<< Предыдущая

стр. 43
(из 50 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Za
= *J1-IDJ-IB>JZ- =I D7J Z
\ ^

и передаточная функция равна

г(
^ ' / ) = ! =/ Л З г щ г ^ у (452)

С помощью разложения

1 1 s
= 1 + X + X + X + • • • для |Х| < 1 (4.53)
1-Х
имеем

2
(4.54)
D )+
+I2D2J2(1 + D2)2 + • • =
•)
+ 7 3 Z3 9 J 5 + • • • .
= ID7J3 + I2D8J* + I2Dl0J4

Разложение (4.54) определяет характеристики сверточного (3,1,2)-
кода. Члены разложения содержат всю информацию о кодовых сло-
вах любой произвольной длины, первые члены соответствуют табл.
4.4.
Вычисленная в примере производящая функция задает весовую
структуру кода, так как отражает влияние весов переходов на весь
сверточный код

оо оо ос
T(I,D,J)= J2 Yl Yl t(i,d,j)fDdji, (4.55)
г—1
d=djTee j=m+l


коэффициент t(i,d,j) онределяет число базовых путей с параметра-
ми PDdJJ.
^240 Глава 4. Свершенные коды

Таблица 4.6. Порождающие многочлены (в восьмеричной
форме) оптимальных сверточных кодов со ско-
ростями R и кодовым ограничением пс.

R = 1/3 R = 1/4
1/2
Пс 94
S3 93
9i ffi 92
9i ,i
9 91
dfree dfree
dfren

7
3 5 7 5 7 5 7 7 10
5 7 8
4 15 17 6 15 13 15 17 15
13 17 10 15
7
5 23 35 33 33 37 16
25 37 12 25 27
6 8
33 75 53 53 71 75 18
47 75 13 67
7 10
133 171 133 145 175 135 135 147 163 20
15
8 247 371 10 225 331 367 235 275 313 357 22
16
9 561 753 12 24
557 663 711 463 535 733 745
18




Минимальный выходной вес пути, начинающегося в нулевом со-
стоянии, называется свободным расстоянием djree. При анализе кор-
ректирующей способности кода dfree играет такую же роль, как ми-
нимальное кодовое расстояние для блоковых кодов.
Сверточный код считается оптимальным, если при заданной ско-
рости кода и памяти он имеет максимальное djree. Существует до-
вольно много оптимальных кодов, но для их построения не суще-
ствует никаких аналитических методов. Оптимальные коды находят-
ся путем компьютерного моделирования. В литературе приведены
многочисленные таблицы порождающих многочленов оптимальных
сверточных кодов.

Пример: Порождающие многочлены оптимального сверточного
(3,1,2)-кода.

Для построения оптимального сверточного (3,1,2)-кода восполь-
зуемся табл. 4.6. Для заданных параметров кода коэффициенты по-
рождающих многочленов равны д\ = 5(8) = 101, gi = 7(8) = 111
и <з = ^(g) = 111, поэтому, порождающие многочлены этого кода
?
имеют следующий вид

= 1 + X2, д2(Х) = 1 + X + X2, д3 = 1 + X + X2. (4.56) .
(Х)
д1



На рис. 4.10 показана зависимость свободного расстояния rf/ree
от длины кодового ограничения для скоростей R = 1/2, R = 1/3
* 4-5. Структура сверточпых кодов

и =
R 1/4- При увеличении длины кодового ограничения dfree воз-
растает, т.е. выигрыш от применения кодирования тем больше, чем
больше сложность используемого кода. Свободное расстояние увели-
чивается также при снижении скорости кода. Здесь, однако, необхо-
димо принимать во внимание реальный выигрыш от кодирования,
измеренный в дБ отношения сигнал/шум. Этот выигрыш зависит от
конкретных схем применения сверточных кодов и не всегда может
быть достигнут снижением скорости.




Р и с . 4.10. Зависимость свободного расстояния d/ r e e от дли-
ны кодового ограничения пс.

Замечание. В /7/ для каждого кода дополнительно приводится вы-
игрыш от кодирования в дБ. Там показано, что при малых скоро-
стях кода выигрыш от кодирования для кодов с различным dfTee
приблизительно одинаков. При этом, однако, предполагается со-
гласование алгоритма декодирования и канала, и, поэтому, этот
результат не может быть распространен на общий случай.

Особый класс сверточных кодов образуют так называемые ката-
строфические сверточные коды. Они не пригодны для использова-
ния, так как приводят к катастрофическому размножению ошибок.
Рассмотрим пример катастрофического кода, а заодно научимся рас-
познавать класс катастрофических кодов.
Пример: Катастрофический сверточный (2,1,2)-код.
Пусть сверточный код задан следующими многочленами

(4.57)
gi(X) = l + .

1. Постройте схему кодера;
242 Глава 4- Сверточиые коды

2. Постройте диаграмму состояний;

3. Закодируйте нулевую последовательность, т.е


{и[п}} = {0,0,0,...};.
п
4. Закодируйте последовательность {«[ ]} = {1,1,1,...};

5. Предположим, что при передаче последовательности единиц
произошли ошибки в первом, втором и четвертом битах кодо-
вой последовательности. Как много ошибочных бит в инфор-
мационной последовательности появится при декодировании?

6. Как но диаграмме состояний можно определить, что код явля-
ется катастрофическим?
Решение/
1.




Рис. 4.11. Схема кодера сверточного (2,1,2)-кода.

2.


1/00




Рис. 4.12. Диаграмма состояний сверточного (2,1,2)-кода.

3. Так как кодирование начинается из нулевого состояния и мы
все время в нем остаемся, кодовым словом будет нулевая последова-
тельность.
4. Информационной последовательности единиц соответствует
последовательность состояний

[*)} = {So,Si,S3,S3,...}, (4.58)
4-5. Структура сверточных кодов 243,

что приводит к кодовой последовательности

{t»[n2]} = {1,1,0,1,0,0,0,0,...}. (4.59)

5. Если первый, второй и четвертый биты в (4.59) приняты оши-
бочно как «0», то декодер примет решение, что была передана нуле-
вая информационная последовательность. Здесь мы имеем гранич-
ный случай - размножение ошибок.
6. Признаком катастрофичности кода является появление «пет-
ли» в модифицированной диаграммые состояний, в которой соот-
ветствующие кодовые символы являются нулевыми. На диаграмме
состояний рис. 4.12 при переходе из состояния 5з в состояние 5з вес
соответствующих кодовых символов равен нулю.

В заключении рассмотрим систематические сверточные коды.
Эти коды используются достаточно редко, так как в них не достига-
ется оптимальное свободное кодовое расстояние djTee. Тем не менее, в
некоторых приложениях, например, при треллисной модуляции, при-
менение систематических сверточных кодов весьма желательно [12].

Пример: Систематический сверточный (2,1,1)-код.
Систематический код задан порождающими многочленами

Si = 1 и 92(Х) (4.60)
= 1 + Х.

1. Постройте схему кодера;

2. Постройте диаграмму состояний;

3. Определите dfree с помощью весовой функции кода;

4. Является ли код катастрофическим?

Решение.
1.
• v,




1
Рис. 4.13. Схема кодера систематического сверточного
(2,1,1)-кода.
^244 Глава 4- Сверточные коды

2.
1/11

о/оо/ (So) (sT) f i/io

0/01
Рис. 4.14. Диаграмма состояний систематического свер-
точного (2,1,1)-кода.

3. Вычисление dfree с помощью весовой функции.

Начальное
состояние




Рис. 4.15. Модифицированная диаграмма состояний свер-
точного (2Д,2)-кода.

Для состояний в узлах рис. 4.15 имеют место два равенства

= ID2JZe + IDJZl (4.61)
Zx
(4.62)
Za = DJ-Zy.

Связь между входом и выходом определяется как

(463)
<
и, следовательно, получаем весовую функцию

<< Предыдущая

стр. 43
(из 50 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>