<< Предыдущая

стр. 28
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

оборота: после первого точка D заняла бы положение E. Но точка B тогда попала бы в F, а не в G, что
абсурдно. Дело в том, что внутренний круг делает один оборот, но он катится по линии CD как за счет
собственного вращения, так и за счет переноса. Точка A попадает в B лишь благодаря обороту всего колеса, но
если вы представите себе точку в центре колеса (у точки нет длины окружности), то она проходит то же
расстояние за счет того, что я называю переносом. Траектория точки A представляет собой обычную циклоиду,
а точка C по дороге в D описывает трохоиду.




Мы видели, что если колесо делает один полный оборот, при котором A попадает в B, то расстояние AB
равно длине окружности, хотя и не можем выразить его точно. Далее, точка A движется по кривой, показан-
ной на рисунке, которая, как я уже говорил, называется простой циклоидой. Если диаметр колеса равен 28 см,
то мы в состоянии точно вычислить длину этой кривой. Любопытно, что, не умея точно выразить длину
прямолинейного отрезка AB, мы тем не менее можем найти точную длину кривой! Чему она равна? Я дам ответ
немедленно. Длина циклоиды в 4 раза больше длины диаметра. Следовательно, 4 28 равно искомой длине —
112 см. Кроме того, площадь фигуры, ограниченной этой кривой и отрезком AB, ровно в 3 раза больше
площади круга. Следовательно, площадь каждой из замкнутых фигур, находящихся по обе стороны круга,
равна площади круга.

291. Разумеется, каждая часть колеса вращается вокруг оси с постоянной скоростью, и, следовательно, в
случае неподвижной оси, как, например, у точильного круга, ответ будет отрицательным. Однако в случае
движущегося велосипеда не вызывает сомнений тот факт, что верхняя часть колеса движется относительно
земли быстрее нижней. Если бы дело обстояло иначе, то велосипедист оставался бы на месте, подобно
точильному кругу.
Взгляните на рисунок, где изображены четыре положения колеса, которые оно занимает за время полного
оборота от A1 до A4. Я уже упоминал об одной кривой, называемой простой циклоидой, которую описывает
точка на ободе колеса. Здесь показаны две такие кривые, описываемые точками A1 и B1. Обратите внимание,
что за пол-оборота A1 пройдет до A3, а B1 — до B3 равные расстояния. Но ни одна точка не движется все время с
постоянной скоростью. Это можно сразу же заметить, если мы рассмотрим четверть оборота, когда A1 займет
всего лишь положение A2, а B1 доберется уже до B2. Мы видим, таким образом, что точка обода движется
относительно земли медленней, когда она находится внизу, и быстрее, когда она расположена сверху.

А вот простой практический способ убедить наших недоверчивых друзей, не прибегая к помощи рисунка.
Проведите на листе бумаги прямую линию и положите монету так, чтобы год ее выпуска находился на этой
прямой. Теперь прокатите монету вдоль прямой на очень маленькое расстояние вправо и влево. При этом
станет вполне очевидно, что год выпуска едва оторвется от прямой, а верхняя часть цифры, указывающей
достоинство монеты, пройдет значительное расстояние. Это вполне убедительно показывает, что верхняя часть
колеса (то есть часть, которая в данный момент находится сверху) движется быстрее нижней.




292. Я уже говорил о том, что если вы отметите точку на ободе велосипедного колеса, то она опишет в
пространстве кривую, называемую простой циклоидой. Если же вы отметите точку на реборде колеса
локомотива или железнодорожного вагона, то она опишет трохоиду, кривую, заканчивающуюся петлями. На
рисунке я изобразил колесо с ребордой ниже уровня рельсов в трех положениях: начало, пол-оборота и полный
оборот. Точка A1 переходит в A2 и A3. Поскольку предполагается, что поезд движется слева направо, проведите
карандашом вдоль кривой в этом направлении. Вы обнаружите, что в нижней части петли карандаш в самом
деле движется справа налево. Дело в том, что «в любой заданный момент» некоторые точки внизу петли
движутся в направлении, противоположном поезду. Поскольку таких точек на окружности реборды бесконечно
много, при движении поезда они описывают бесконечно много подобных петель. Фактически некоторые точки
реборды постоянно движутся в направлении, противоположном поезду.




293. Механизм, изображенный на рисунке, состоит из двух деревянных дощечек B и C, соединенных по
углам так, что они образуют рамку. Рамка с помощью ручки n вращается вокруг оси a, которая проходит сквозь
рамку и жестко закреплена на доске или столе A. Внутри рамки на ось жестко насажено зубчатое колесо D. При
вращении рамки оно поворачивает толстое колесо E, которое, подобно остальным трем колесам F, G и H,
свободно сидит на своей оси. Тонкие колеса F, G и H приводятся в движение толстым колесом E таким
образом, что при вращении рамки H вращается в ту же сторону, что и E, G — в противоположную, a F
остается неподвижным. Секрет заключается в том, что, хотя все колеса могут быть одинакового диаметра и D,
E и F могут (D и F обязаны) иметь одинаковое число зубцов, у G, однако, зубцов должно быть по крайней
мере на один меньше, а у H по крайней мере на один больше, чем у D.

294. Простейшее, хотя и не единственное, решение показано на рисунке слева.




295. Решение ясно из рисунка справа.




296. Простое решение показано на рисунке. Земля разделена на 8 равных частей, каждая из которых
содержит по три дерева.
297. На рисунке изображен проход сквозь минное поле, составленный из двух прямолинейных участков.




298. Шесть прямых заборов поставлены так, что каждое дерево отгорожено от остальных. Мы утверждали,
что подобным же образом с помощью шести заборов можно было бы отгородить 22 дерева, если бы они были
расположены «поудобней». Мы могли бы добавить, что в таком случае каждая прямая должна пересекать все
остальные, причем никакие две точки пересечения не будут совпадать. Однако, поскольку в нашей головоломке
участвует только 20 деревьев, эти условия уже не являются необходимыми, и четыре забора пересекают только
по четыре (а не по пять) других.

299. На рисунке показаны пять разрезов, которые делят полумесяц на 21 часть.
Если число разрезов равно n, то с их помощью круг можно разрезать на (n2 + n)/2 + 1, а полумесяц на (n2 +
3n)/2 + 1 частей.




300. Возьмите полоски из толстого картона (не обязательно с прямолинейными краями) и соедините их
между собой, использовав в качестве шарнира кнопки. Две длинные полоски должны иметь, равную длину (от
центра одной кнопки до центра другой), а длины четырех нижних полосок, образующих ромб, должны быть
равны между собой. Гвоздики или иголки прикрепляют «инструмент» к столу в точках A и B, причем
расстояния от A до B и от B до C равны между собой. Если все будет сделано аккуратно и точно, карандаш,
помещенный в D, начертит прямую линию.
301. Проведите два перпендикулярных отрезка CD и EF (длина CD равна 12 см, длина EF — 8 см),
пересекающихся друг с другом посередине. Найдите такие точки A и B, чтобы AF и FB равнялись половине
CD, то есть 6 см, и поместите ваши булавки в A и B, взяв веревочную петлю равной ABFA. Пусть CA = x.
Тогда, если карандаш находится в F, длина веревки равна 12 + (12 - 2x) = 24 - 2x, а если он находится в C,
длина веревки равна тоже 2(12 - x) = 24 - 2x, что и доказывает правильность нашего решения39.




302. Одного взгляда на помещенный здесь рисунок достаточно, чтобы заметить, что если я отрежу часть 1
и помещу ее на место части 2, то получится прямой отрезок стены BC, отмеченный пунктиром и в точности
равный участку AB. Следовательно, не правы были оба спорщика, и цена обоих участков должна быть
одинаковой. Конечно, читатель сразу заметит, что это справедливо лишь при некоторых ограничениях, но мы
имеем в виду именно ту стену, какая нарисована, и в том случае, когда эти ограничения выполнены.
303. Отмерьте любое удобное расстояние вдоль берега от A до C, скажем 40 м. Затем отмерьте любое
расстояние в перпендикулярном направлении до точки D, скажем 12 м. Теперь сделайте засечку E в
направлении AB. Вы сможете измерить расстояние от A до B, которое в нашем случае равно 24 м, и от E до C,
что даст 16 м. Далее, AB : DC = AE : EC, откуда ясно, что ширина реки AB равна 18 м.


304. Свинья пробежит 66 м и будет схвачена, а Пэт пробежит 133 м. Кривую40, которую опишет при
этом Пэт, можно измерить точно. Ее длина равна an2/(n2 - 1), где скорость свиньи принята за 1, Пэт бежит в n
раз быстрее и a — первоначальное расстояние между Пэтом и свиньей.


305. Расстояние от верхнего конца до земли составляет длины всей лестницы. Умножьте расстояние от
стены (4 м) на знаменатель этой дроби (5), и вы получите 20. Теперь вычтите квадрат числителя дроби из
квадрата ее знаменателя. При этом получится 9 = 32. Наконец, разделите 20 на 3, и вы получите ответ: 6 м.

306. Высота шеста над землей составляла 50 м. В первом случае он сломался в 29 м, а во втором случае в 34
м от верхушки.


307. Длина свободно висящей веревки равна 3 м 85 см.




308. Разумеется, прямая AC не является наибыстрейшим путем. Быстрее будет доехать от A до E и далее
прямо до C. Путь, требующий наименьшей затраты времени, показан на рисунке пунктирной линией от A до G
(ровно 1 км от E) и затем прямо до C.

Необходимо, чтобы синус угла FGC был в два раза больше синуса угла AGH, В первом случае синус равен
6/ =6 = 2/ . Во втором случае синус равен 1/ = 1/ , то есть ровно в два раза
меньше.
309. Как видно из рисунка, головоломка невероятно проста, если знаешь, как к ней подступиться! И все же
у меня нет ни малейшего сомнения, что для многих читателей она оказалась крепким орешком. Можно
заметить, что каждая спичка, несомненно, касается всех остальных.

[Можно увеличить число спичек до семи, и головоломка остается все еще разрешимой.— М. Г.]

310. У посылки максимальных размеров суммарная длина веревки, идущей в длину, должна быть равна
суммарной длине веревки, идущей в ширину (и суммарной длине веревки, идущей в высоту). Если это известно
или читатель самостоятельно разобрался и понял, в чем дело, то остальное рассчитать очень просто.
Действительно, мы знаем, что веревка 2 раза проходит в длину, А в ширину и 6 раз в высоту. Следовательно,
разделив 1 м 20 см соответственно на 2, 4 и 6, мы получим 60, 30 и 20 см, а это и будет искомыми длиной,
шириной и высотой посылки максимального размера.

Следующее общее решение принадлежит Александеру Фрейзеру. Пусть веревка a раз проходит вдоль
ребра длиной x, b раз вдоль ребра длиной y и c раз вдоль ребра длиной z, и пусть длина всей веревки равна m.

Тогда ax + by + cz = m. Найдем максимум xyz.

Прежде всего найдем максимум площади xy.

Положим ax + by = n, x = (n - by)/a, xy = (n/a)y - (b/a)y2, dxy/dy = n/a - (2b/a)y = 0, тогда




Следовательно, ax также равно n/2, ax = by. Аналогично ax = by = cz = m/3, откуда




В нашем случае a = 2, b = 4, c = 6, m = 360. Таким образом, x = 60, y = 30, z = 20:




311. Куб любого квадрата сам является квадратом. Например,




и т. д.

Нам было сказано, чтобы мы взглянули на рисунок. Если бы на возведение пьедестала израсходовали лишь
один блок, то он целиком покрыл бы фундамент, а на рисунке видно, что это не так. Если бы в пьедестале и
фундаменте содержалось по 64 блока, то сторона первого равнялась бы 4 м, а сторона квадрата 8 м. Достаточно
беглого взгляда для того, чтобы отвергнуть и это предположение. Но предположение о пьедестале и
фундаменте, состоящих из 729 блоков каждый, вполне согласуется с иллюстрацией, так как в этом случае
сторона пьедестала (9 м) в три раза меньше стороны квадрата (27 м). Во всех остальных случаях фундамент
оказался бы намного шире пьедестала, что противоречило бы иллюстрации.
312. Любопытный факт состоит в том, что куб может пройти сквозь другой куб с меньшим ребром.
Допустим, мы расположили куб таким образом, что его диагональ AB оказалась перпендикулярной плоскости,
на которой он стоит (см. рисунок слева). Тогда его проекцией будет правильный шестиугольник. На рисунке
справа показана дырка, сквозь которую.может пройти куб с тем же ребром, что и у исходного. Однако легко
заметить, что дырку можно немного увеличить так, чтобы сквозь нее прошел куб с большим ребром.
Следовательно, я проделал дырку не в большем, как мог поспешно решить читатель, а в меньшем кубе!
Поэтому больший куб, вполне очевидно, оказался тяжелее. Этого не могло бы произойти, если бы дырка была
проделана в большем кубе.




313. Всего имеется 11 различных разверток, если не различать между собой две развертки, полученные
одна из другой путем переворачивания. Если же наружная сторона коробки, например, голубая, а внутренняя
белая и требуется уложить развертки белой стороной вверх, то это можно сделать 20 различными способами,
поскольку тогда к каждой развертке, кроме случаев 1 и 5, добавится еще по одной зеркально-симметричной
развертке, которая теперь уже будет отличаться от нее.




314. Крендель можно разрезать на 10 частей одним прямым разрезом вдоль линии, показанной на рисунке.

315. Отметьте середины ребер BC, CH, HE, EF, FG и GB. Затем, начиная сверху, проведите разрез вдоль
плоскости, обозначенной пунктирной линией на рисунке слева. Тогда каждая из двух новых поверхностей
окажется правильным шестиугольником, а правый кусок будет выглядеть примерно так, как он изображен
рядом.
316. Умная муха избрала бы путь, отмеченный на рисунке справа сплошной линией, на его преодоление
уйдет 2,236 мин. Путь, отмеченный пунктирной линией, длиннее, и на него уйдет больше времени.

317. Вода поднимется сначала на 15 см, а затем еще на 22,5 см.




318. Сначала отрежьте с краю кусок A толщиной 1 см. Оставшуюся часть можно затем разрезать, как
показано на рисунке, на 24 части требуемого размера 5 3 2 см. Не видны только четыре куска: два под B и
два под C.

319. Объемы подобных тел относятся, как кубы длин соответственных линейных элементов. Простейший
ответ состоит в том, что длины трех яиц равны соответственно 1 , 2 и 2 дюйма. Кубы этих трех чисел равны
2 ,8и , а их сумма составляет точно 27, или 33. Следующий простейший ответ есть 2 , 2 и дюйма. Но
вообще-то ответов существует бесконечно много.

320. Мастер сделал ящик с внутренними размерами 30 10 10 см и в него поместил подставку. Затем он
наполнил ящик чистым сухим песком, как следует утряс его и выровнял верхнюю часть. Потом он вынул
подставку, встряхнул оставшийся песок, выровнял его и обнаружил, что его поверхность находится ровно в 20
см от верхнего края ящика. Отсюда стало ясно, что подставка содержала 2 дм3 древесины и что был снят 1 дм3.

321. Поднимаясь на 2 м по стволу, белка совершает путь длиной 2,5 м. Следовательно, взобравшись на
дерево высотой 8 м, она пройдет путь длиной 10 м.
322. Пусть диаметр сигареты равен 2 единицам, и пусть 8 рядов по 20 сигарет в каждом (см. случай A)
целиком заполняют коробку. Внутренняя длина коробки в таком случае равна 40, а глубина 16 единицам.
Теперь если мы поместим 20 сигарет в нижнем ряду и если вместо 20 в следующем ряду мы положим 19 штук,
как показано в случае B, то сэкономим на этом 0,268 (точнее, 2 - ) высоты. Этот второй ряд и каждый
дополнительный ряд из 20 или 19 (по очереди) сигарет увеличивают высоту на 1,732. Следовательно, мы
получим девять рядов общей высотой 2 + 8 1,732 = 15,856 единицы, что меньше нашей глубины,
составляющей 16 единиц. Таким образом, мы увеличим число сигарет на 20 (благодаря дополнительному ряду)
и уменьшим его на 4 (1 штука в каждом ряду из 19), что даст чистый прирост 16 сигарет.




323. Сделайте разрезы, как показано на рисунке, и поместите полученные части на места, указанные
пунктиром. Приведенное решение не единственно.
324. На рисунке показано простейшее и, я думаю, наиболее изящное решение, связанное с разрезанием
крышки стола на шесть частей. Сдвинув часть A вдоль B на одну ступеньку вверх, вы получите часть крышки
стола размером 12 12 см. Сдвинув часть C вверх вдоль D и соединив с E, вы получите квадрат 15 15 см.
Квадрат 16 16 см не разрезается.



<< Предыдущая

стр. 28
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>