<< Предыдущая

стр. 72
(из 82 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

матриц. Эта группа обозначается через Мпхт{А)^ где А —
множество, откуда берутся матричные элементы.
- Полная линейная группа, т. е. квадратные матрицы фиксиро­
ванного размера с ненулевым определителем и элементами из
Z, Q, М или С. Если коэффициенты матриц из множества Л,
то такая группа обозначается через GLn{A).
- Специальная линейная группа, т. е. квадратные матрицы фик­
сированного размера с определителем ± 1 и элементами из Z,
Q, R или С. Если коэффициенты матриц из множества А, то
такая группа обозначается через SLn{A).
- Множество Sn всех перестановок п-элементного множества с
операцией умножения перестановок. Такая группа называется
симметрической группой.
- Множество непрерывных (дифференцируемых) функций из М
в М с операцией поточечного сложения.
- и так далее.
Список групп можно продолжать бесконечно. Группа — одно из
базисных понятий математики. Однако не всякий математический
объект является группой. В следующем списке Вам следует устано­
вить причину, почему то или иное множество не является группой.
468 Прилоотение А. Основная математическая терминология

- Множество N натуральных чисел с операцией сложения или
умножения.
- Множество Z целых чисел с операцией вычитания или умно­
жения.
Приведем некоторые определения из теории групп.

Определение А.28. Порядком группы G называется число ее эле­
ментов; оно обозначается через \G\ или # G .
Порядком элемента д ^ G называется наименьшее натуральное
число п, для которого д^ = е. Если такого числа нет, то говорят,
что элемент д имеет бесконечный порядок.
Циклической называется такая группа G, в которой найдется
элемент ^, такой, что любой другой элемент из G запишется в ви­
де д^ для некоторого натурального т. Такой элемент д называют
образуюш;ей группы, а саму группу обозначают через {д) = G.
Заметим, что только единица группы имеет порядок 1. Кроме
того, порядки элементов х и х˜^ совпадают.

Лемма А.29. Если G = (д) и порядок элемента д конечен и равен
п, то # G = п.
Доказательство. Любой элемент группы G имеет вид д'^ ^^ля
некоторого ?тг G Z, но поскольку порядок элемента д равен п, то
суш;ествует лишь п разных степеней, т. к.
9''+'=9^^9 = 60 = д.
Поэтому в группе G ровно п элементов. •
Соотнесем этот результат с перестановками, о которых мы го­
ворили раньше. Напомним, что множество перестановок образу­
ет группу Sn относительно композиции. Легко видеть, что если
а ^ Sn — /г-цикл, то порядок этой перестановки равен к. Кроме
того, несложно доказать, что порядок произведения независимых
циклов равен наименьшему обш;ему кратному порядков циклов.
Говорят, что подмножество S группы G порождает G, если лю­
бой элемент группы может быть записан как произведение элемен­
тов из 5 и обратных к ним. Например,
- группа ^3 порождена множеством {(1,2), (1,2,3)};
- группа Z"^ порождена единицей;
- группа Q* порождена множеством простых чисел и поэтому
имеет бесконечное число образуюш;их.
А.6. Группы 469

Заметим, что порядок группы ничего не говорит о числе ее образу­
ющих.
Важный класс конечных групп, в которых легко разобраться,
доставляется арифметикой остатков. Напомним, что группа Z/?7iZ
состоит из элементов { 0 , 1 . . . , m — 1}. Ее групповая операция — сло­
жение по модулю т. Относительно умножения это множество не
образует группу в общей ситуации, даже если мы выбросим из не­
го 0. Однако оно содержит подмножество, которое наделено струк­
турой группы. Положим
(Z/mZ)* = {хе Z/mZ| ПОД ( т , х ) = 1}.
Оказывается, это группа по умножению. Результатом умножения
двух элементов а иЬ является неотрицательный остаток от деления
аЬ на т . Порядок группы (Z/mZ)* обозначается через (р{т) и на­
зывается значением функции Эйлера на числе т. Функция Эйлера
играет заметную роль в теории чисел. Например, ее значение на
простом числе р равно (р{р) = р — 1. Вернемся к этой функции чуть
позже, а сейчас займемся подгруппами.

Определение А.30, Подгруппой Н группы G называется подмно­
жество Н С G^ которое является группой относительно групповой
операции в G. В этом случае мы будем писать^ Н < О.
Согласно определению, группа GLn(R) не является подгруппой
в Мп(Ш.)^ хотя с теоретико-множественной точки зрения GLn(M) С
С Мп{Ш). Дело в том, что групповой операцией в GLn(R) являет­
ся матричное умножение, тогда как в М^(М) — сложение матриц.
С другой стороны, легко выписать цепочки подгрупп:
Z+ < Q"^ < М+ < С"^,
Q* < R* < С*.
Если отождествить ж G Z с диагональной матрицей diag(rr,... ,ж),
то мы получим, что Z"^ — подгруппа в Mn(Z), и т. д.
В качестве важного примера рассмотрим множество 2Z всех чет­
ных чисел. Они образуют подгруппу в Z"^. Если обозначить Z"^ = 1Z,
то можно утверждать, что nZ < mZ тогда и только тогда, когда т
делит п, где mZ — множество всех целых чисел, кратных т. Таким
образом возникают разные цепочки подгрупп в Z˜^:
< 6Z < 2Z < Z+,

^В российской традиции используют обозначение Н С G. — Прим. перев.
Прилооюение А. Основная математическая терминология

18Z < 9Z < 3Z < Z+,
18Z < 6Z < 3Z < Z+.
Покажем, что в Z"^ другого типа подгрупп не бывает.

Лемма А.31. Любая подгруппа в Z"^ имеет вид nZ для некоторого
неотрицательного целого числа п.
Доказательство. Пусть Н — подгруппа в Z"^. Поскольку Н не
пусто, в ней должен найтись элемент х и обратный к нему —х. Если
X = О и других элементов Н не содержит, то Н = 0Z. В противном
случае в Н найдется хотя бы одно натуральное число. Обозначим
через п наименьшее натуральное число, лежащее в подгруппе i?, и
пусть т — произвольный ненулевой ее элемент. Разделим m на п с
остатком, т. е. найдем такие q^r Е Z^ что О < г < п и
т — nq + г.
Но тогда по свойствам подгруппы г G Н. По выбору п остаток г
должен быть нулевым, т.е. любой элемент подгруппы Н кратен п. •
Из леммы непосредственно следует, что любая ненулевая под­
группа в Z"^ имеет бесконечный порядок. Кроме того, комбинируя
ее с предыдущим замечанием о цепочках подгрупп, можно получить
хорошее определение простых чисел.

Определение А.32. Простое число является (положительной) обра­
зующей собственной подгруппы Н в Z"^, т. е. не нулевой и не совпа­
дающей с Z"^, для которой нет таких собственных подгрупп в Z"^,
отличных от if, которые содержали бы все элементы Н,
Это определение хорошо тем, что оно непосредственно не апел­
лирует к мультипликативной структуре группы Z"*". Кроме того, из
него сразу следует, что ни О, ни 1 не являются простыми числами.
Кроме того, его можно обобщить на другие ситуации. Подробности
обобщений можно узнать из стандартного учебника по абстрактной
алгебре.

А . 6 . 1 . Н о р м а л ь н ы е п о д г р у п п ы и классы
смежности
Нормальные подгруппы очень важны в теории групп. Не следует
считать, что эти подгруппы получаются каким-то нормальным спо­
собом, название — всего лишь дань традиции. Перед определением
нормальной подгруппы следует сказать несколько слов о сопряжен­
ных элементах.
А.6. Группы 471

Определение А.33. Говорят, что элементы х иу группы G сопря­
жены, если существует такой элемент д ^ G^ что х = д˜^уд.
Легко проверить, что два сопряженных элемента имеют одина­
ковый порядок. Если N — подгруппа в G, а ^ G G, то введем обо­
значение
g-^Ng = {д-^хд\ х е N} .
Очевидно, g˜^Ng тоже является подгруппой в G, Ее обычно назы­
вают подгруппой, сопряэюенной с N.

Определение А.34. Подгруппа N < G называется нормальной^
если для каждого д Е G имеет место включение g˜^Ng С N. Нор­
мальность подгруппы обозначают как N <G.
В любой группе есть по крайней мере две нормальные подгруп­
пы: G<G и {e}<G. Если G — абелева группа, то любая ее подгруппа
будет нормальной. Особое значение нормальных подгрупп состоит
в том, что по ним можно факторизовать. Факторизация имеет непо­
средственное отношение к классам смежности, которые мы сейчас
опишем.

Определение А.35. Пусть Н — подгруппа (не обязательно нор­
мальная) в группе G. Фиксируем д Е G и определим левый класс
смеэюности как
дН = {ghl heH}.
Аналогично определяется правый класс смеэюности:
Нд = {hg\ heH}.

Можно показать что множество всех левых (правых) классов
смежности по подгруппе Н образует разбиение группы G. Кроме
того, если а, Ь G G, то аН = ЬН в том и только том случае, ко­
гда Ь˜^а G i/, что эквивалентно условию а˜^Ь G Н. Проверку этих
фактов мы оставим читателю. Обратите внимание на то, что быва­
ют равные смежные классы аН — ЬН с разными представителями

Сформулированные утверждения говорят о том, что отношение
на множестве элементов группы G, определяемое правилом
аг^Ь <==> аЬ˜^ е Я,
является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности —
это в точности левые классы смежности по подгруппе Н.
Приложение А. Основная математическая терминология

Число левых классов смежности по подгруппе Н в G обознача­
ется символом {О : H)L^ а число правых — {G : Н)ц. Теперь мы
в состоянии доказать одну из фундаментальных теорем теории ко­
нечных групп, а именно, теорему Лагранжа.

Теорема А.36. (Лагранжа) Пусть Н — подгруппа конечной
группы G. Тогда
\G\ = {G:H)L-\H\ = {G:H)R-\H\.

Доказательству этого результата мы предпошлем формулиров­
ку важного следствия из него.

Следствие А.37. Имеет место равенство {G : H)L = {G : H)R. ЭТО
число обозначается через {G : Н) и называется индексом подгруппы
Н в G. Как порядок подгруппы, так и ее индекс делят порядок
группы. Если порядок группы G — простое число, то она не имеет
собственных подгрупп.
Вернемся к доказательству теоремы Лагранжа.
Доказательство. Индуктивно сформируем последовательность
разных смежных классов по подгруппе /зГ, начиная с представителя
gi = е. Первый левый смежный класс еН совпадает с самой подгруп­
пой. Предположим, что мы уже построили разные смежные классы
giH^ д2Н, . . . , giH, Возьмем элемент ^г+ь не попавший ни в один из
построенных смежных классов. Тогда новый класс gi-^iH не будет
совпадать ни с одним из построенных ранее, и мы можем удли­
нить последовательность. Ясно, что этот процесс кончится в тот
момент, когда мы исчерпаем все элементы группы. Таким образом,
мы получили множество непересекающихся левых смежных классов,
покрывающих всю группу:
G= и дгН.

Кроме того, для любой пары индексов имеет место равенство \дгН\ =
= \gjH\^ что следует из биективности отображения
Н • дН^ h — gh.
I>
Следовательно,
|G|= Yl \9iH\ = {G:H)L\H\.

Равенство для правых смежных классов получается аналогично. •
А.6. Группы

Из следствия после теоремы Лагранжа выводится следующая
лемма.

Лемма А.38. Группа простого порядка является циклической.
Доказательство. Если д ? G яе равен единице, то {д) — подгруп­
па в G, порядок которой больше 1. Но этот порядок должен делить
порядок G, т.е. простое число. Значит \{д)\ = |G|, откуда (д) = G,
что означает цикличность группы G. Ш
С помощью теоремы Лагранжа можно выписать все подгруппы
в группах небольшого порядка. Например, рассмотрим симметри­
ческую группу 5з. Ее порядок равен 6. Поэтому, согласно теореме
Лагранжа, порядок ее подгрупп может быть равен 1, 2, 3 или 6. Лег­
ко видеть, что все ее подгруппы представлены следующим списком:
- одна подгруппа порядка 1, а именно ((1));
- три подгруппы порядка 2: {(1,2)), ((1,3)) и ((2,3));
- одна подгруппа порядка 3, а именно ((1,2,3));
- одна подгруппа порядка 6 — сама G.

А.6.2. Факторгруппы
Всюду в этом разделе символ G закреплен за группой с нормаль­
ной подгруппой N, Следующая элементарная лемма, доказательство
которой мы опять оставим читателю, объясняет наш повышенный
интерес к нормальным подгруппам.

Лемма А,39. Пусть Н — подгруппа в G. Тогда следующие утвер­
ждения эквивалентны:
1. хН = Нх для любого X Е G.
2. х˜^Нх = Н для всех х е G.
3. H<G.
4. x˜^hx G Н для всех х Е G и h е Н.

Обозначим через G/N множество всех левых смежньлх классов N.
Заметим, что оно совпадает с множеством правых смежных классов.
Напомним, что два смежных класса giH и д2Н равны тогда и только
тогда, когда gi^g2 ^ ^ •
Мы хотим наделить множество G/N структурой группы. Ес­
ли получится, то эта группа будет называться факторгруппой G
по подгруппе N, Для этого нам необходимо определить групповую
операцию на множестве смежных классов. Пусть giN и g2N — два
Прилооюение А, Основная математическая терминология

смежных класса. Определим их произведение как смежный класс
{9i92)N.
Прежде всего следует проверить корректность определения опе­
рации, т. е. что результат умножения смежных классов не зависит
от выбора представителей. Возьмем другие представители д'^ и ^2-

<< Предыдущая

стр. 72
(из 82 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>