<< Предыдущая

стр. 73
(из 82 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Тогда Qi^g'i = ni е N и ^^^^2 — ^2 ^ ^ - Надо убедиться, что
i9i92)N = {gW2)N.
Пусть X G {gig2)N. Тогда х = gig2'^ Р^^я. некоторого п ^ N. Этот
элемент можно переписать в виде х = 5i^i"^^2^2^^n. Но так как N —
нормальная подгруппа (левые классы смежности совпадают с пра­
выми), то п[˜ д^ — ^2^3 N^^ некоторого пз G N, Следовательно,
^ ^д[д2ч^гП2^п е д[д2^'
Это рассуждение дает нам включение {gig2)N С {g[g2)N^ а обратное
получается аналогично. Значит, {gig2)N = {g[g2)N и операция опре­
делена корректно. Можно показать, что если таким же способом
задать групповую операцию на множестве левых смежных классов
по произвольной подгруппе i7, то она будет корректно определена
в том и только том случае, когда Н — нормальная подгруппа в G.
Итак, у нас есть корректно определенная операция на G/N и нам
нужно проверить, что она удовлетворяет всем аксиомам группы.
- В качестве единицы выступает смежный класс eN = iV, по­
скольку для всех д Е G
eN-gN = {eg)N = gN.

- Обратным к классу gN служит смежный класс g˜^N. Действи­
тельно,
gN • g-^N = {gg˜^)N = eN = N.

- Ассоциативность следует из преобразований:
{giN){g2N • gsN) = giN{{g2g3)N) = {gi{g29z))N =
= {{9i92)93N = {{9ig2)N)gsN =
= {giN'g2N){gsN).

Приведем несколько примеров.

1. Пусть G — произвольная конечная группа, порядок которой
больше 1. Тогда Н = G и Н = {е} — нормальные подгруппы
BG.
А.6. Группы

2. Если Н = G^ то существует всего один класс смежности по
подгруппе Н. Поэтому в этом случае G/G = {е} — группа
порядка 1.
3. Если Н = {е}, то любой смежный класс по Н состоит ровно
из одного элемента группы G. Очевидно, здесь G/H = G.
4. Рассмотрим группу ^з и ее подгруппу iV, состоящую из пере­
становок {(1), (1,2,3), (1,3,2)}. Поскольку \8з\ == 6, а \N\ = 3,
существует только два смежных класса. Отсюда легко полу­
чить, что N — нормальная подгруппа. Более того, \G/N\ = 2.
Значит мы получаем группу, состоящую из двух элементов: а
и е. Легко понять, что на ней существует единственно возмож­
ная групповая операция, а именно: еа = ае — а^ аа = е и ее = е.
Значит, это циклическая группа порядка 2.
5. Если G абелева группа, то любая ее подгруппа Н нормальна и
существует факторгруппа G/H.
6. Поскольку Z"^ абелева группа, то mZ — ее нормальная под­
группа и можно рассмотреть факторгруппу %jrnL, Получится
группа целых чисел по модулю п с операцией суммы.

А.6.3. Гомоморфизмы
Пусть Gi и G2 — группы. Нам хотелось бы исследовать функции
из Gi ъ G2-, но не все, а лишь те, которые сохраняют групповую
операцию.

Определение А.40. Гомоморфизмом групп (или просто гомомор­
физмом) из группы Gi в группу G2 называется функция
/ • Gi • G2,
сохраняющая групповую операцию, т.е. для любых х^у е G выпол­
нено свойство
f{x-y) = f{x)-fiy).

Заметим, что умножение в левой части равенства происходит по
групповому закону в группе Gi, а в правой части — в группе G2-
Обратимся к примерам.
1. Тождественное отображение idG ' G • G, при котором
idG(^) == 9 А^ля всех д ^ G^ является гомоморфизмом групп.
2. Функция ехр : Ж^ • R*, заданная формулой ехр(а:) = е^,
является гомоморфизмом групп, поскольку
476 Прилоэюение А. Основная математическая терминология

3. Гомоморфизмом будет и функция abs: С* • R*, определяе­
мая формулой: abs(z) = \z\.
4. Функция det : GLn(C) • С, сопоставляющая квадратной
матрице ее определитель, — тоже гомоморфизм, т. к.
det{AB) = det{A) ' det{B)
для любой пары квадратных матриц.
Следующая лемма объединяет два элементарных свойства гомомор­
физмов.

Лемма А.41. Пусть / : Gi • G2 — гомоморфизм групп. Тогда
1- /(^i) = ^2-> где ei — единица группы Gi,
2. Для всех X Е Gi выполнено тождество f{x˜^) = {f{x))˜ .
Доказательство. В первом случае получаем e2f{x) = f{x) =
= f{eix) = f{ei)f{x). Поэтому
62 - fix)fix)-' = f{ei)f{x)f{x)-' = /(ei).
Bo втором случае
fix-') fix) = fix-'x) = fiei) = 62.
Значит, f{x˜^) и f{x) взаимно обратны. •
С каждым гомоморфизмом канонически ассоциированы две спе­
циальные подгруппы.

Определение А.42. Ядром гомоморфизма / называется множе­
ство
K e r / = { x € G i | / ( x ) = e2}.
Образом гомоморфизма / называется множество
Imf=:{yeG2\y = f{x), xeGi}.

Лемма А.43. К е г / — нормальная подгруппа в Gi.
Доказательство. Прежде всего покажем, что ядро образует под­
группу. Оно непусто, поскольку ei G К е г / . Пусть х G К е г / . Тогда
f{x˜^) = f{x)˜^ = 62^ — е2. Значит, вместе с каждым элементом в
К е г / туда попадает и обратный к нему. Поэтому нам достаточно
показать, что К е г / замкнуто относительно умножения, т.е. если
х^у ^ К е г / , то ж • у G К е г / . Но
i[x • у) = f{x)f{y) = 62-62 = 62.
А.6. Группы

Итак, К е г / — действительно подгруппа в Gi. Теперь нужно по­
казать, что это нормальная подгруппа. Согласно лемме А.39, до­
статочно проверить, что для любых элементов х Е Gi и h Е К е г /
выполнено включение: x˜^hx G К е г / . Это следует из определения
ядра и преобразований
f{x-'hx) = f{x)-'f{h)f{x) = f{xr'e2f{x) = fix)-'fix) = 62. Ш


Лемма A.44. I m / является подгруппой в ^2-
Доказательство. Ясно, что Im / — непустое множество, посколь­
ку /(^i) = ^2? т.е. 62 G I m / . Пусть у G I m / . Это означает, что най­
дется X G Gi, для которого f{x) = у. Тогда f{x˜^) = f{x)˜^ = у˜^.
Значит, у˜^ G I m / .
Осталось показать, что вместе с любыми yi, у2 G I m / произведе­
ние у\ • у2 тоже лежит в I m / . По предположению существуют такие
жь^2 G Gi, что f{xi) = уг. Следовательно, f{xi^X2) = f{xi)'f{x2) =
— 2/1 • 2/2- Таким образом, ?/i • У2 G I m / . •
Ясно, что Im / в некотором смысле определяет, насколько функ­
ция / близка к (или далека от) сюръективной. Более точно, / сюръ-
ективна тогда и только тогда, когда Im / = G2. Фактически, множе­
ство смежных классов G 2 / I m / служит для этой цели лучше. С дру­
гой стороны, подгруппа Кег / говорит, насколько функция / отли­
чается от инъективной, благодаря следующему результату.

Лемма А.45. Гомоморфизм / : Gi • G2 инъективен тогда и
только тогда, когда К е г / = {ei}.
Доказательство. Предположим, что / — инъективная функция.
Тогда из равенства f{x) = 62 = f{ei) немедленно следует, что х = ei.
Значит, К е г / = {ei} в этом случае.
Допустим теперь, что К е г / = {ei}, но найдется пара элементов
X, у е Gi, для которой f{x) = f{y). Тогда
f{xy-') = f{x)f{y-') = f{x)f{y)-' = f{y)f{yr' = 62.

Отсюда следует, что ху˜^ G К е г / , т.е. ху˜^ = ei, откуда х = у.
Значит, / — инъективная функция. •
Биективные гомоморфизмы позволяют нам говорить о «равен­
стве» групп.

Определение А.46. Гомоморфизм / : Gi • G2 называется
изоморфизмом^ если / — биективная функция. Группы, между ко­
торыми существует изоморфизм, называются изоморфными. Этот
факт обозначается символом Gi ˜ G2.
Прилоэюение А, Основная математическая терминология

Заметим, что изоморфные конечные группы обладают одинако­
вым количеством элементов. На самом деле^ во многих приложени­
ях изоморфные группы можно считать просто равными друг дру­
гу, поскольку они выглядят абсолютно одинаково с точностью до
переобозначения элементов. Изоморфизмы обладают следующими
свойствами:
- любая группа G изоморфна себе ввиду наличия тождественно­
го изоморфизма, т. е. отношение изоморфности на множестве
всех групп рефлексивно;
- если / : Gi • G2 и ^ : G2 • Gs — изоморфизмы, то
композиция д о f тоже будет изоморфизмом, т.е. отношение
изоморфности является транзитивным;
- обратная функция /˜^ : G2 • Gi к любому изоморфизму
/ : Gi • G2 является изоморфизмом, что свидетельствует
о симметричности отношения изоморфности.
Из этих свойств вытекает, что понятие изоморфизма групп инду­
цирует отношение эквивалентности на множестве всех групп, что
оправдывает наше стремление отождествить понятие изоморфизма
с понятием равенства.
Пусть Gi и G2 — группы. Определим прямое произведение групп
Gi X G2 как множество упорядоченных пар (^1,^2)5 где ^^ G G^, с
покомпонентной операцией:

(ffb52) '{91^92) = {91 -91192-92)^
где умножение в первой компоненте пары происходит по группово­
му закону в первой группе, а во второй компоненте — во второй.
В качестве примера рассмотрим отображение
С"^ R+ X R+, z ^ (Re(z),Im(^)).
Это отображение, очевидно, является биективным гомоморфизмом.
Так что С+ ˜ R + x R + .
Теперь мы сформулируем важную теорему, показьшаюшую, что по­
нятие факторгруппы и образа гомоморфизма практически совпадают.

Теорема А.47. (Первая теорема об изоморфизме групп.)
Пусть / : Gi • G2 — гомоморфизм групп. Тогда Gi/Ker / ˜ I m / .
Доказательство теоремы можно найти в любом учебнике по выс­
шей алгебре. Заметим, что факторгруппа G i / K e r / определена кор­
ректно, поскольку К е г / — нормальная подгруппа в Gi.
АЛ. Кольца

А.7. Кольца
Кольцом называют абелеву группу по сложению с дополнительной
операцией умножения. Умножение должно быть ассоциативной опе­
рацией, причем умножение и сложение должны быть связаны зако­
ном дистрибутивности:
а • {Ь-{- с) = а - Ь + а • с^ {Ь + с) • а = b - а -\- с - а.
Если умножение обладает единичным элементом, то говорят о коль­
це с единицей. Кольцо с коммутативной операцией умножения на­
зывают коммутативным.
Примеры коммутативных колец с единицей:
- целые числа с обычными операциями сложения и умножения;
- множество 7J[X] многочленов от переменной х с коэффициен­
тами в Z;
- целые числа по модулю п — кольцо вычетов по модулю п,
обозначаемое Z/nZ.
Хотя в теории колец можно рассматривать подкольца, это не
интересно д^ля нас. Куда большее значение имеет понятие идеала.
Пусть R — кольцо. Идеалом I (правым) в кольце R называется адди­
тивная подгруппа, выдерживающая умножения на элементы кольца
(справа), т.е.
\/iei, УгеК г-г el.
Простейшим примером идеала служат главные идеалы, т. е. идеалы
вида
(а) = аД = {а • г| г G Л} ,
порожденные одним элементом а е R. Если i? = Z, то любой идеал
/ в нем главный, т. е. / = mZ для некоторого целого числа т. Но по
таким идеалам мы можем взять фактор, в частности, Ъ/тЪ явля­
ется кольцом, где сложение и умножение происходит по модулю т.
Это естественным образом подводит нас к китайской теореме об
остатках.

Теорема А.48. (Китайская теорема об остатках.) Пусть т =
— р^^ '' 'Рр — разложение числа т на простые множители. Тогда
отображение
Z/mZ -^ X • • • X Z/ppZ
Z/PI'Z
X — (ж (modp^^), . . . , X {modpp))
I>
является изоморфизмом колец.
Прилодюение А. Основная математическая терминология

Этот факт может быть доказан индукцией по числу простых
делителей числа т. Оставим его доказательство читателю.
Вернемся к функции Эйлера (^, встреченной нами ранее. На­
помним, что ^{п) обозначает порядок мультипликативной группы
(Ъ/пЪу, Нам бы хотелось легко вычислять значения функции (/?.

Лемма А.49. Пусть т — р1^ " 'PV — разложение на простые мно­
жители числа т. Тогда


Доказательство. Это равенство непосредственно следует из ки­
тайской теоремы об остатках, т. к. изоморфизм колец
Z / m Z 2:^ Z/PI'Z X . . . X Z/p^^*Z
индуцирует изоморфизм групп
(Z/mZ)* - {Z/pl'Zy X . . . X {Z/ppZ)\ ш
Теперь для вычисления значений функции Эйлера нам достаточ­
но следующей леммы.

Лемма А.50. Если р — простое число, то (р{р^) = р^˜^{р — 1).
Доказательство. Прежде всего отметим, что ^р{т) совпадает с
количеством взаимно простых с т чисел /и, которые удовлетворяют
условию: 1 ^ к < т. Общее количество чисел, не превосходящих р^,
очевидно равно р^ — 1. Теперь нам надо выбросить из них те, которые
имеют с р^ нетривиальный общий делитель, т. е. числа вида к = гр,
где I ^ гр < р^, Последнее неравенство влечет, что 1 ^ г < р^˜Ч
Значит существует ровно р^˜^ — 1 не взаимно простых с р^ чисел,
принадлежащих кольцу Z/p^Z, Следовательно,
^{р') = (р« - 1 ) - (р«-1 - 1 ) = р ' - ^ { р -1). •
Идеал / кольца называется максимальным, если он не содержит­
ся ни в каком другом идеале кольца (исключая само кольцо). На­
пример, идеал mZ будет максимальным тогда и только тогда, когда
т — простое число. Факторкольцо по максимальному идеалу будет
уже не только кольцом, но еще и полем.

<< Предыдущая

стр. 73
(из 82 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>