<< Предыдущая

стр. 32
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

вершин может оказаться 1 или 2 такие пары, но никогда не окажется 3. ОтносительноеT расположение этих пар T




определяет тип решения. У регулярного типа, как на рисунке IIT, A и F, а также G и H (что показано T T T T T T T T T T T




пунктирными линиями) в сумме всегда дают 13 (при болееT подробном доказательстве этот класс необходимо T




было бы разбить на 2 подкласса и рассматриватьT каждый из них в отдельности). На рисунках III и IV приведены
T T T T T




примеры двух нерегулярныхT типов.T T




Всего существует 37 решений (или 74, если мы будем считать и дополнительные решения, упомянутые вT п.
T T




1), из которых 32 будут регулярными и 5 нерегулярными.T

У 6 из 37 решений сумма вершин равна 26, а именно:T
T




10T 6 2 3 1 4 79 5 12T 11T 8
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T




9 7 1 4 3 2 6 11T 5 10T 12T 8
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T




5 4 6 8 2 1 9 12T 3 11T 7 10T
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T




5 2 7 8 1 3 11T 10T 4 12T 69
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T




10T 3 1 4 2 6 98 7 12T 11T 5
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T




8 5 3 1 2 7 10T 4 11T 9 12T 6
T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T
Первое решение представлено на рисунке IIT, а предпоследнее — на рисунке IIIT, так что, обратившись кT
T T T T T




рисунку, вы поймете, как следует располагать эти числа на звезде. Читателю следует все приведенные вышеT
T




решения изобразить на звезде и помнить, что вместо 6 вместе с дополнительными получится 12 решений.T
T




Первые четыре решения будут регулярного, а последние два — нерегулярного типа. Если читательT попытается
T T




найти все 37 (или 74) решений данной головоломки, то ему будет полезно знать, что существуетT
соответственно 3, 6, 2, 4, 7, 6, 9 (всего 37) решений с суммой вершин, равной 24, 26, 30, 32, 34, 36,T 38.T
T T




[Для шестиконечной звезды существует 80 решений.— М. Г.T]
T T T T




385. Поместите 5 в верхний кружок. Затем расположите четыре числа (7, 11, 9, 3) на горизонтальнойT линии
T T




так, чтобы сумма внешних чисел равнялась 10, а внутренних 20 и чтобы разность между двумяT внешними T




числами в два раза превышала разность между двумя внутренними числами. Затем поместитеT числа, T




дополняющие их до 15, в соответствующие кружочки, как показано пунктирными линиями.T Остальные четыре T




числа (13, 2, 14, 1) расставить уже легко. Из этого основного размещения мы можемT получить три остальных: T




первое — поменяйте местами 13 с 1, а 14 с 2; второе и третье — подставьте вT полученных двух размещениях
T




вместо каждого числа разность между ним и 15 (например, 10 вместо 5, 8T вместо 7, 4 вместо 11 и т. д.). Следуя
T




этим правилам, читатель может сам построить вторую группу изT четырех решений.T
T




Общее решение слишком длинно, чтобы приводить его здесь полностью, однако существует всего 56T
T




различных размещений (вместе с дополнительными). Я разбиваю их на три класса. В класс I включаютсяT все
T T




случаи, подобные приведенным выше, где пары в положениях 7—8, 13—2, 3—12, 14—1 в сумме дают 15, аT
всего таких случаев 20. В класс II включаются случаи, в которых пары в положениях 7—2, 8—13,T 3—1, 12—14
T T




в сумме дают 15; таких случаев снова 20. В класс III входят все случаи, в которыхT пары в положениях 7—8,
T




13—2, 3—1, 12—4 в сумме дают 15; таких случаев 16. Всего получается 56T случаев.T T




[Для семиконечной звезды существует 72 решения.— М. Г.T]
T T T T




386. На рисунке приведено искомое решение. Сумма четырех чисел вдоль любой прямой равна 34. ЕслиT
T




решение для одной звезды известно, то его можно без труда преобразовать в решение для второй звезды,T
T




отметив, как перемещаются числа в приведенных двух решениях.T
T
Мне не удалось подсчитать общее количество решений для звезд данного порядка. Это, как мнеT кажется,
T T




весьма трудная задача. Быть может, читатели попытают в ней счастья.T

[Для случая восьмиконечной звезды известно 112 различных решений.— М. Г.T]
T T T T




387. На рисунке показан один из способов размещения гарнизонов, при котором общее число солдатT вдоль
T T




каждой из пяти линий равно 100.T

388. Положите карты 1, 2, 3, 4, 5 в последовательности, показанной пунктирными линиями, то естьT каждую
T T




следующую карту помещайте через один угол, двигаясь по часовой стрелке, а затемT разместите в T




противоположном направлении карты 6, 7, 8, 9, 10, позаботясь о том, чтобы 6T было расположено с нужной
T




стороны от 5. Сумма очков на каждой стороне равна 14. Если выT теперь разместите карты 6, 7, 8, 9, 10 первым
T




способом, а карты 1, 2, 3, 4, 5 вторым, то получитеT другое решение — с суммой, равной 19. Теперь проделайте
T




то же самое о двумя множествамиT чисел 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10, и вы получите еще два решения с суммами
T




соответственно 16 иT 17.T
T




Всего существует 6 решений, из которых 2 последних являются особыми. Выпишите в том же порядке 1,T 4,
T T


<< Предыдущая

стр. 32
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>