<< Предыдущая

стр. 22
(из 48 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Тогда злоумышленник может легко вычислить подпись S3 для документа M3, даже не зная секретного ключа D:
S3 = S1 ? S2 (mod N).
Действительно,
D D D D
S1 ? S2 (mod N) = m1 ? m2 (mod N) = (m1m2) (mod N) = m3 (mod N) = S3.
Более надежный и удобный для реализации на персональных компьютерах алгоритм цифро-
вой подписи был разработан в 1984 г. американцем арабского происхождения Тахером Эль Гамалем.
В 1991 г. НИСТ США обосновал перед комиссией Конгресса США выбор алгоритма цифровой подпи-
си Эль Гамаля в качестве основы для национального стандарта.

Алгоритм цифровой подписи Эль Гамаля (EGSA)
Название EGSA происходит от слов El Gamal Signature Algorithm (алгоритм цифровой под-
писи Эль Гамаля). Идея EGSA основана на том, что для обоснования практической невозможности
фальсификации цифровой подписи может быть использована более сложная вычислительная зада-
ча, чем разложение на множители большого целого числа,– задача дискретного логарифмирования.
Кроме того, Эль Гамалю удалось избежать явной слабости алгоритма цифровой подписи RSA, свя-
занной с возможностью подделки цифровой подписи под некоторыми сообщениями без определения
секретного ключа.
Рассмотрим подробнее алгоритм цифровой подписи Эль Гамаля. Для того чтобы генериро-
вать пару ключей (открытый ключ – секретный ключ), сначала выбирают некоторое большое простое
целое число P и большое целое число G, причем G < P. Отправитель и получатель подписанного
документа используют при вычислениях одинаковые большие целые числа P (˜10308 или ˜21024) и G
(˜10154 или ˜2512), которые не являются секретными.
Отправитель выбирает случайное целое число X, 1< X ? (P –1), и вычисляет
Y = GX mod P.
Число Y является открытым ключом, используемым для проверки подписи отправителя. Чис-
ло Y открыто передается всем потенциальным получателям документов.
Число X является секретным ключом отправителя для подписывания документов и должно
храниться в секрете.
Для того чтобы подписать сообщение M, сначала отправитель хэширует его с помощью хэш-
функции h(·) в целое число m:
m = h(M), 1< m < (P –1),
и генерирует случайное целое число K, 1< K< (P –1), такое, что K и (P –1) являются взаимно про-
стыми. Затем отправитель вычисляет целое число a:
a = GK mod P
и, применяя расширенный алгоритм Евклида, вычисляет с помощью секретного ключа X целое чис-
ло b из уравнения
m = X? a + K ? b (mod (P –1)).
Пара чисел (a,b) образует цифровую подпись S:
S = (a,b),
проставляемую под документом M.
Тройка чисел (M,a,b) передается получателю, в то время как пара чисел (X,K) держится в
секрете.
После приема подписанного сообщения (M,a,b) получатель должен проверить, соответствует
ли подпись S = (a,b) сообщению M. Для этого получатель сначала вычисляет по принятому сообще-
нию M число
m = h(M),
т.е. хэширует принятое сообщение M.
Затем получатель вычисляет значение
A = Ya ab (mod P)
и признает сообщение M подлинным, если, и только если
A = Gm (mod P).
Иначе говоря, получатель проверяет справедливость соотношения
Ya ab (mod P) = Gm (mod P).
Можно строго математически доказать, что последнее равенство будет выполняться тогда, и
только тогда, когда подпись S=(a,b) под документом M получена с помощью именно того секретного
ключа X, из которого был получен открытый ключ Y. Таким образом, можно надежно удостоверить-
ся, что отправителем сообщения M был обладатель именно данного секретного ключа X, не рас-
крывая при этом сам ключ, и что отправитель подписал именно этот конкретный документ M.
Следует отметить, что выполнение каждой подписи по методу Эль Гамаля требует нового
значения K, причем это значение должно выбираться случайным образом. Если нарушитель раскро-
ет когда-либо значение K, повторно используемое отправителем, то он сможет раскрыть секретный
ключ X отправителя.
Пример. Выберем: числа P =11, G = 2 и секретный ключ X = 8. Вычисляем значение открытого ключа:
X 8
Y = G mod P = Y = 2 mod 11 = 3.
Предположим, что исходное сообщение M характеризуется хэш-значени-
ем m = 5.
Для того чтобы вычислить цифровую подпись для сообщения M, имеющего хэш-значение m = 5, сначала выберем
случайное целое число K = 9. Убедимся, что числа K и (P – 1) являются взаимно простыми. Действительно,
НОД (9, 10) = 1.
Далее вычисляем элементы a и b подписи:
K 9
a = G mod P = 2 mod 11 = 6,
элемент b определяем, используя расширенный алгоритм Евклида:
m = X ? a + K ? b (mod (P – 1)).
При m = 5, a = 6, X = 8, K = 9, P = 11 получаем
5 = (6 ? 8 + 9 ? b)(mod 10)
или
9 ? b ? – 43 (mod 10).
Решение: b = 3. Цифровая подпись представляет собой пару: а = 6, b = 3.
Далее отправитель передает подписанное сообщение. Приняв подписанное сообщение и открытый ключ Y = 3, полу-
чатель вычисляет хэш-значение для сообщения M : m = 5, а затем вычисляет два числа:
ab 6 3
1) Y a (mod P) = 3 ? 6 (mod 11) =10 (mod 11);
m 5
2) G (mod P) = 2 (mod 11) =10 (mod 11).
Так как эти два целых числа равны, принятое получателем сообщение признается подлинным.
Следует отметить, что схема Эль Гамаля является характерным примером подхода, который
допускает пересылку сообщения M в открытой форме вместе с присоединенным аутентификатором
(a,b). В таких случаях процедура установления подлинности принятого сообщения состоит в проверке
соответствия аутентификатора сообщению.
Схема цифровой подписи Эль Гамаля имеет ряд преимуществ по сравнению со схемой циф-
ровой подписи RSA:
1. При заданном уровне стойкости алгоритма цифровой подписи целые числа, участвующие в
вычислениях, имеют запись на 25% короче, что уменьшает сложность вычислений почти в два раза и
позволяет заметно сократить объем используемой памяти.
2. При выборе модуля P достаточно проверить, что это число является простым и что у числа
(P –1) имеется большой простой множитель (т.е. всего два достаточно просто проверяемых условия).
3. Процедура формирования подписи по схеме Эль Гамаля не позволяет вычислять цифро-
вые подписи под новыми сообщениями без знания секретного ключа (как в RSA).
Однако алгоритм цифровой подписи Эль Гамаля имеет и некоторые недостатки по сравнению
со схемой подписи RSA. В частности, длина цифровой подписи получается в 1,5 раза больше, что, в
свою очередь, увеличивает время ее вычисления.

Алгоритм цифровой подписи DSA
Алгоритм цифровой подписи DSA (Digital Signature Algorithm) предложен в 1991 г. в НИСТ
США для использования в стандарте цифровой подписи DSS (Digital Signature Standard). Алгоритм
DSA является развитием алгоритмов цифровой подписи Эль Гамаля и К.Шнорра [121].
Отправитель и получатель электронного документа используют при вычислении большие це-
лые числа: G и P – простые числа, L бит каждое (512 ? L ? 1024); q – простое число длиной 160 бит
(делитель числа (P –1)). Числа G, P, q являются открытыми и могут быть общими для всех пользо-
вателей сети.
Отправитель выбирает случайное целое число X, 1< X< q. Число X является секретным клю-
чом отправителя для формирования электронной цифровой подписи.
Затем отправитель вычисляет значение
Y = GX mod P.
Число Y является открытым ключом для проверки подписи отправителя. Число Y передается всем
получателям документов.
Этот алгоритм также предусматривает использование односторонней функции хэширования
h(·). В стандарте DSS определен алгоритм безопасного хэширования SHA (Secure Hash Algorithm).
Для того чтобы подписать документ M, отправитель хэширует его в целое хэш-значение m:
m = h(M), 1< m < q,
затем генерирует случайное целое число K, 1< K< q, и вычисляет число r:
r = (GK mod P) mod q.
Затем отправитель вычисляет с помощью секретного ключа X целое число s:
m+r * X
s= mod q.
K
Пара чисел r и s образует цифровую подпись
S = (r ,s)
под документом M.
Таким образом, подписанное сообщение представляет собой тройку чисел [M, r, s].
Получатель подписанного сообщения [M, r, s] проверяет выполнение условий
0 < r < q, 0 < s < q
и отвергает подпись, если хотя бы одно из этих условий не вы-
полнено.
Затем получатель вычисляет значение
1
w = mod q,
s
хэш-значение
m = h(M)
и числа
u1 = (m ? w) mod q,
u2 = (r ? w) mod q.
Далее получатель с помощью открытого ключа Y вычисляет значение
v = (( Gu1 ? Y u2 ) mod P) mod q
и проверяет выполнение условия
v = r.
Если условие v = r выполняется, тогда подпись S = (r,s) под документом M признается полу-
чателем подлинной.
Можно строго математически доказать, что последнее равенство будет выполняться тогда, и
только тогда, когда подпись S = (r,s) под документом M получена с помощью именно того сек-
ретного ключа X, из которого был получен открытый ключ Y. Таким образом, можно надежно удосто-
вериться, что отправитель сообщения владеет именно данным секретным ключом X (не раскрывая
при этом значения ключа X) и что отправитель подписал именно данный документ M.
По сравнению с алгоритмом цифровой подписи Эль Гамаля алгоритм DSA имеет следующие
основные преимущества:
1. При любом допустимом уровне стойкости, т.е. при любой паре чисел G и P (от 512 до
1024 бит), числа q, X, r, s имеют длину по 160 бит, сокращая длину подписи до 320 бит.
2. Большинство операций с числами K, r, s, X при вычислении подписи производится по мо-
дулю числа q длиной 160 бит, что сокращает время вычисления подписи.
3. При проверке подписи большинство операций с числами u1, u2, v, w также производится
по модулю числа q длиной 160 бит, что сокращает объем памяти и время вычисления.
Недостатком алгоритма DSA является то, что при подписывании и при проверке подписи
приходится выполнять сложные операции деления по модулю q:
m + rX 1
s= (mod q), w = (mod q),
K s
что не позволяет получать максимальное быстродействие.
Следует отметить, что реальное исполнение алгоритма DSA может быть ускорено с помо-
щью выполнения предварительных вычислений. Заметим, что значение r не зависит от сообщения
M и его хэш-значения m. Можно заранее создать строку случайных значений K и затем для каждого
из этих значений вычислить значения r. Можно также заранее вычислить обратные значения K–1 для
каждого из значений K. Затем, при поступлении сообщения M, можно вычислить значение s для
данных значений r и K–1. Эти предварительные вычисления значительно ускоряют работу алгоритма
DSA.

Отечественный стандарт цифровой подписи
Отечественный стандарт цифровой подписи обозначается как ГОСТ Р 34.10-94 [40]. Алгоритм
цифровой подписи, определяемый этим стандартом, концептуально близок к алгоритму DSA. В нем
используются следующие параметры:
p – большое простое число длиной от 509 до 512 бит либо от 1020 до 1024 бит;
q – простой сомножитель числа (p –1), имеющий длину 254…256 бит.
a – любое число, меньшее (p –1), причем такое, что aq mod p=1;
x – некоторое число, меньшее q;
y = aх mod p.
Кроме того, этот алгоритм использует однонаправленную хэш-функцию H(x). Стандарт ГОСТ
Р 34.11-94 определяет хэш-функцию, основанную на использовании стандартного симметричного
алгоритма ГОСТ 28147-89.
Первые три параметра p, q и a являются открытыми и могут быть общими для всех
пользователей сети. Число x является секретным ключом. Число y является открытым ключом.
Чтобы подписать некоторое сообщение m, а затем проверить подпись, выполняются сле-
дующие шаги.
1. Пользователь A генерирует случайное число k, при-чем k < q.
2. Пользователь А вычисляет значения
r = (ak mod p) mod q,
s = (x ? r + k (H(m))) mod q.
Если H(m) mod q=0, то значение H(m) mod q принимают равным единице. Если r=0, то выбирают
другое значение k и начина-ют снова.
Цифровая подпись представляет собой два числа:
r mod 2256 и s mod 2256.
Пользователь А отправляет эти числа пользователю В.
3. Пользователь В проверяет полученную подпись,
вычисляя
v = H(m)q–2 mod q,
z1 = (s ? v) mod q,
z2 = ((q – r) ? v) mod q,
u = ( (a z1 ? y z2 ) mod p) mod q.
Если u = r, то подпись считается верной.
Различие между этим алгоритмом и алгоритмом DSA заключается в том, что в DSA
s = (k–1 (x ? r + (H(m)))) mod q,
что приводит к другому уравнению верификации.
Следует также отметить, что в отечественном стандарте ЭЦП параметр q имеет длину 256
бит. Западных криптографов вполне устраивает q длиной примерно 160 бит. Различие в значениях
параметра q является отражением стремления разработчиков отечественного стандарта к получе-
нию более безопасной подписи.
Этот стандарт вступил в действие с начала 1995 г.


6.4. Цифровые подписи с дополнительными функциональными
свойствами.
Рассматриваемые в этом разделе цифровые подписи обладают дополнительными
функциональными возможностями, помимо обычных свойств аутентификации сообщения и
невозможности отказа подписавшего лица от обязательств, связанных с подписанным текстом. В
большинстве случаев они объединяют базовую схему цифровой подписи, например, на основе
алгоритма RSA, со специальным протоколом, обеспечивающим достижение тех дополнительных
свойств, которыми базовая схема цифровой подписи не обладает [117, 121].
К схемам цифровой подписи с дополнительными функциональными свойствами относятся:
- схемы слепой (blind) подписи,
- схемы неоспоримой (undeniable) подписи.
Схемы слепой подписи.
В отличие от обычных схем цифровой подписи, описанных в разделе 6.3, схемы слепой
подписи (иногда называемые схемами подписи вслепую) являются двусторонними протоколами
между отправителем А и стороной В, подписывающей документ.
Основная идея этих схем заключается в следующем. Отправитель А посылает порцию
информации стороне В, которую В подписывает и возвращает А. Используя полученную подпись,
сторона А может вычислить подпись стороны В на более важном для себя сообщении m. По
завершении этого протокола сторона В ничего не знает ни о сообщении m, ни о подписи под этим
сообщением [108].
Цель слепой подписи состоит в том, чтобы воспрепятствовать подписывающему лицу В
ознакомиться с сообщением стороны А, которое он подписывает, и с соответствующей подписью под
этим сообщением. Поэтому в дальнейшем подписанное сообщение невозможно связать со стороной
А.
Приведем пример применения слепой подписи. Схема слепой подписи может найти
применение в тех случаях, когда отправитель А (клиент банка) не хочет, чтобы подписывающая
сторона В (банк) имела возможность в дальнейшем связать сообщение m и подпись sB(m) c
определенным шагом выполненного ранее протокола.
В частности, это может быть важно при организации анонимных безналичных расчетов, когда
сообщение m могло бы представлять денежную сумму, которую А хочет потратить. Когда сообщение
m c подписью sB(m) предъявляется банку В для оплаты, банк В не сможет проследить, кто именно из
клиентов предъявляет подписанный документ. Это позволяет пользователю А остаться анонимным.
Принципы организации системы анонимных безналичных расчетов с использованием так называемой
“электронной наличности” (“цифровых денег”) на базе протоколов слепой подписи рассмотрены в [49,
67].
Для построения протокола слепой подписи необходимы следующие компоненты [108, 117]:
1. Механизм обычной цифровой подписи для подписывающей стороны В. Пусть sB(Х) обозначает
подпись стороны В на документе Х.
2. Функции f (?) и g (?) (известные только отправителю) такие, что
g ( sB ( f ( m ))) = sm ( m ),
при этом f (?) - маскирующая (blinding) функция,
g (?) - демаскирующая (unblinding) функция,
f (m) - замаскированное (blinded) сообщение m.
При выборе sB, f и g существует ряд ограничений.
Выберем в качестве алгоритма подписи sB для стороны В схему цифровой подписи RSA (см.
п.6.3) с открытым ключом (N, E) и секретным ключом D, причем
N = P ? Q - произведение двух больших случайных простых чисел.
Пусть k - некоторое фиксированное целое число, взаимно простое с N, т.е. НОД (N, k) = 1.
Маскирующая функция f: Zn > Zn

<< Предыдущая

стр. 22
(из 48 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>