<< Предыдущая

стр. 31
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



различными должны быть числаT. В меньшем квадрате каждая из сумм чисел на десятиT прямых равна 15,
T T T




поскольку в дополнение к строкам, столбцам и большим диагоналям две малыеT диагонали тоже дают сумму 15.
T




Это максимально возможное число прямых. Нам осталось лишьT выразить каждое число с помощью своей в
T




каждом случае повторяющейся цифры, используя знакиT арифметических действий. На большем квадрате
T
показано, как это можно сделать. Все условияT головоломки будут, таким образом, удовлетворены с
T




максимальным числом направлений, равнымT десяти.TT




[Клеточки с 4, 8 и 7 излишне сложны. Возможно более простое решение:T
T




380. Объяснение содержится в самом решении (см. рисунок). Суммы чисел, стоящих в строках,T столбцах и
T T




на двух диагоналях, равны 6726, а каждая из цифр 1, 2, 3, 4 использована ровно девятьT раз.T T




381. Начав с правого верхнего угла, а затем двигаясь вниз «вокруг квадрата», заполните клетки числамиT в
T T




следующем порядке: 13, 81, 78, 6, 75, 8, 15, 16, 77, 70, 19, 79, 21, 9, 23, 2, 69, 66, 67, 74, 7, 76, 4, 1, 5, 80, 59,T 73,
T




61, 3, 63, 12. Очевидно, противоположные числа на границе должны в любом случае давать в сумме 82,T но их T




правильного расположения добиться не так-то легко. Разумеется, существуют и другиеT решения.T T




382. На рисунке приведено одно решение с нечетными и четными числами.T
T
383. Назовем ABCDE «пятиугольником», a F, G, H, J, K «вершинами» (TI). Запишем в пятиугольникеT числа
T T T T T T T T T T T T T T T T




1, 2, 3, 4, 5, как показано на рисунке II (мы начинаем с 1 и движемся по часовой стрелке,T перескакивая каждый T




раз через один кружок). Чтобы заполнить звезду с суммой 24, воспользуйтесьT следующим простым правилом. T




Найти H можно, вычитая сумму B и C из половины данной постоянной (24)T и прибавляя E. Другими словами,
T T T T T T T T T




надо 6 вычесть из 15, при этом получится искомое значение H, равное 9.T Затем можно вписать в кружок F T T T T




число 10 (чтобы сумма оказалась равной 24), вписать 6 в J, 12 в G и 8 вT K. Решение получено.T
T T T T T T T




Вы можете вписать в пятиугольник любые 6 чисел в любом порядке и с произвольной постояннойT
T




суммирования. В каждом случае вы получите с помощью указанного правила единственно возможноеT решение
T T




для данных пятиугольника и постоянной. Однако в этом решении могут встретитьсяT повторяющиеся или даже T




отрицательные числа. Допустим, например, что я задал пятиугольник 1, 3, 11, 7, 4T и постоянную 26 (см. T




рисунок IIIT). Тогда видно, что 3 повторяется, а добавочное число 4 отрицательно иT практически его приходится
T T T




вычитать, а не прибавлять. Вы можете также заметить, что если бы в случае IIT мы заполнили пятиугольник T T




теми же числами, но в другом порядке, то получили бы при этомT повторяющиеся числа.T T




Ограничимся случаем десяти различных положительных целых чисел. Тогда 24 будет наименьшейT
T




возможной постоянной. Решение с любой большей постоянной можно получить из данного. Так, если мыT
T




хотим взять постоянную, равную 26, то достаточно добавить в вершины по 1. Если мы хотим взятьT постоянную
T T




28, то в каждую вершину следует добавить по 2 или по 1 во все кружки. Для нечетныхT постоянных решений не T




существует, если мы не допускаем дроби. Каждое решение можно «вывернутьT наизнанку». Так, рисунок IV — T




модификация рисунка IIT. Аналогично четыре числа в G, K, D, J можноT всегда изменить, если нет повторений,
T T T T T T T T T T T




например вместо чисел 12, 8, 5, 6 на рисунке II подставить числа 13,T 7, 6, 5. Наконец, в любом решении
T T T




постоянная равнаT суммы всех десяти чисел. Поэтому если заданоT множество чисел, то мы можем определить
T T




постоянную, а по заданной постоянной найти сумму всехT нужных чисел.T T




384. За недостатком места я не смогу здесь привести полное решение этой интересной задачи, но укажуT
T




читателю основные моменты.T
T
1. При любом решении сумма чисел в треугольнике ABC (см. рисунок I) должна совпадать с суммойT чисел
T T T T T T




в треугольнике DEFT. Эта сумма может равняться любому числу от 12 до 27 включительно, кроме 14T и 25. Нам
T T T




нужно получить решения лишь для случаев 12, 13, 15, 16, 17, 18 и 19, поскольку дополнительныеT решения 27, T




26, 24, 23, 22, 21 и 20 можно получить из них, заменяя каждое число на разность между ним иT 13.T T




2. Каждое решение составлено из трех независимых ромбов AGHFT, DKBL и EMCIT, сумма чисел вT каждом
T T T T T T T T




из которых должна равняться 26.T

3. Суммы чисел в противоположных внешних треугольниках равны между собой. Так, сумма чисел вT
T




треугольнике AIK равна сумме чисел в треугольнике LMFT.
T T T T T T




4. Если разность между 26 и суммой чисел в треугольнике ABC прибавить к любому числу, стоящему вT
T T T




вершине, скажем A, то получится сумма двух чисел, находящихся в соответствующих положениях L и M. Так
T T T T T T T T T




(см. рисунок IIT), 10 + 13 = 11 + 12 и 6 + 13 = 8 + 11T.
T T T T T T T




5. Существует 6 пар, дающих в сумме 13, а именно 12 + 1T, 11 + 2T, 10 + 3T, 9 + 4T, 8 + 5T, 7 + 6T, иT среди
T T T T T T T T T T T T T T




<< Предыдущая

стр. 31
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>