<< Предыдущая

стр. 3
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



Как и раньше, при заданных ценах потребитель предпочтет перейти к на-
чальному запасу с более высокой текущей стоимостью, так как такое измене-
ние с необходимостью повлечет за собой выдвижение бюджетного множества
наружу.
Это бюджетное ограничение выведено нами при предпосылке о постоян-
ных ставках процента, но его нетрудно обобщить до случая с изменяющимися
ставками процента. Допустим, например, что процент , приносимый сбереже-
ниями с периода 1 до периода 2, составляет г\, в то время как сбережения с
периода 2 по период 3 приносят процент г^. Тогда 1 доллар в период 1 вырастет
до (1 + г{)(\ + ъ) долларов в период 3. Текущая стоимость 1 доллара периода 3
равна, следовательно, 1/(1 + г\) (1 + г-_) долларам. Это означает, что коррект-
ный вид бюджетного ограничения будет следующим:
С
C m
Ч
с\ + —2 + -,——rf ——г- = т\ + —— + т
2
i
—i i i



С данным выражением дело иметь не так уж трудно, но мы, как правило,
будем довольствоваться изучением случая постоянных ставок процента.
В табл. 10.1 содержатся некоторые примеры значений текущей стоимости 1
доллара, полученного через Глет в будущем, при различных ставках процента.
Примечательным в этой таблице является то, насколько быстро снижается те-
кущая стоимость для "разумных" ставок процента. Например, при ставке в 10%
текущая стоимость 1 доллара, полученного через 20 лет, равна лишь 15 центам.

10.8. Применение текущей стоимости
Начнем с формулирования важного общего принципа: использование текущей
стоимости есть единственно правильный способ превращения потока платежей в
сегодняшние доллары. Этот принцип вытекает непосредственно из определения
текущей стоимости: текущая стоимость измеряет стоимость начального запаса
денег потребителя. До тех пор, пока потребитель может свободно брать и да-
вать деньги взаймы по постоянной ставке процента, начальный запас с более
высокой текущей стоимостью всегда может вызвать в каждом периоде больше
потребления, чем начальный запас с более низкой текущей стоимостью. Неза-
висимо от ваших вкусов в отношении потребления в различных периодах вы
всегда должны будете предпочесть поток денег с более высокой текущей стои-
мостью потоку денег с более низкой текущей стоимостью, так как это всегда
даст вам больше возможностей для потребления в каждом периоде.
МЕЖВРЕМЕННОЙ ВЫБОР 217

Это рассуждение иллюстрируется рис. 10.6. На этом рисунке (щ, т'2)
есть потребительский набор, худший, чем набор исходного начального за-
паса потребителя (т\, т2), поскольку он лежит под кривой безразличия,
проходящей через точку начального запаса. Тем не менее, потребитель
предпочел бы набор (т\, т2) набору (т\, т2), если бы имел возможность
брать и давать взаймы по ставке процента г. Это верно потому, что, имея
набор начального запаса (от 1 ; т2), он может себе позволить потреблять та-
кой набор, как (с\, с2), который, несомненно, лучше, чем его текущий по-
требительский набор.

Табл. Текущая стоимость одного доллара, полученного через t лет в будущем
10.1
Ставка 15 20 25 30
1 2 10
5
0,30
0,78 0,37 0,23
0,91
0,05 0,95 0,61 0,48
0,15 0,06
0,83 0,62 0,24 0,09
0,10 0,91 0,39
0,06 0,03 0,02
0,15 0,87 0,76 0,50 0,25 0,12
0,01 0,00
0,40 0,06 0,03
0,20 0,83 0,69 0,16

Одно из очень полезных применений текущей стоимости заключается в оп-
ределении стоимости потоков дохода, приносимых инвестициями различного
вида. Если вы хотите сравнить два различных вида инвестиций, приносящих раз-
ные потоки платежей, с целью выяснения, который из них лучше, то вы просто
исчисляете две текущие стоимости и выбираете большую. Вложение с большей
текущей стоимостью всегда дает вам больше возможностей для потребления.
Иногда возникает необходимость приобретения потока дохода путем осу-
ществления выплат с течением времени. Например, можно купить квартиру,
заняв деньги в банке и производя платежи по закладной в течение ряда лет.
Предположим, что поток дохода (М\, М2) можно купить, производя поток пла-
тежей (Р\, Р2).
В этом случае можно дать оценку рассматриваемого вложения капитала,
сравнив текущую стоимость потока доходов с текущей стоимостью потока пла-
тежей. Если
M2
Л/, + (Ю.4)
Т+7
текущая стоимость потока доходов превышает текущую стоимость издержек на
их получение, это хорошее вложение капитала — оно увеличит текущую стои-
мость начального запаса.
Эквивалентным способом оценки капиталовложений является использова-
ние идеи чистой текущей стоимости. Чтобы подсчитать эту величину, рассчиты-
ваем чистый поток денежной наличности в каждом периоде, а затем дисконти-
руем этот поток, приводя его к настоящему моменту. В рассматриваемом при-
Глава 10
218

мере чистый поток наличности составляет (Afj, — Р\, MI, — Р2), а чистая теку-
щая стоимость есть

NPV=Mi -Pi +
l +r
Сравнивая это выражение с уравнением (10.4), видим, что данное вложение
капитала имеет смысл сделать только и только в том случае, когда величина
чистой текущей стоимости положительна.


Кривые
безразличия


Возможное
потребление
Исходный
начальный
запас

Начальный запас
с более высокой
текущей стоимостью
т.

т. т,

Рис. Более высокая текущая стоимость. Начальный запас с более высокой текущей
стоимостью дает потребителю больше возможностей потребления в каждом
10.6
периоде, если потребитель может брать и давать взаймы по рыночным став-
кам процента.


Подсчет чистой текущей стоимости очень удобен, поскольку позволяет в
каждом периоде складывать все положительные и отрицательные потоки де-
нежной наличности и затем дисконтировать полученный в результате этого
сложения поток наличности.

ПРИМЕР: Определение текущей стоимости
потока платежей
Предположим, что перед нами два варианта вложений капитала А и В. Вложе-
ние А приносит 100$ сейчас и еще 200$ в будущем году. Вложение В приносит
80$ сейчас и 310$ в будущем году. Какое вложение капитала лучше?
МЕЖВРЕМЕННОЙ ВЫБОР________________________________ 219

Ответ зависит от ставки процента. Если ставка процента равна нулю, ответ
ясен — достаточно сложить инвестиции. Ведь если процентная ставка равна
нулю, то расчет текущей стоимости сводится к суммированию платежей.
При нулевой ставке процента текущая стоимость вложения А есть
PVA = 100 + 200 = 300,
а текущая стоимость вложения В есть
0 + 310 = 310,
поэтому следует предпочесть вложение А.
Однако при достаточно высокой ставке процента получим противополож-
ный ответ. Допустим, например, что эта ставка равна 20%. Тогда расчет теку-
щей стоимости принимает вид

PVA = 100 + —— = 266,67
1,20

PVB = 0 + —— = 258,33.
1,20
Теперь лучшим вложением оказывается А. Тот факт, что вложение А позво-
ляет вернуть больше денег раньше, означает, что при достаточно большой
ставке процента текущая стоимость этого вложения будет выше.

ПРИМЕР: Истинная стоимость
кредитной карточки
Заем денег с помощью кредитной карточки — дело дорогостоящее: многие
компании называют годичные процентные начисления в размере от 15 до 21%.
Однако из-за способа, которым эти финансовые начисления подсчитываются,
реальные ставки процента оказываются много выше названных.
Предположим, что владелец кредитной карточки дебетует покупку на сумму
в 2000$ в первый день месяца и что финансовое начисление составляет 1,5% в
месяц. Если к концу месяца потребитель выплачивает сальдо целиком, то он не
должен выплачивать финансовое начисление. Если же потребитель не выпла-
чивает ни цента из суммы в 2000$, ему придется выплатить в начале следую-
щего месяца финансовое начисление в размере 2000$ х 0,015 = 30$.
Что произойдет, если потребитель выплатит 1800$ против сальдо в 2000$ в
последний день месяца? В этом случае потребитель занял только 200$, так что
финансовое начисление должно бы составить 3$. Однако многие компании,
занимающиеся кредитными карточками, начисляют потребителям гороздо
большие суммы. Причина состоит в том, что многие компании основывают
свои начисления на "среднемесячном сальдо", невзирая на то, что часть этого
сальдо выплачивается к концу месяца. В нашем примере среднемесячное саль-
220________________________________________Глава 10

до составило бы около 2000$ (30 дней с 2000-долларовым сальдо и 1 день с 200-
долларовым сальдо). Таким образом, финансовое начисление было бы чуть
меньше 30$, несмотря на то, что потребитель занял лишь 200$. Если основы-
ваться на фактически взятой взаймы сумме денег, то такое начисление соответ-
ствует ставке в размере 15% в месяц!


10.9. Облигации
Ценные бумаги — это финансовые инструменты, обещающие выплаты дохода в
соответствии с определенной структурой шкал выплат. Существует много раз-
новидностей финансовых инструментов, поскольку пожелания людей в отно-
шении этих шкал выплат разнообразны. Финансовые рынки дают людям воз-
можность производить обмен во времени потоков денежной наличности раз-
личной структуры. Эти потоки денежной наличности, как правило, использу-
ются для финансирования потребления в тот или иной момент.
Здесь мы рассмотрим такой конкретный вид ценных бумаг, как облигации.
Облигации выпускаются правительствами и корпорациями. В своей основе они
представляют собой способ займа денег. Заемщик — агент, выпускающий об-
лигацию, — обещает выплачивать установленную сумму долларов х (купон) в
течение каждого периода вплоть до определенной даты Т (даты погашения об-
лигации), по наступлении которой заемщик обязуется выплатить держателю
облигации сумму F (номинал).
Таким образом, поток выплат по облигации имеет вид (х, х, х,..., F). Если
ставка процента постоянна, то текущую дисконтированную стоимость такой
облигации подсчитать нетрудно. Она задана формулой
Х
PV' — 4-
f Y ——————— I

(1 + r) 2
(l + г)
Обратите внимание на то, что с ростом ставки процента текущая стоимость
облигации будет понижаться. Почему это так? Когда ставка процента повыша-
ется, сегодняшняя цена 1 доллара, выплачиваемого в будущем, падает. Поэтому
будущие выплаты по облигации сегодня стоят меньше.
Существует большой и развитый рынок облигаций. Рыночная стоимость
выпущенных облигаций колеблется по мере колебаний ставки процента, так
как при этом меняется текущая стоимость потока выплат по облигации.
Интересной разновидностью облигаций являются облигации, выплаты по
которым производятся в течение неограниченно долгого времени. Их называют
консолями, или пожизненной рентой. Предположим, что речь идет о консоли,
которая должна ежегодно и бессрочно приносить х долларов. Чтобы подсчитать
текущую стоимость этой консоли, мы должны подсчитать бесконечную сумму:
V V*

PV= —— + —±_ + ... .
МЕЖВРЕМЕННОЙ ВЫБОР________________________________221

Хитрость при подсчете этой суммы заключается в том, что надо выделить
1/(1 + г), чтобы получить
X
x + ——— + -
1 + r) 2

Но член в скобках есть не что иное, как х плюс текущая стоимость! Совер-
шив подстановку и выразив PV, получаем:

PV= — i— [x+ PV\ = -.
(1 + г) г

Сделать это бьшо нетрудно, но имеется легкий способ получить ответ сразу.
Сколько денег V вам потребовалось бы, чтобы при ставке процента г всегда по-
лучать х долларов? Просто запишите уравнение



говорящее о том, что процент на V должен равняться х. Но тогда текущая
стоимость такого вложения задана формулой

V= -.
г
Таким образом, оказывается, что текущая стоимость консоли, обещающей
бесконечно долго приносить х долларов, должна равняться х/г.
В случае консоли нетрудно увидеть непосредственно, каким образом воз-
растание ставки процента сокращает текущую стоимость облигации. Допустим,
например, что консоль выпускается, когда ставка равна 10%. Тогда, если кон-
соль должна ежегодно и бессрочно приносить 10$, сегодня она будет стоить
100$, поскольку именно 100$ принесут ежегодно 10$ процентного дохода.
Предположим теперь, что ставка возрастает до 20%. Стоимость консоли
должна упасть до 50$, так как теперь, при ставке в 20%, потребуется лишь 50$,

<< Предыдущая

стр. 3
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>