<< Предыдущая

стр. 74
(из 82 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



А.8. Поля
Поле — это, по существу, структуры двух абелевых групп на одном
множестве, связанные между собой законом дистрибутивности.
А.8. Полл 481

Определение А.51. Полем называется такая аддитивная абелева
группа F , что F \ { 0 } тоже образует абелеву группу, но относитель­
но умножения. Сложение и умножение в поле должны удовлетворять
следующему свойству дистрибутивности:
а - {Ь -\- с) = а • b + а ' с.

Чаще всего встречающиеся поля имеют бесконечно много эле­
ментов. Любое поле содержит в качестве подполя либо рациональ­
ные числа, либо поле ?р = Z/pZ, В первом случае говорят, что ха­
рактеристика поля равна О, а во втором — р. Любое конечное поле
состоит из р^ элементов с простым р и натуральным г. Все поля
с таким числом элементов изоморфны и обозначаются ?рг. Иногда
конечные поля называют полями Галуа.
Пусть F — поле, символом F[X] обозначим кольцо многочленов
от переменой X с коэффициентами из поля F . Множеством F{X)
рациональных функций от X называют совокупность функций ви­
да f{X)/g{X), где f{X),g{X) G F[X] и д{Х) — ненулевой много­
член. Рациональные функции образуют поле относительно очевид­
ных операций сложения и умножения. Следует помнить о разных
скобках, обозначающих кольцо многочленов F[X] и поле рациональ­
ных функций F{X).
Пусть / — неприводимый многочлен степени п с коэффициента­
ми из ?р. Обозначим через в его формальный корень и рассмотрим
множество
Fp(^) = {ао + ai^ + • • • + an-iO'^'^l щ € F^} .
Два таких выражения можно сложить, сложив соответствующие ко­
эффициенты, и умножить по обычному правилу, но потом взять
остаток от деления произведения на /{в). Эти операции наделяют
?р(в) структурой поля. Существует изоморфизм полей
Fpn = ?р{в) = Fp[X]/(/),
где (/) — главный идеал кольца Fp[X], порожденный / . Для кон­
кретности рассмотрим простое число р вида р = Ак -\- 3 {к — нату­
ральное число) и многочлен f{X) = Х'^ + 1. Легко проверить, что
поскольку р = 3 (mod 4), многочлен f{X) неприводим над полем ?р
и факторкольцо ?p[X]l{f) является полем, изоморфным полю ?р2.
Пусть г — формальный корень многочлена f{X) = Х^ Н- 1. Поле
?р2 = ?p{i) состоит из чисел вида
а -h Ы,
482 Прилоэюение А. Основная математическая терминология

где а и b — целые числа по модулю р. Складываюся эти числа по
правилу
{а + Ы) + {с-\- di) = (а + с) -h (6 + d)i,
а умножаются так:
(а + Ы) • (с + di) = {ас + (ad + bc)i + bdi ) = {ас — bd) + {ad + bc)i.
=
Рассмотрим еще один пример. Пусть в — формальный корень
многочлена Х^ + 2. Тогда элементы поля Fys = F7(^) записываются
как
аЛ-Ьв-^св'^.
Перемножим два таких элемента:
{а + Ьв^ св^) . (а' + Ь'в + с'в^) =
- аа' + в{аЪ + Ь'а) + в'^{ас' + ЬУ + са') + в^{Ьс' + сЬ') + сс'е"" =
= {аа' - 2Ьс' - 2сЬ') + 9{а'Ь + Ь'а - 2сс') + в^{ас' + bb' + са').

А.9. Векторные пространства
Определение А.52. Векторным (линейным) пространством V
над полем К называется абелева группа (тоже обозначаемая че­
рез V) с дополнительной операцией К х V • V (называемой
умножением на скаляры), удовлетворяющая следующим аксиомам:
если Л, /i G X и ж, у G F , то
(а) X{/j,x) — (A/i)^;
(б) (Л + ii)x — \х Л- fiX'^
(в) Х{х -i-y) = Хх -\- Ау;
(г) I • X = X.

Элементы группы V обычно называют векторами, а элементы
поля К — числами или скалярами. Обратите внимание, что об умно­
жении векторов на векторы или о делении их речи не идет. Начнем
с примеров.
- Пусть К — поле и К^ = К х К х • • • х К — прямое произведе-
п
ние п экземпляров поля. Это множество является векторным
пространством относительно обычного покомпонентного сло­
жения и умножения на числа. Особый случай п — 1 свидетель­
ствует, что любое поле можно рассматривать как векторное
пространство над собой. Если iC = М и п = 2, то R^ — зна­
комая система геометрических векторов на плоскости. Если
А.9. Векторные пространства

К = Ш и п = 3^ то получается совокупность векторов в про­
странстве. Следовательно, можно считать, что К^ — п-мерное
векторное пространство.
- Рассмотрим множество многочленов К[Х] над полем К. Оно
является векторным пространством над К с обычным сложе­
нием и умножением на элементы К.
- Пусть Е — произвольное множество. Наделим множество функ­
ций / : Е • К со значениями в поле К структурой вектор­
ного пространства. Для этого положим по определению:
{f + 9){x)=f{x) + gix) и (А/)(^) = А/(:г).

- Множество всех непрерывных функций / : М • Ш является
векторным пространством над R, поскольку сумма непрерыв­
ных функций непрерывна и произведение непрерывной функ­
ции на число — тоже непрерывная функция.

А.9.1. Подпространства
Пусть V — векторное пространство над полем К. Его подпростран­
ством W называют такое подмножество в У, что W — подгруппа
в V относительно сложения и для всех w EW и X Е К имеет место
включение: Xw G W, Последнее свойство именуют замкнутостью
W относительно умножения на скаляры. Фактически, подпростран­
ство само является векторным пространством над тем же полем от­
носительно операций в основном пространстве. В любом векторном
пространстве V есть два тривиальных подпространства: нулевое
{0} и само V. Обратимся к менее тривиальным примерам.
-V = K^HW = { ( 6 , . . . , ^п) е К-\ ^п = 0};
- У - К - и Т ^ = { ( 6 , . . . , ^ п ) € Х - | 6 + --- + ^п = 0};
- V = К[Х] HW = {f е К[Х]\ / = о или d e g / < 10};
- С как естественное векторное пространство над Q и R как
подпространство в С;
- пусть V — множество всех непрерывных функций из R в R,
тогда VF, множество всех дифференцируемых функций из М в
R, является подпространством в V.

А.9.2. Свойства векторов
Для дальнейшего рассказа нам понадобятся некоторые свойства се­
мейств векторов линейного пространства. В следующем определе-
484 Прилоэюение А. Основная математическая терминология

НИИ через V обозначено векторное пространство, а через ^ i , . . . , гс^
его элементы, т. е. векторы.

Определение А.53. Вектор х называется линейной комбинацией
векторов ^ 1 , . . . , а;^, если для некоторых скаляров Xi Е: К выполнено
равенство
X = Airri Н Хп^п-
Векторы XI,...,Хп называются линейно независимыми, если соот­
ношение
Ai:r;i Н ХпХп = О
возможно только при Ai = • • • = A^i = 0. Если это не так, то векторы
называются линейно зависимыми.
Подмножество А векторного пространства V называется линейно
независимым или свободным, если любое его конечное подмноже­
ство векторов линейно независимо.
Подмножество А векторного пространства называется полным, ес­
ли любой вектор из V представляется линейной комбинацией конеч­
ной системы векторов из А.
Векторное пространство называется конечномерным, если в нем су­
ществует конечная полная система векторов.
Приведем примеры конечномерных пространств.
- Пространство V = К^ конечномерно, т. к. система векторов
ei = ( l , 0 , 0 , . . . , 0 ) ,
62 = ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ) ,


en = ( 0 , 0 , 0 , . . . , ! )
является полной в V. Обратите внимание на аналогию этого
примера с геометрической плоскостью.
- С — конечномерное пространство над R, т. к. элементы {1, \ / ^ }
образуют полную систему.
- Как М, так и С — бесконечномерные векторные пространства
над Q. Доказательство следует из Канторовской теории мно­
жеств: Q —счетное множество, поэтому любое конечномерное
пространство над Q должно состоять из счетного числа век­
торов. Но как М, так и С — несчетные множества.
Приведем примеры линейно независимых систем векторов.
- В пространстве V = К^ определенные в предыдущих приме­
рах векторы ei,... ,еп являются линейно независимыми.
А.9. Векторные пространства 485

- Векторы XI = (1,2,3), Х2 = (—1,0,4) и жз = (2,5,-1) линейно
независимы как векторы из R^.
- С другой стороны, векторы yi = (2,4, —3), у2 = (1,1? 2) и уз =
=
= (2,8, —17) линейно зависимы, т. к. Зух — 4?/2 — Уз = 0.
- В векторном пространстве К[Х] над полем К бесконечная си­
стема векторов
{1,Х,Х^Х\...}
линейно независима.

А.9.3. Размерность и базисы
Определение А.54. Полная линейно независимая система векто­
ров в векторном пространстве V называется базисом.
Если в пространстве V фиксирован базис Ж1,...,ж^, то любой
вектор X из V однозначно представляется линейной комбинацией
X = Ai^i Н ХпХп-
Действительно, если есть еще одна такая линейная комбинация х =
= jjLiXi + •' • fjin^n^ то вычитая одну из другой, получим
о = X - X = {Xi- /ii)xi Н h (An - 1Лп)хп-
Поскольку векторы базиса линейно независимы, последнее равен­
ство возможно только когда Л^ = /Хг АЛ.Я. всех г.
Примеры.
- Векторы e i , . . . , вгг в К^ являются базисом, который называют
стандартным.
- Множество {1, \ / ^ } — базис С над R.
- Бесконечная последовательность {1, X, Х^, Х ^ , . . . } образует
базис пространства i^[X].
Чтобы упростить формулировку следующей теоремы, будем счи­
тать, что базисом нулевого векторного пространства V является
пустое множество.

Теорема А.55. Пусть в конечномерном векторном пространстве
V фиксировано конечное полное множество векторов С, а в нем
выбрано линейно независимое подмножество А. Тогда в V найдется
базис J5, удовлетворяющий условию: А С В С С.
Доказательство. Можно предполагать, что V ф {0}. Рассмотрим
совокупность всех линейно независимых подмножеств в С, содер­
жащих А. К такой совокупности относится и само множество А,
Прилоэюение А. Основная математическая терминология

поскольку оно линейно независимо. Возьмем среди них такое мно­
жество В^ которое содержит максимально возможное количество
элементов и покажем, что оно полно в V.
Поскольку С — полная система векторов в F , нам достаточно
показать, что любой вектор х Е: С выражается в виде линейной
комбинации векторов из В,
Вектор из JB, естественно, представляется линейной комбинаци­
ей векторов из В. Поэтому будем считать, что х ^ В и рассмотрим
новое множество В' = В \J {х} С С. Оно содержит больше эле­
ментов, чем В, Значит, В' — линейно зависимая система векторов.
Если xi, . . . , Ху., ж — все векторы из В\ то по определению линейной
зависимости существует соотношение
Ai^i + • • • + XrXr + Ах = О,
в котором не все коэффициенты Ai, . . . , А^, А равны нулю. Если при
этом А = О, то мы получим, что векторы xi, . . . , х^. — линейно зави­
симы, что противоречит предположению о линейной независимости
B. Следовательно, А т^ О и вектор х легко выражается из этого со­
отношения. Таким образом, мы сможем выразить любой элемент из
С (а значит и из У) в виде линейной комбинации векторов из S . •

Следствие А.56. Любое конечномерное векторное пространство
V обладает базисом.
Доказательство. Опять можно считать, что V ф {0}. Пусть С —
конечная полная система векторов из V (суш;ествующая по определе­
нию конечномерного пространства), а А = {ei} — подмножество в
C, состоявшее из любого ненулевого вектора. Ясно, что А — линейно
независимо, поэтому осталось применить теорему А.55. •
Теорема А.55 и следствие из нее останутся верными, даже ес­
ли опустить предположение о конечномерности пространства V, Но
в обыщем случае их доказательство суш;ественно сложнее. Следую-
ш;ий результат имеет большое значение в теории векторных про­
странств, т.к. позволяет ввести понятие размерности, обобщаю-
ш;ее естественное понятие двумерной плоскости и трехмерного про­
странства.

Теорема А.57. Пусть А — {xi, Х2, . . . , х ^ } — полная система
векторов в F , а S = {^1, у^^ . . . , Уп\ — линейно независимая система
в V. Тогда п ^т.
Доказательство. Благодаря полноте системы А, вектор yi Е В
А,9. Векторные пространства


можно представить в виде линейной комбинации

^т-^гп'
Вектор 2/1 7^ О, поэтому хотя бы один из коэффициентов комби­
нации тоже отличен от нуля (пусть, например, Ai / 0 ) . Тогда Xi
можно выразить через Х2^ .. •, Хт и yi. Следовательно, множество
Ai = {yi, ГГ2, . . . , х-^} — полная система векторов в К и через нее
можно выразить вектор у2^ит, д. Повторив процесс т раз, мы полу­
чим полную систему векторов Am = {yi, У2', - -' 1 Ут}' {Дл^я. большей
строгости рассуждение можно оформить в виде математической ин­
дукции, но мы не будем этим заниматься^.)
Если m < п, то в множестве В найдется еще по крайней мере
один Ут-hi-) который из-за полноты системы Am должен предста­
вляться в виде линейной комбинации
Ут+1 = Aiyi Н
= h ХтУт,
ЧТО противоречит линейной независимости В. Значит т ^ п. Ш
Пусть в конечномерном векторном пространстве V мы нашли
два базиса — А из т векторов, и В из п векторов. По предыдущей
теореме т ^ п^ т.к. А — полная, а. В — линейно независимая систе­

<< Предыдущая

стр. 74
(из 82 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>