<< Предыдущая

стр. 5
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

переставив последнюю цифру в начало. По-видимому, эта задача возникла у него после того,
как он познакомился с неправильно сформулированной предыдущей задачей. Если бы
требовалось переставить в конец первую цифру, то ответом служило бы число
315 789 473 684 210 526, а отсюда легко было бы найти решение, начинающееся с любой
цифры. Но если требуется переставить цифру из конца в начало, то для делителя 2 решения
нет. Однако существует решение для делителя 3. Не могли бы вы его найти?

108. Две четверки. Меня постоянно спрашивают о старой головоломке «Четыре
четверки». Я опубликовал ее в 1899 г., но потом выяснил, что впервые она была
опубликована в первом томе журнала Knowlege за 1881 г. С тех пор к ней обращались
различные авторы. Формулируется головоломка так: «Найти все возможные числа, которые
можно получить из четырех четверок (не больше и не меньше) с помощью различных
арифметических знаков. Например, число 17 можно представить в виде 4 4 + 4/4, число
50 — в виде 44 + 4 + и т. д. Аналогичным образом можно записать все числа до 112
включительно, используя лишь знаки сложения, вычитания, умножения, деления,
квадратного корня, десятичной точки7 и знака факториала (например, можно писать 4!, что
означает всего лишь 1 2 3 4, или 24). Число 113 уже нельзя представить в виде
комбинации четырех четверок.

Необходимо выяснить, какие числа можно записать с помощью одной, двух и трех
четверок. Большие трудности возникают из-за того, что некоторые числа нелегко поддаются
такому представлению. Например, мне кажется, что лишь очень немногие смогут выразить
64 с помощью двух четверок. Сумеет ли это сделать читатель?

109. Две цифры. Напишите любое двузначное число (две различные цифры, отличные от
нуля), а затем выразите его, используя те же цифры, взятые в обратном порядке (в случае
необходимости разрешается использовать знаки арифметических действий). Например,
число 45 = 5 9 подошло бы, если бы вместо 9 справа стояла цифра 4, а число 81 = (1 + 8)2
могло бы служить решением задачи, если бы справа в показателе степени не появилась
цифра 2.

110. Цифровые совпадения. Если я перемножу две девятки и сложу 9 и 9, то получу 81 и
18 — два числа, состоящие из одинаковых цифр. Если я перемножу и сложу 2 и 47, то
получу 94 и 49 — числа с одинаковыми цифрами, Если я перемножу и сложу 3 и 24, то
получу 72 и 27 — два числа, состоящие из одинаковых цифр.

Можете ли вы найти два числа, перемножив и сложив которые вы получили бы два
новых числа с тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет два решения.

111. Квадраты-палиндромы. Вот любопытный предмет для исследований: найти
квадраты целых чисел, которые можно читать как обычным образом, так и справа налево.
Некоторые из них найти очень легко. Например, квадраты чисел 1, 11, 111 и 1111 равны
соответственно 1, 121, 12 321 и 1 234 321. Все получившиеся числа — палиндромы, и данное
правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему 9. Однако существуют и
другие случаи, которые мы могли бы назвать нерегулярными. Например, 2642 = 69 696, а
22852 = 5 221 225.

Во всех приведенных выше примерах число цифр было нечетным. Не мог бы читатель
привести примеры с четным числом цифр?

112. Разложение на множители. На какие множители разлагается число
1 000 000 000 001? На этот вопрос легко ответить, зная кое-что о числах такого частного
вида. Не менее легко указать два сомножителя, если между двумя единицами вставить не 11
нулей, а, например, 101 нуль,

Существует одно любопытное простое и красивое правило для всех подобных случаев.
Не сумеете ли вы найти его?

113. Два множителя. Найдите два целых числа, разность между которыми минимальна, а
их произведение равно 1 234 567 890.

114. Деление на 11. Если девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записаны в случайном
порядке, например 412 539 768, то какова вероятность того, что получившееся число делится
на 11? То число, которое я выписал, конечно, не делится на 11, но если в нем поменять
местами 1 и 8, то оно будет делиться на 11.

115. Деление на 37. Мне хотелось бы узнать, делится ли число 49 129 308 213 на 37, и
если нет, то чему равен остаток. Как мне это сделать, не выполняя деления? Оказывается, что
при умелом подходе ответ на интересующий меня вопрос можно получить за несколько
секунд.

116. Еще раз о делении на 37. Вот интересное развитие предыдущей головоломки.
Девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выписаны в случайном порядке, например 412 539 768.
Какова вероятность того, что получившееся число делится без остатка на 37?

117. Задача о десяти цифрах. Расставьте все десять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 в таком
порядке, чтобы получившееся число делилось на все числа от 2 до 18. Если, например,
разместить цифры в последовательности 1 274 953 680, то получившееся число будет
делиться на 2, 3, 4, 5 и т. д. до 16, но не разделится на 17.

118. Тройки и семерки. Какое наименьшее число обладает тем свойством, что оно
записывается только с помощью цифр 3 и 7 и что как оно, так и сумма его цифр делятся на 3
и 7? Например, 7 733 733 делится без остатка на 3 и на 7, но сумма его цифр (33) на 3
делится, а на 7 нет, поэтому оно не может служить решением задачи.

119. Извлечение корня. Однажды в разговоре с профессором Саймоном Грейтхедом,
человеком весьма эксцентричного склада ума, я как-то упомянул об извлечении кубического
корня.

— Поразительно,— сказал профессор,— какое невежество проявляют люди в столь
простом вопросе! Создается впечатление, что в извлечении корней со времен, когда
единственными корнями были корни, извлекаемые с помощью лопат, вил и садового совка,
мир никуда не продвинулся. Например, никто, кроме меня, до сих пор не обнаружил, что для
извлечения кубического корня из какого-нибудь числа достаточно лишь найти сумму его
цифр.

Извлечь кубический корень из 1 может всякий. Хотя этот пример и подкрепляет
высказанное мной утверждение, он слишком тривиален, и мы его рассматривать не будем.
Предположим, что требуется извлечь кубический корень из 512. Находим сумму цифр,
равную 8, и ответ получен!

Я высказал предположение, что здесь мы имеем дело с исключительным случаем.

— Вовсе нет,— возразил профессор,— возьмем наугад другое число, скажем 4913.
Сумма его цифр равна 17, а 17 в кубе равно 4913.

Я не осмелился возражать ученому, но попрошу читателей найти все остальные числа, у
которых кубический корень совпадает с суммой цифр. Этих чисел так мало, что их
буквально можно пересчитать по пальцам.

120. Необычный пример на деление. Вот довольно любопытная головоломка. Найдите
наименьшее число, которое при последовательном делении на 45, 454, 4545 и 45 454 даст в
остатке соответственно 4, 45, 454 и 4545. Быть может, найти такое число нелегко, зато, решая
задачу, вы освежите свои познания в арифметике.

121. Три различные цифры. Профессор предложил студентам найти все числа,
составленные из трех различных цифр, каждое из которых делится на квадрат суммы своих
цифр. Так, в случае числа 112 сумма цифр равна 4, квадрат ее равен 16 и 112 делится на 16,
но, к несчастью, 112 составлено не из трех различных цифр.

Сумеете ли вы найти все возможные решения задачи?

122. Цифры и кубы. Профессор Рэкбрейн попросил недавно своих молодых друзей
найти все пятизначные квадраты, у которых сумма чисел, образованных двумя первыми и
двумя последними цифрами, равна точному кубу. Так, если мы возьмем квадрат числа 141,
равный 19 881, и прибавим 81 к 19, то получим 100 — число, не являющееся, к сожалению,
точным кубом.

Сколько всего существует решений?

123. В обратном порядке. Какое девятизначное число, будучи умноженным на
123 456 789, даст произведение, у которого в девяти младших разрядах будут стоять цифры
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (именно в таком порядке)?
124. Прогрессия. «Если из девяти цифр,— сказал профессор Рэкбрейн,— вы составите
три числа 147, 258, 369, то обнаружите, что любое последующее отличается от предыдущего
на 111 и что, следовательно, получилась арифметическая прогрессия».

Не смогли бы вы переставить девять цифр четырьмя способами так, чтобы в каждом
случае три числа образовывали арифметическую прогрессию, а среднее число оставалось бы
одним и тем же?

125. Составление целых чисел. Может ли читатель назвать сумму всех целых чисел,
составленных из четырех цифр 1, 2, 3, 4? Другими словами, требуется вычислить сумму
таких чисел, как 1234, 1423, 4312 и т. д. Разумеется, можно было бы выписать подряд все
такие числа и затем сложить их. Однако интереснее отыскать простое правило, с помощью
которого можно найти суммы чисел, составленных из четырех различных произвольно
выбранных (отличных от нуля) цифр.

126. Суммирование чисел. Профессор Рэкбрейн хотел бы знать, чему равна сумма всех
чисел, которые можно составить из девяти цифр (0 исключен), используя каждую цифру в
каждом числе один и только один раз.




127. Цифровое квадрирование. Возьмите девять фишек с цифрами соответственно от 1
до 9 и расположите их в ряд, как показано на рисунке. Требуется, переставив пары фишек
как можно меньшее число раз, расположить их в таком порядке, чтобы цифры образовали
квадрат целого числа. В качестве примера приведем следующие шесть перестановок: (7 и
8 меняются местами), , , , , . В результате получается число 139 854 276, равное
квадрату числа 11 826. Однако задачу можно решить с помощью гораздо меньшего числа
перестановок.

128. Цифры и квадраты. Одна из небольших рождественских головоломок профессора
Рэкбрейна гласит следующее: чему равны наименьший и наибольший квадраты, содержащие
все десять цифр от 0 до 9, причем каждую цифру — лишь по одному разу?

129. Цифровые квадраты. Очень хорошая головоломка состоит в том, чтобы найти
число, которое вместе со своим квадратом содержало бы по одному и только одному разу
каждую из девяти цифр, исключая нуль. Так, если бы квадрат числа 378 равнялся 152 694, то
это число нам бы подошло. Но на самом деле его квадрат равен 142 884, что дает нам две
четверки и три восьмерки, а 6, 5 и 9 отсутствуют.

Существует только два решения; их можно найти за четверть часа, если действовать
правильно.

130. Отыскание квадрата. Даны шесть чисел: 4 784 887, 2 494 651, 8 595 087, 1 385 287,
9 042 451, 9 406 087. Известно, что три из них в сумме дают полный квадрат. Что это за
числа?

Читатель, вероятно, не увидит другого пути, кроме утомительного метода проб и ошибок,
и все же существует прямое решение задачи, использующее лишь простые арифметические
соображения и не требующее извлечения квадратных корней.
131. Жонглирование цифрами. Составьте из десяти цифр три простейших
арифметических выражения, используя три из четырех арифметических действий —
сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять
лишь знаки трех выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере.
Рассмотрим три арифметических выражения



Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3
повторяется дважды.

132. Равные дроби. Можете ли вы составить три самые обычные дроби (скажем, что-
нибудь вроде , , или ), используя каждую из девяти цифр по одному и только одному
разу? Дроби можно образовывать одним из следующих способов:




Существует только пять решений, но пятое содержит некую «изюминку» — тонкость,
которая, быть может, ускользнет от читателя.

133. Цифры и простые числа. Используя каждую из девяти цифр один и только один
раз, составить простые числа (числа, которые не делятся без остатка ни на какое целое число,
кроме 1 и самих себя), сумма которых была бы наименьшей.




Приведем пример. Четыре простых числа содержат все девять цифр по одному и только
одному разу, их сумма равна 450, однако ее можно существенно уменьшить. Это совсем
простая головоломка.




134. Еще раз о цифровых квадратах. Из девяти цифр многими различными способами
можно составить квадрат таким образом, чтобы числа, стоящие в первой и второй строках, в
сумме давали третью строку. Мы приводим три примера, в которых обнаруживается еще
одна закономерность: разность между второй суммой (819) и первой (657) равна разности
между третьей суммой (981) и второй (819). Составьте восемь квадратов (каждый из девяти
цифр) так, чтобы разность между соседними суммами была постоянной. Разумеется, эта
разность будет отличаться от 162.

135. Девять цифр. Если 32 547 891 умножить на 6, использовав каждую из девяти цифр
один и только один раз, то получится произведение, равное 195 287 346 (также содержащее
девять цифр по одному и только одному разу). Не могли бы вы найти другое число,
обладающее тем же свойством при умножении на 6? Помните, что каждая из девяти цифр
должна появиться один и только один раз как в сомножителях, так и в произведении.

136. Двадцать четыре. В одной книге было написано: «Запишите число 24 с помощью
трех одинаковых цифр, отличных от 8. (Существуют два решения этой задачи.)»

Там же приводились два ответа: 22 + 2 = 24 и 33 - 3 = 24. Читатели, знакомые со старой
головоломкой «Четыре четверки» и с другими головоломками такого рода, могут спросить,
почему существует лишь два приведенных выше решения. Может быть, вы найдете больше?




137. Девять бочек. Сколькими способами можно разместить девять бочек в три яруса
так, чтобы числа, написанные на бочках, расположенных справа от любой из бочек или под
ней, были больше числа, написанного на самой бочке? Первым правильным размещением,
которое придет вам в голову, будет то, при котором в верхнем ряду стоит 123, в следующем
456 и внизу 789. На рисунке я привожу второе размещение. Сколькими способами можно
разместить бочки?

138. Восемь карт. Полковник Крэкхэм во время завтрака положил на стол 8
перенумерованных карт (см. рисунок) и попросил своих юных друзей переложить их с
помощью
возможно меньшего числа передвижений таким образом, чтобы суммы цифр, стоящих в двух
столбцах, были равны. Можно ли это сделать?

139. Два числа. Можете ли вы найти два числа, составленные из одних единиц, которые
при сложении и умножении дают одинаковый результат? Конечно, 1 и 11 очень близки к
решению, но все же для решения не годятся, так как при сложении они дают 12, а при
умножении — только 11.

140. Пример на умножение. Однажды за завтраком Крэкхэмы рассуждали о высоких
материях, как вдруг Джордж попросил свою сестру Дору быстро перемножить



Сколько времени займет отыскание этого произведения у читателя?

141. Интересный сомножитель. Какое число обладает тем свойством, что если его
умножить на 1, 2, 3, 4, 5 или 6, то в ответе появятся лишь те цифры, которые содержатся в
записи исходного числа?

<< Предыдущая

стр. 5
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>