<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

xi = (xi , xi+r , ..., xi+r(n-1)), 0 ? i < r;
2) i-й фрагмент исходного текста xi шифруется при помощи подстановки Цезаря Ck :
(xi , xi+r , ..., xi+r(n-1)) ® (yi , yi+r , ..., yi+r(n-1)),
Вариант системы подстановок Вижинера при m=2 называется системой Вернама (1917 г).
В то время ключ k=(k0 ,k1 ,...,kк-1) записывался на бумажной ленте. Каждая буква исходного текста в алфавите, расширенном некоторыми дополнительными знаками, сначала переводилась с использованием кода Бодо в пятибитовый символ. К исходному тексту Бодо добавлялся ключ (по модулю 2). Старинный телетайп фирмы AT&T со считывающим устройством Вернама и оборудованием для шифрования, использовался корпусом связи армии США.
Очень распространена плохая с точки зрения секретности практика использовать слово или фразу в качестве ключа для того, чтобы k=(k0 ,k1 ,...,kк-1) было легко запомнить. В ИС для обеспечения безопасности информации это недопустимо. Для получения ключей должны использоваться программные или аппаратные средства случайной генерации ключей.

Пример. Преобразование текста с помощью подстановки Вижинера (r=4)
Исходный текст (ИТ1):
НЕ_СЛЕДУЕТ_ВЫБИРАТЬ_НЕСЛУЧАЙНЫЙ_КЛЮЧ
Ключ: КЛЮЧ
Разобьем исходный текст на блоки по 4 символа:
НЕ_С ЛЕДУ ЕТ_В ЫБИР АТЬ_ НЕСЛ УЧАЙ НЫЙ_ КЛЮЧ
и наложим на них ключ (используя таблицу Вижинера):
H+К=Ч, Е+Л=Р и т.д.
Получаем зашифрованный (ЗТ1) текст:
ЧРЭЗ ХРБЙ ПЭЭЩ ДМЕЖ КЭЩЦ ЧРОБ ЭБЮ_ ЧЕЖЦ ФЦЫН
Можно выдвинуть и обобщенную систему Вижинера. ЕЕ можно сформулировать не только при помощи подстановки Цезаря.
Пусть x - подмножество симметрической группы SYM(Zm).
Определение. r-многоалфавитный ключ шифрования есть r-набор p = (p0, p1, ..., pr-1) с элементами в x.
Обобщенная система Вижинера преобразует исходный текст (x0, x1 ,..., xn-1) в шифрованный текст (y0 ,y1 ,...,yn-1) при помощи ключа p = (p0, p1, ..., pr-1) по правилу
VIGk : (x0 ,x1 ,...,xn-1) ® (y0 ,y1 ,...,yn-1) = (p0(х0), p1(х1), ..., pn-1(xn-1)),
где используется условие pi = pi mod r .

Следует признать, что и многоалфавитные подстановки в принципе доступны криптоаналитическому исследованию. Криптостойкость многоалфавитных систем резко убывает с уменьшением длины ключа.
Тем не менее такая система как шифр Вижинера допускает несложную аппаратную или программную реализацию и при достаточно большой длине ключа может быть использован в современных ИС.

Гаммирование
Гаммирование является также широко применяемым криптографическим преобразованием. На самом деле граница между гаммированием и использованием бесконечных ключей и шифров Вижинера, о которых речь шла выше, весьма условная.
Принцип шифрования гаммированием заключается в генерации гаммы шифра с помощью датчика псевдослучайных чисел и наложении полученной гаммы на открытые данные обратимым образом (например, используя сложение по модулю 2).
Процесс дешифрования данных сводится к повторной генерации гаммы шифра при известном ключе и наложении такой гаммы на зашифрованные данные.
Полученный зашифрованный текст является достаточно трудным для раскрытия в том случае, если гамма шифра не содержит повторяющихся битовых последовательностей. По сути дела гамма шифра должна изменяться случайным образом для каждого шифруемого слова. Фактически же, если период гаммы превышает длину всего зашифрованного текста и неизвестна никакая часть исходного текста, то шифр можно раскрыть только прямым перебором (пробой на ключ). Криптостойкость в этом случае определяется размером ключа.
Метод гаммирования становится бессильным, если злоумышленнику становится известен фрагмент исходного текста и соответствующая ему шифрограмма. Простым вычитанием по модулю получается отрезок ПСП и по нему восстанавливается вся последовательность. Злоумышленники может сделать это на основе догадок о содержании исходного текста. Так, если большинство посылаемых сообщений начинается со слов “СОВ.СЕКРЕТНО”, то криптоанализ всего текста значительно облегчается. Это следует учитывать при создании реальных систем информационной безопасности.
Ниже рассматриваются наиболее распространенные методы генерации гамм, которые могут быть использованы на практике.

Датчики ПСЧ
Чтобы получить линейные последовательности элементов гаммы, длина которых превышает размер шифруемых данных, используются датчики ПСЧ. На основе теории групп было разработано несколько типов таких датчиков.
Конгруэнтные датчики
В настоящее время наиболее доступными и эффективными являются конгруэнтные генераторы ПСП. Для этого класса генераторов можно сделать математически строгое заключение о том, какими свойствами обладают выходные сигналы этих генераторов с точки зрения периодичности и случайности.
Одним из хороших конгруэнтных генераторов является линейный конгруэнтный датчик ПСЧ. Он вырабатывает последовательности псевдослучайных чисел T(i), описываемые соотношением
T(i+1) = (A*T(i)+C) mod m,
где А и С - константы, Т(0) - исходная величина, выбранная в качестве порождающего числа. Очевидно, что эти три величины и образуют ключ.
Такой датчик ПСЧ генерирует псевдослучайные числа с определенным периодом повторения, зависящим от выбранных значений А и С. Значение m обычно устанавливается равным 2n , где n - длина машинного слова в битах. Датчик имеет максимальный период М до того, как генерируемая последовательность начнет повторяться. По причине, отмеченной ранее, необходимо выбирать числа А и С такие, чтобы период М был максимальным. Как показано Д. Кнутом, линейный конгруэнтный датчик ПСЧ имеет максимальную длину М тогда и только тогда, когда С - нечетное, и А mod 4 = 1.
Для шифрования данных с помощью датчика ПСЧ может быть выбран ключ любого размера. Например, пусть ключ состоит из набора чисел x(j) размерностью b, где j=1, 2, ..., n. Тогда создаваемую гамму шифра G можно представить как объединение непересекающихся множеств H(j).
Датчики М-последовательностей
М-последовательности также популярны, благодаря относительной легкости их реализации.
М-последовательности представляют собой линейные рекуррентные последовательности максимального периода, формируемые k-разрядными генераторами на основе регистров сдвига. На каждом такте поступивший бит сдвигает k предыдущих и к нему добавляется их сумма по модулю 2. Вытесняемый бит добавляется к гамме.
Строго это можно представить в виде следующих отношений:
r1:=r0 r2:=r1 ... rk-1:=rk-2
r0:=a0 r1 A a1 r2 A ... A ak-2 rk-1
Гi:= rk-
Здесь r0 r1 ... rk-1 - k однобитных регистров, a0 a1 ... ak-1 - коэффициенты неприводимого двоичного полинома степени k-1. Гi - i-е значение выходной гаммы.
Период М-последовательности исходя из ее свойств равен 2k-1.
Другим важным свойством М-последовательности является объем ансамбля, т.е. количество различных М-последовательностей для заданного k. Эта характеристика приведена в таблице:

k
Объем ансамбля
5
6
6
8
7
18
8
16
9
48
10
60
16
2048

Очевидно, что такие объемы ансамблей последовательности неприемлемы.
Поэтому на практике часто используют последовательности Голда, образующиеся суммированием нескольких М-последовательностей. Объем ансамблей этих последовательностей на несколько порядков превосходят объемы ансамблей порождающих М-последовательностей. Так при k=10 ансамбль увеличивается от 1023 (М-последовательности) до 388000.
Также перспективными представляются нелинейные датчики ПСП (например сдвиговые регистры с элементом И в цепи обратной связи), однако их свойства еще недостаточно изучены.
Возможны и другие, более сложные варианты выбора порождающих чисел для гаммы шифра.

Шифрование с помощью датчика ПСЧ является довольно распространенным криптографическим методом. Во многом качество шифра, построенного на основе датчика ПСЧ, определяется не только и не столько характеристиками датчика, сколько алгоритмом получения гаммы. Один из фундаментальных принципов криптологической практики гласит, даже сложные шифры могут быть очень чувствительны к простым воздействиям.
Стандарт шифрования данных ГОСТ 28147-89
Важной задачей в обеспечении гарантированной безопасности информации в ИС является разработка и использования стандартных алгоритмов шифрования данных. Первым среди подобных стандартов стал американский DES, представляющий собой последовательное использование замен и перестановок. В настоящее время все чаще говорят о неоправданной сложности и невысокой криптостойкости. На практике приходится использовать его модификации.
Более эффективным является отечественный стандарт шифрования данных.
Он рекомендован к использованию для защиты любых данных, представленных в виде двоичного кода, хотя не исключаются и другие методы шифрования. Данный стандарт формировался с учетом мирового опыта, и в частности, были приняты во внимание недостатки и нереализованные возможности алгоритма DES, поэтому использование стандарта ГОСТ предпочтительнее. Алгоритм достаточно сложен и ниже будет описана в основном его концепция.
Введем ассоциативную операцию конкатенации, используя для нее мультипликативную запись. Кроме того будем использовать следующие операции сложения:
AAB - побитовое сложение по модулю 2;
A[+]B - сложение по модулю 232;
A{+}B - сложение по модулю 232-1;.
Алгоритм криптографического преобразования предусматривает несколько режимов работы. Во всех режимах используется ключ W длиной 256 бит, представляемый в виде восьми 32-разрядных чисел x(i).
W=X(7)X(6)X(5)X(4)X(3)X(2)X(1)X(0)
Для дешифрования используется тот же ключ, но процесс дешифрования является инверсным по отношению к исходному.
Самый простой из возможных режимов - замена.
Пусть открытые блоки разбиты на блоки по 64 бит в каждом, которые обозначим как T(j).
Очередная последовательность бит T(j) разделяется на две последовательности B(0) и A(0) по 32 бита (правый и левый блоки). Далее выполняется итеративный процесс шифрования описываемый следующими формулами, вид который зависит от :i:
Для i=1, 2, ..., 24, j=(i-1) mod 8;
A(i) = f(A(i-1) [+] x(j)) A B(i-1)
B(i) = A(i-1)
Для i=25, 26, ..., 31, j=32-i;
A(i) = f(A(i-1) [+] x(j)) A B(i-1)
B(i) = A(i-1)
Для i=32
A(32) = A(31)
B(32) = f(A(31) [+] x(0)) A B(31).
Здесь i обозначает номер итерации. Функция f – функция шифрования.
Функция шифрования включает две операции над 32-разрядным аргументом.
Первая операция является подстановкой K. Блок подстановки К состоит из 8 узлов замены К(1)...К(8) с памятью 64 бита каждый. Поступающий на блок подстановки 32-разрядный вектор разбивается на 8 последовательно идущих 4-разрядных вектора, каждый из который преобразуется в 4-разрядный вектор соответствующим узлом замены, представляющим из себя таблицу из 16 целых чисел в диапазоне 0...15. Входной вектор определяет адрес строки в таблице, число из которой является выходным вектором. Затем 4-разрядные векторы последовательно объединяются в 32-разрядный выходной.
Вторая операция - циклический сдвиг влево 32-разрядного вектора, полученного в результате подстановки К. 64-разрядный блок зашифрованных данных Т представляется в виде
Т=А(32)В(32).
Остальные блоки открытых данных в режиме простой замены зашифровываются аналогично.
Следует учитывать, что данный режим шифрования обладает ограниченной криптостойкостью.
Другой режим шифрования называется режимом гаммирования.
Открытые данные, разбитые на 64-разрядные блоки T(i) (i=1,2,...,m) (m определяется объемом шифруемых данных), зашифровываются в режиме гаммирования путем поразрядного сложения по модулю 2 с гаммой шифра Гш, которая вырабатывается блоками по 64 бит, т.е.
Гш=(Г(1),Г(2),....,Г(m)).
Уравнение шифрования данных в режиме гаммирования может быть представлено в следующем виде:
Ш(i)=A(Y(i-1) A C2, Z(i-1)) {+} C(1) A T(i)=Г(i) A T(i)
В этом уравнении Ш(i) обозначает 64-разрядный блок зашифрованного текста, А - функцию шифрования в режиме простой замены (аргументами этой функции являются два 32-разрядных числа). С1 и С2 - константы, заданные в ГОСТ 28147-89. Величины y(i) и Z(i) определяются итерационно по мере формирования гаммы следующим образом:
(Y(0),Z(0))=A(S), S - 64-разрядная двоичная последовательность
(Y(i),Z(i))=(Y(i-1) [+] C2, Z(i-1) {+} C(1)), i=1, 2, ..., m.
64-разрядная последовательность, называемая синхропосылкой, не является секретным элементом шифра, но ее наличие необходимо как на передающей стороне, так и на приемной.
Режим гаммирования с обратной связью очень похож на режим гаммирования. Как и в режиме гаммирования открытые данные, разбитые на 64-разрядные блоки T(i), зашифровываются путем поразрядного сложения по модулю 2 с гаммой шифра Гш, которая вырабатывается блоками по 64 бит:
Гш=(Г(1), Г(2), ..., Г(m)).
Уравнение шифрования данных в режиме гаммирования с обратной связью выглядят следующим образом:
Ш(1)=A(S)AT(1)=Г(1)AT(1),
Ш(i)=A(Ш(i-1)AT(i)=Г(i)AT(i), i=2, 3, ..., m.
В ГОСТ 28147-89 определяется процесс выработки имитовставки, который единообразен для всех режимов шифрования. Имитовставка - это блок из р бит (имитовставка Ир), который вырабатывается либо перед шифрованием всего сообщения. либо параллельно с шифрованием по блокам. Параметр р выбирается в соответствии с необходимым уровнем имитозащищенности.
Для получения имитовставки открытые данные представляются также в виде блоков по 64 бит. Первый блок открытых данных Т(1) подвергается преобразованию, соответствующему первым 16 циклам алгоритма режима простой замены. Причем в качестве ключа используется тот же ключ, что и для шифрования данных. Полученное 64-разрядно число суммируется с открытым блоком Т(2) и сумма вновь подвергается 16 циклам шифрования для режима простой замены. Данная процедура повторятся для всех m блоков сообщения. Из полученного 64-разрядного числа выбирается отрезок Ир длиной р бит.
Имитовставка передается по каналу связи после зашифрованных данных. На приемной стороне аналогичным образом из принятого сообщения выделяется? имитовставка и сравнивается с полученной откуда?. В случае несовпадения имитовставок сообщение считается ложным.

Системы с открытым ключом
Как бы ни были сложны и надежны криптографические системы - их слабое мест при практической реализации - проблема распределения ключей. Для того, чтобы был возможен обмен конфиденциальной информацией между двумя субъектами ИС, ключ должен быть сгенерирован одним из них, а затем каким-то образом опять же в конфиденциальном порядке передан другому. Т.е. в общем случае для передачи ключа опять же требуется использование какой-то криптосистемы.
Для решения этой проблемы на основе результатов, полученных классической и современной алгеброй, были предложены системы с открытым ключом.
Суть их состоит в том, что каждым адресатом ИС генерируются два ключа, связанные между собой по определенному правилу. Один ключ объявляется открытым, а другой закрытым. Открытый ключ публикуется и доступен любому, кто желает послать сообщение адресату. Секретный ключ сохраняется в тайне.
Исходный текст шифруется открытым ключом адресата и передается ему. Зашифрованный текст в принципе не может быть расшифрован тем же открытым ключом. Дешифрование сообщение возможно только с использованием закрытого ключа, который известен только самому адресату.










Криптографические системы с открытым ключом используют так называемые необратимые или односторонние функции, которые обладают следующим свойством: при заданном значении x относительно просто вычислить значение f(x), однако если y=f(x), то нет простого пути для вычисления значения x.
Множество классов необратимых функций и порождает все разнообразие систем с открытым ключом. Однако не всякая необратимая функция годится для использования в реальных ИС.
В самом определении необратимости присутствует неопределенность. Под необратимостью понимается не теоретическая необратимость, а практическая невозможность вычислить обратное значение используя современные вычислительные средства за обозримый интервал времени.
Поэтому чтобы гарантировать надежную защиту информации, к системам с открытым ключом (СОК) предъявляются два важных и очевидных требования:
1. Преобразование исходного текста должно быть необратимым и исключать его восстановление на основе открытого ключа.
2. Определение закрытого ключа на основе открытого также должно быть невозможным на современном технологическом уровне. При этом желательна точная нижняя оценка сложности (количества операций) раскрытия шифра.
Алгоритмы шифрования с открытым ключом получили широкое распространение в современных информационных системах. Так, алгоритм RSA стал мировым стандартом де-факто для открытых систем и рекомендован МККТТ.
Вообще же все предлагаемые сегодня криптосистемы с открытым ключом опираются на один из следующих типов необратимых преобразований:
Разложение больших чисел ан простые множители.
Вычисление логарифма в конечном поле.
Вычисление корней алгебраических уравнений.
Здесь же следует отметить, что алгоритмы криптосистемы с открытым ключом (СОК) можно использовать в трех назначениях.
1. Как самостоятельные средства защиты передаваемых и хранимых данных.
2. Как средства для распределения ключей. Алгоритмы СОК более трудоемки, чем традиционные криптосистемы. Поэтому часто на практике рационально с помощью СОК распределять ключи, объем которых как информации незначителен. А потом с помощью обычных алгоритмов осуществлять обмен большими информационными потоками.
Средства аутентификации пользователей. Об этом будет рассказано в главе «Электронная подпись».
Ниже рассматриваются наиболее распространенные системы с открытым ключом.
Алгоритм RSA
Несмотря на довольно большое число различных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и получившая название в честь ее создателей: Рона Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Эйдельмана.
Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению. Поэтому для любой длины ключа можно дать нижнюю оценку числа операций для раскрытия шифра, а с учетом производительности современных компьютеров оценить и необходимое на это время.
Возможность гарантированно оценить защищенность алгоритма RSA стала одной из причин популярности этой СОК на фоне десятков других схем. Поэтому алгоритм RSA используется в банковских компьютерных сетях, особенно для работы с удаленными клиентами (обслуживание кредитных карточек).
В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTP, S-MIME, S/WAN, STT и PCT.
Рассмотрим математические результаты, положенные в основу этого алгоритма.
Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)
Если р - простое число, то
xp-1 = 1 (mod p) (1)
для любого х, простого относительно р, и
xp = х (mod p) (2)
для любого х.
Доказательство. Достаточно доказать справедливость уравнений (1) и (2) для хIZp. Проведем доказательство методом индукции.
Очевидно, что уравнение (8.2.2) выполняется при х=0 и 1. Далее
xp=(x-1+1)p= a C(p,j)(x-1)j=(x-1)p+1 (mod p),
0?j?p
так как C(p,j)=0(mod p) при 0<j<p. С учетом этого неравенства и предложений метода доказательства по индукции теорема доказана.
Определение. Функцией Эйлера j(n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
j(n)
1
2
2
3
2
6
4
6
4
10
4

Теорема 2. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то
j(n)=(p-1)(q-1).
Теорема 3. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно р и q, то
xj(n) = 1 (mod n).
Следствие . Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно j(n), то отображение
Еe,n: x®xe (mod n)
является взаимно однозначным на Zn.
Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно j(n), то существует целое d, такое, что
ed = 1 (mod j(n)) (3)
На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.
Пусть n=pq, где p и q - различные простые числа. Если e и d удовлетворяют уравнению (8.2.3), то отображения Еe,n и Еd,n являются инверсиями на Zn. Как Еe,n, так и Еd,n легко рассчитываются, когда известны e, d, p, q. Если известны e и n, но p и q неизвестны, то Еe,n представляет собой одностороннюю функцию; нахождение Еd,n по заданному n равносильно разложению n. Если p и q - достаточно большие простые, то разложение n практически не осуществимо. Это и заложено в основу системы шифрования RSA.
Пользователь i выбирает пару различных простых pi и qi и рассчитывает пару целых (ei, di), которые являются простыми относительно j(ni), где ni=pi qi . Справочная таблица содержит публичные ключи {(ei ,ni)}.
Предположим, что исходный текст
x =(x0, x1, ..., xn-1), xIZn , 0 ? i < n,
сначала представлен по основанию ni :
N = c0+ci ni+....
Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi,ni :
N ® Edi,ni n = n’.
Пользователь j производит дешифрование n’, применяя Eei,ni :
N’ ® Eei,ni n’= Eei,ni Edi,ni n = n .
Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi,ni по отношению к Eei,ni, требуется знание множителей n=pi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.
Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.
Пример Зашифруем сообщение “САВ”. Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).
Выберем p=3 и q=11.
Определим n=3*11=33.
Найдем (p-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое с 20, например, d=3.
Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.
Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А®1, В®2, С®3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.
ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,
ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,
ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.
Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:
ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,
ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,
ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.
Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (p и q) устанавливается n.
{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).
Открытый ключ публикуется и доступен каждому, кто желает послать владельцу ключа сообщение, которое зашифровывается указанным алгоритмом. После шифрования, сообщение невозможно раскрыть с помощью открытого ключа. Владелец же закрытого ключа без труда может расшифровать принятое сообщение.
Практическая реализация RSA
В настоящее время алгоритм RSA активно реализуется как в виде самостоятельных криптографических продуктов, так и в качестве встроенных средств в популярных приложениях.
Важная проблема практической реализации - генерация больших простых чисел. Решение задачи «в лоб» - генерация случайного большого числа n (нечетного) и проверка его делимости на множители от 3 вплоть до n0.5. В случае неуспеха следует взять n+2 и так далее.
В принципе в качестве p и q можно использовать «почти» простые числа, то есть числа для которых вероятность того, что они простые, стремится к 1. Но в случае, если использовано составное число, а не простое, криптостойкость RSA падает. Имеются неплохие алгоритмы, которые позволяют генерировать «почти» простые числа с уровнем доверия 2-100.
Другая проблема - ключи какой длины следует использовать?
Для практической реализации алгоритмов RSA полезно знать оценки трудоемкости разложения простых чисел различной длины, сделанные Шроппелем.
log10 n
Число операций
Примечания
50
1.4*1010
Раскрываем на суперкомпьютерах
100
2.3*1015
На пределе современных технологий
200
1.2*1023
За пределами современных технологий
400
2.7*1034
Требует существенных изменений в технологии
800
1.3*1051
Не раскрываем

В конце 1995 года удалось практически реализовать раскрытие шифра RSA для 500-значного ключа. Для этого с помощью сети Интернет было задействовано 1600 компьютеров.
Сами авторы RSA рекомендуют использовать следующие размеры модуля n:
768 бит - для частных лиц;
1024 бит - для коммерческой информации;
2048 бит - для особо секретной информации.
Третий немаловажный аспект реализации RSA - вычислительный. Ведь приходится использовать аппарат длинной арифметики. Если используется ключ длиной k бит, то для операций по открытому ключу требуется О(k2) операций, по закрытому ключу - О(k3) операций, а для генерации новых ключей требуется О(k4) операций.
Криптографический пакет BSAFE 3.0 (RSA D.S.) на компьютере Pentium-90 осуществляет шифрование со скоростью 21.6 Кбит/c для 512-битного ключа и со скоростью 7.4 Кбит/c для 1024 битного. Самая «быстрая» аппаратная реализация обеспечивает скорости в 60 раз больше.

<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>