. Полусумма x сторон равна 29. Вычитая из этого
числа по очереди все стороны, мы получим 9, 13, 17, 19. Произведение этих чисел равно 37 791. Квадратный
корень из полученного числа равен 194,4, что и совпадает с размером искомой площади.

266. Продолжив приведенную ниже таблицу, вы сможете получить сколько угодно рациональных
треугольников нужного вида.


P Q Высота Площадь
2 4 3 6
8 14 12 84
30 52 45 1170
112 194 168 16 296
418 724 627 226 974
1560 2702 2340 3 161 340



Числа в таблице удовлетворяют соотношению 3P2 + 4 = Q2. Каждое следующее значение P (начиная с
третьего сверху) можно найти, умножив текущее значение P на 4, после чего следует вычесть из полученного
произведения предыдущее значение P. Аналогично вычисляются и значения Q (начиная с четвертого сверху).
Высота треугольника равна P/2, площадь — произведению высоты на Q/2. Длина средней из трех сторон
всегда оказывается равной Q. В последней строке таблицы приведено наименьшее значение площади,
делящееся на 20. Стороны треугольника в этом случае равны 2701, 2702, 2703, его высота 2340.

267. На приведенном здесь рисунке показано, как можно разделить окно на восемь просветов, «у которых
все стороны тоже были бы равны». Каждый отрезок прута имеет равную длину.




Подразумевалось (хотя явно и не оговаривалось), что площади всех просветов должны быть равными, а в
нашем случае площадь каждого из четырех неправильных просветов на больше площади квадратного
просвета и ни форма, ни число сторон у них не совпадают. И все же это решение точно удовлетворяет
поставленным условиям. Если бы из каждой головоломки пришлось удалить все, что допускает неоднозначное
толкование, то она оказалась бы перегруженной всевозможными условиями. Лучше оставить кое-что
недоговоренным (разумеется, если речь идет не об олимпиадных задачах).
268. На рисунке пунктиром изображено первоначальное окно размером 1 м2. После того как владелец
загородил четыре угла, у него осталось квадратное окно вдвое меньшей площади, но в метр шириной и метр
высотой.

269. Доску следует разрезать на расстоянии от В, равном 60 - 120 = 79,732...




270. Каждая сторона поля равна 440 м, BAE — прямоугольный треугольник. Следовательно, AE = 330 м,
BE = 550 м. Если Браун пробегает 550 м за то же время, за которое Адамс пробегает 360 м (330 + 30), то
Браун может пробежать оставшиеся 100 м за то время, за которое Адамс пробежит лишь 72 м. Но 30 + 72 =
102 м, так что Браун выигрывает, опередив соперника на 8 м.
271. Три скатерти размером 144 144 см покроют стол размером 183 183 см, если их положить так, как
показано на рисунке. Квадрат ABCD — крышка стола, а квадраты 1, 2 и 3 — скатерти. Части второй и третьей
скатертей, разумеется, свесятся со стола.

272. Холст должен быть размером 10 20 см, ширина миниатюры составит 6 см, а высота 12 см. Нетрудно
проверить, что излишки при этом окажутся такими, как требуется по условию задачи.

273. Клумба имела в длину 14 м, а в ширину 10 м.

274. Задачу можно решать по-разному. Ответ всегда будет равен 35.




275. Старый ответ состоит в том, что если вы расположите жерди, как показано на рисунке в случае A, то,
добавив на концах по две жерди, как в случае B, вы получите удвоенную площадь. Надо заметить, что, во-
первых, в условии нет указаний относительно формы загона. Во-вторых, если бы даже требовалось, чтобы
первоначальный загон имел размеры 24 1, ответ все равно был бы неверен, поскольку, если вы расположите
жерди, как в случае C, то площадь увеличится с 24 «квадратных жердей» до 156, и загон вместит 650 овец,
причем число жердей останется прежним. Более того, вы можете удвоить площадь, как в случае D, оставив
всего 28 жердей. Если же потребуется использовать все жерди и увеличить площадь ровно вдвое, то можно
поступить так, как показано в случае E.
276. Отложим отрезок AD, равный четверти отрезка AB (см. рисунок), и отмерим расстояния DE и AF,
каждое из которых составляет расстояния между точками B и C. Если точка G отстоит от E на то же
расстояние, что и точка D от точки F, то длина отрезка AD как раз и будет равна искомой ширине дорожки.
Например, если сад имеет размеры 12 5 м, то ширина дорожки равна 1 м. Хотя ответ и не всегда выражается
целым числом, тем не менее измерения будут верными в любом случае.

277. Правильность приведенного здесь рисунка можно легко проверить, поскольку сумма 152 + 202 = 252,
сумма 152 + 362 = 392 и, наконец, 152 + 82 = 172, Кроме того, 20 + 8 = 28. Если бы разрешалось брать
прямоугольный треугольник, то маленький треугольник слева со сторонами 15, 25, 20 сам мог бы служить
решением, так как высота, опущенная на основание (25), равна 12, а медиана 12 .




Быть может, наши читатели, пожелав испытать собственные силы, захотят найти общее решение данной
задачи?

[Существует и другое решение: тупоугольный треугольник с основанием 66, сторонами 41 и 85 и высотой
40. Медиана этого треугольника равна 58. В этом случае высота опускается на продолжение основания, образуя
новый, прямоугольный треугольник с основанием 9 и сторонами 40 и 41.— М. Г.]

278. Известны лишь расстояния 15 и 6 км. Все, что нужно сделать,— это разделить 15 на 6 и прибавить 2,
при этом получится 4 . Разделив затем 15 на 4 ) получите 3 км. Это и будет искомым расстоянием между
двумя пунктами.

Приведенный способ применим во всех случаях, когда пути образуют прямоугольный треугольник.
Простые алгебраические выкладки покажут, откуда взялась константа 2.

Проверить справедливость нашего решения можно следующим образом. Стороны треугольника равны 15,
9 (6 плюс 3 ) и 17 км (для того чтобы независимо от маршрута расстояние равнялось 21 км). Чтобы
избавиться от дробей, умножим все числа на 3 и получим 45, 28 и 53. Если 452 (2025) плюс 282 (784) равно 532
(2809), то все верно, а это равенство можно легко проверить.
279. На рисунке показаны все расстояния. Спросившему нужно было всего лишь возвести в квадрат 60 км,
проделанные первым мотоциклистом (3600), и разделить результат на удвоенную сумму этих 60 и 12 км,
составляющих расстояние от дороги AB до C, то есть на 144. Проделав выкладки в уме, он, конечно, заметил,
что результат можно получить, разделив 300 на 12, и поэтому сразу же нашел верный ответ — 25 км. Я не
показываю здесь, как можно определить, если потребуется, остальные расстояния; сделать это совсем
нетрудно.

280. При тех размерах, которые приведены на приложенном к задаче рисунке, никакого треугольника
построить вообще нельзя, так как сумма двух меньших сторон не будет превосходить третьей стороны.
Очевидно, профессор хотел проверить сообразительность своих учеников.

281. Это снова была шутка. Владелец участка может строить дом, где пожелает, поскольку сумма
перпендикуляров, опущенных из любой внутренней точки равностороннего треугольника на стороны, равна
высоте данного треугольника.




282. Всего таких квадратов 19. Из них 9 того же размера, что и квадрат, отметенный буквами a, 4 того же
размера, что и квадрат, отмеченный буквами b, 4 размера c и 2 размера d. Если убрать 6 фишек, отмеченных
буквой e, то из оставшихся фишек нельзя будет образовать ни одного квадрата.

[На самом деле квадратов 21. Не сумеет ли читатель найти два квадрата, пропущенные Дьюдени? Ответ на
вторую часть задачи остается тем не менее верным.— М. Г.]
283. Число способов, с помощью которых из 21 дерева можно выбрать 3, равно , или 1330.
Треугольник можно образовать из любых трех деревьев, не лежащих на одной прямой. Три дерева на
пунктирной прямой AB можно выбрать 20 способами, на следующей параллельной прямой с пятью
деревьями — десятью способами, на следующей — четырьмя и на следующей — одним способом, что в
совокупности составляет 35 способов. Аналогично прямая BC вместе с параллельными даст 35 способов и
прямая AC с параллельными — тоже 35 способов. Далее, прямая AD вместе с прямыми, ей параллельными,
даст 3 способа, а прямые BF и CE со своими параллельными — по 3 способа каждая. Следовательно, 3 дерева,
лежащие на одной прямой, можно выбрать 35 + 35 + 35 + 3 + 3 + 3 = 114 различными способами. Значит,
1330 - 114 = 1216 и есть искомое число способов, с помощью которых можно огородить треугольный участок.




284. На рисунке пунктиром показаны окружность, ограничивающая красный круг, и вписанный в нее
правильный пятиугольник. Общий центр окружности и пятиугольника обозначен буквой C. Найдем точку D,
равноотстоящую от A, B и C, и радиусом AD проведем окружность ABC. Пять дисков такого размера
полностью покроют круг, если их центры поместить в точки D, E, F, G и H. Если диаметр большого круга
равен 6 дм, то диаметры дисков немного меньше 4 дм (диаметры дисков равны 4 дм «с точностью до дм»).
Если у вас нет никаких тайных отметок на круге, то потребуется немного внимания и тренированности, чтобы
класть диски на нужные места, не сдвигая их потом.

Следует добавить, что большой круг можно покрыть, если отношение диаметров превышает 0,6094185, и
невозможно, если оно меньше 0,6094180. В нашем случае, когда все диски проходят через центр, отношение
равно 0,6180340.




285. Чтобы разделить круглое поле тремя изгородями равной длины на 4 равные части, первоначально
следует разделить на 4 части диаметр круга, а затем по обе его стороны описать полуокружности, как показано
на рисунке. Изогнутые линии изобразят тогда искомые изгороди.

286. Если построить прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру круга, а другая в 3 раза
больше, то его диагональ будет довольно близка к ответу. Практически ее отношение к диаметру будет равно
, или 3,1622... Мы рекомендуем следующий метод.




Проведем диаметр AB. Разделим точкой D полуокружность пополам. Радиусом AC из точек A к B сделаем
засечки E и F и проведем прямые DE и DF. Отрезок DG плюс отрезок GH дадут длины окружности IK с
относительной погрешностью 0,005. Ломаная IKLM и будет искомой.

Существует другой метод, дающий относительную погрешность 0,017, но он сложнее.
287. Поскольку внешние колеса движутся вдвое быстрее внутренних, то длина окружности, которую они
описывают, в 2 раза больше длины внутренней окружности. Следовательно, диаметр одного круга больше
диаметра другого в 2 раза. Так как расстояние между колесами равно 1,5 м, то диаметр большего круга равен 6
м. Умножив 6 м на 3,1416 (обычное приближенное значение числа ), мы получим 18,85 м — длину
окружности большего круга.

288. Первый компаньон должен пользоваться точильным кругом до тех пор, пока радиус круга не
уменьшится на 1,754 см. Второй должен уменьшить радиус еще на 2,246 см, оставив третьему 4 см и
отверстие. Это очень хорошее приближение.

289. Окружности переднего и заднего колес равны соответственно 15 и 18 футам Таким образом, каждые
360 футов переднее колесо делает 24 оборота, а заднее — 20 и разность составляет 4 оборота. Если длину
окружности уменьшить на 3 фута, то 12 в 360 уложится 30 раз, а 15 уложится 24 раза и разность составит 6
оборотов




290. Диаметр внутреннего круга в два раза меньше наружного, следовательно, и его окружность вдвое
меньше. Если бы он просто прокатился вдоль воображаемой линии CD, то ему на это потребовалось бы два

<< Предыдущая

стр. 27
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>