<< Предыдущая

стр. 4
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

а подставив это выражение для х2 в уравнение (S.4), получаем
ди(Х1,т/p2-(pi/pjx\)ldx\ _ Pi
du(xi,m/p2-(pl/p2)xi)/dX2 p2'
Это достаточно громоздкое с виду выражение содержит лишь одну неизвестную
переменную xlt и ее значение обычно можно выразить через (pt, р2, т). Затем из
бюджетного ограничения можно получить решение для х2 как функции цен и дохода.
Можно вывести и более строгое решение задачи максимизации полезности, ис-
пользуя условия существования максимума функции, известные из курса дифферен-
циального исчисления. Для этого сначала представим задачу максимизации полезно-
сти в виде задачи на нахождение условного максимума:
max u(xi, Х2)
хг, хг

При P\XI + Р2*2 = т •

Эта задача требует выбора таких значений xt и х2, которые, во-первых, удовлетво-
ряли бы данному ограничению, а во-вторых, давали бы большую величину полезно-
сти и(х\, х2), чем любые другие значения х\ и х2, которые ему удовлетворяют.
Существуют два способа решения задачи такого рода. Первый заключается в том,
чтобы из бюджетного ограничения просто выразить одну переменную через другую, а
затем подставить полученное выражение в целевую функцию.
Например, для любого заданного значения х{ количество х2, требуемое для того,
чтобы удовлетворялось бюджетное ограничение, задано линейной функцией

*2(*l)=— - — *i (5.7)
Р2 Р2
Теперь подставим в функцию полезности х2(х\) вместо х2 и получим задачу на на-
хождение безусловного максимума
max и(хь т/р2 - (pi/ft)*i)-
*i
Это задача на нахождение безусловного максимума только по х\, поскольку мы
использовали функцию х2 (хг) для того, чтобы гарантировать, что значение х2 всегда
будет удовлетворять бюджетному ограничению, каково бы ни было значение XY.
ВЫБОР__________________________________________ 111

Задача решается, как обычно, путем взятия производной функции полезности по
*! и приравнивания ее к нулю. В результате получим условие первого порядка в виде

дх\ dxz dx\
Первый член этого выражения отражает прямое воздействие возрастания х\ на воз-
растание полезности. Второй член состоит из двух частей: du/dx2 — скорости возраста-
ния полезности по мере роста х2, умноженной на dx^/dxi — скорость возрастания х2 по
мере роста х{ в связи с необходимостью удовлетворения уравнению бюджетной линии.
Чтобы подсчитать эту последнюю производную, продифференцируем выражение (5.7)
А
<&2„
Рг
dx\
Подстановка полученного результата в (5.8) даст выражение


Р2
говорящее лишь о том, что предельная норма замещения товаров xl и х2 в точке оп-
тимального выбора ( х* , х2 ) должна быть равна отношению цен. Это именно то усло-
вие, которое мы вывели ранее: наклон кривой безразличия должен равняться наклону
бюджетной линии. Разумеется, оптимальный выбор должен удовлетворять и бюджет-
ному ограничению р\ х* + р2 х2 — т, что снова дает нам два уравнения с двумя неиз-
вестными.
Второй способ решения таких задач заключается в использовании множителей
Лагранжа. Применение этого метода начинается с составления вспомогательной
функции, известной как функция Лагранжа:
L = u(xlt х2) — K(pixi + Р2Х2 — т)
Новая переменная X именуется множителем Лагранжа, так как на нее умножается
ограничение. Согласно теореме Лагранжа, оптимальный выбор ( х\ , х2) должен удов-
летворять трем условиям первого порядка


дх\



9x2
dL

Три этих уравнения характеризуются несколькими интересными моментами. Во-
первых, они представляют собой просто приравненные к нулю производные функции
Лагранжа по х{, х2 и X. Последняя производная, по X, есть не что иное, как бюджетное
112________________________________________ Глава 5

ограничение. Во-вторых, теперь у нас имеются три уравнения с тремя неизвестными
хь х2 и X. Мы надеемся получить их решения для xt и х2, выраженные через р\, р2 и т.
Доказательство теоремы Лагранжа можно найти в любом учебнике по дифферен-
циальному исчислению продвинутого уровня. Эта теорема очень широко используется
в продвинутых курсах экономической теории, для наших же целей требуется знать
лишь формулировку данной теоремы и как ее применять.
В нашем конкретном случае стоит обратить внимание на то, что, поделив первое
условие на второе, получим

Рг
показывающее, как и раньше, что MRS должна равняться отношению цен. Другое
уравнение дано бюджетным ограничением, так что у нас снова оказываются два урав-
нения с двумя неизвестными.

ПРИМЕР: Функции спроса Кобба — Дугласа
В главе 4 мы ввели функцию полезности Кобба — Дугласа


Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного
преобразования, удобно прологарифмировать указанное выражение и работать далее с
выражением
In и(х\, ф) = с In *i + d In *2-
Найдем функции спроса на Х[ и х2 для функции полезности Кобба — Дугласа. За-
дача, которую мы хотим решить, имеет вид
max с In *i + d In x^
*1. Х2 . А


при PIXI + Р2.х2 = т.
Существует по меньшей мере три способа решения этой задачи. Один из них —
просто записать условие для MRS и бюджетное ограничение. Используя выражение
для MRS, выведенное в гл. 4, получаем
СХ2 ^ Р\
dx\ P2 '
Р\*\ + Р2*2 = т.
Это два уравнения с двумя неизвестными, решив которые, можно получить опти-
мальный выбор Xj и х2. Один из путей решения этих уравнений — подстановка вто-
рого уравнения в первое, которая дает
фя/ р2-х\р}/ Р2) _ Pi
dx\ P2
ВЫБОР__________________________________________113

Проделав перекрестное умножение, получим
с(т —хм) = dpixi.
Преобразование данного уравнения дает
cm = (с + d) = P\XI
или
ст
Х
1 ˜ ——7— •
c+d pt
Это функция спроса на х{. Чтобы найти функцию спроса на х2, подставим полу-
ченное выражение в бюджетное ограничение и получим
т р\ с т dm
Х2 = ——— — ———— = ————.
Pi P2c + d PI c + d p2

Второй путь решения — с самого начала подставить бюджетное ограничение в за-
дачу на нахождение максимума. Если мы сделаем это, задача примет вид
max с In х\ + d In (т/р? — x\p\/pi).
*1
Условие первого порядка для этой задачи имеет вид


xi m-p\x\ Pi

Немного несложных алгебраических преобразований и мы получаем решение
т
d
•\г. ^^ _ ___

c+dPl'
Подставив это выражение в бюджетное ограничение х2 = т/р2 — х\р\/р2, получим

_
c + d р2'
Таковы функции спроса на два товара, к счастью, оказавшиеся теми же самыми,
что и выведенные ранее другим методом.
Теперь обратимся к методу Лагранжа. Построим функцию Лагранжа
L = с In jq + d In *2 — X (piXi + P2X2 — m)
и продифференцируем ее, чтобы получить три условия первого порядка
—— = — — X
9xi х\
и
OLt

дх2 Х2
114_____________________________________Глава 5


зх
˜ = P\X\ + P2*1— "* = О-


Фокус теперь состоит лишь в том, чтобы их решить! Лучше всего сначала найти
решение для X , а затем — для х{ и х2. Преобразуем первые два уравнения и перекре-
стно их перемножим, получив в результате
С= Кр\Х\, d= \P2X2-

Эти два уравнения так и хочется сложить:
с + d = X (р\х\ + faXi) = X т,
что даст нам ,
с+</
т
Подставив это выражение обратно в первые два уравнения и выразив из них х\ и
х2, получим, как и раньше,
cm dm
ДС1-——7—, «--—т—•
c+d pl c+d p2

<< Предыдущая

стр. 4
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ