<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

По этой причине мы называем функцию полезности, имеющую конкрет-
ную описанную здесь форму, функцией ожидаемой полезности, или иногда
функцией полезности фон Нейманна — Моргенштерна1.
Говоря, что предпочтения потребителя могут быть представлены с помо-
щью функции ожидаемой полезности или что предпочтения потребителя об-
ладают свойством ожидаемой полезности, мы подразумеваем возможность
выбора функции полезности, имеющей вышеописанную аддитивную форму.
Конечно, мы могли бы выбрать и другую форму — любое монотонное преоб-
разование функции ожидаемой полезности есть функция полезности, описы-
вающая те же самые предпочтения. Но аддитивная форма представления пред-
почтений оказывается особенно удобной. Если предпочтения потребителя опи-
сываются функцией п\ In с\ + Л2 In с2, то они также могут быть описаны функ-
цией с"1 с*2 . Однако последняя форма представления предпочтений не облада-
ет свойством ожидаемой полезности, в то время как предыдущая — обладает.
С другой стороны, функцию ожидаемой полезности можно подвергнуть
монотонным преобразованиям различного рода и при этом она по-прежнему
будет обладать свойством ожидаемой полезности. Мы говорим, что функция
V(M) является положительным линейным преобразованием, если она может быть
записана в форме: v(u) — аи + b, где а > 0. Положительное линейное преоб-
разование означает просто умножение на положительное число и прибавле-
ние константы. Оказывается, если подвергнуть функцию ожидаемой полезно-
сти положительному линейному преобразованию, то полученная в результате
этого функция не только будет представлять те же самые предпочтения (что
очевидно, поскольку линейное преобразование — не что иное, как особый
вид монотонного преобразования), но и по-прежнему будет обладать свойст-
вом ожидаемой полезности.
1
Джон фон Нейманн был одной из главных фигур в математике XX в. Ему также принадлежит
несколько важных предвидений в физике, науке о компьютерах и экономической теории. Ос-
кар Моргенштерн был экономистом Принстонского университета таким же, как и фон Ней-
манн, развивавшим математическую теорию игр.
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ_______________________________ 247

Экономисты говорят, что функция ожидаемой полезности "определяется с
точностью до монотонного преобразования". Это означает просто, что к ней
можно применить линейное преобразование и получить другую функцию ожи-
даемой полезности, представляющую те же самые предпочтения. Однако пре-
образование любого другого рода разрушит свойство ожидаемой полезности.


12.4. В чем рациональность представления
предпочтений в виде ожидаемой полезности
Представление предпочтений в виде ожидаемой полезности удобно, но явля-
ется ли оно рациональным? Почему мы должны думать, что предпочтения в
отношении выбора в условиях неопределенности должны иметь особую
структуру, подразумеваемую функцией ожидаемой полезности? Оказывается,
существуют убедительные причины, по которым при решении задач выбора в
условиях неопределенности ожидаемая полезность является разумной целью.
Тот факт, что в качестве исходов случайного выбора выступают варианты
потребления при различных обстоятельствах, рассматриваемые как различные
"потребительские товары", означает, что в конечном счете лишь один из этих
исходов будет иметь место в действительности. Либо дом ваш сгорит, либо
нет; либо пойдет дождь, либо день будет солнечным. Сам способ постановки
нами задачи выбора подразумевает, что реально наступит только один из
возможных исходов и, следовательно, фактически будет реализован лишь
один из обусловленных планов потребления.
Сказанное имеет, оказывается, очень интересный смысл. Предположим,
что вы размышляете о том, не застраховать ли свой дом от пожара в насту-
пающем году. Производя указанный выбор, вы будете руководствоваться ве-
личиной вашего богатства в трех состояниях: его величиной на данный мо-
мент со, его величиной в случае, если ваш дом сгорит с\, и его величиной в
случае, если он не сгорит с-±. (Разумеется в действительности вас волнуют ва-
ши потребительские возможности при каждом из исходов, однако термин
"богатство" используется здесь просто как эквивалент термина "потребле-
ние".) Если к\ — вероятность того, что ваш дом сгорит, а л% — вероятность
того, что он не сгорит, то ваши предпочтения в отношении этих трех различ-
ных случаев потребления, как правило, могут быть представлены функцией
полезности и (тг\, щ_, CQ, q, с2)).
Предположим, что мы рассматриваем выбор между обладанием богатст-
вом сейчас и одним из возможных исходов — скажем, то, сколько денег мы
готовы были бы пожертвовать сейчас, чтобы получить чуть больше денег в
случае, если дом сгорит. Тогда принимаемое решение должно быть независимым
от того, какова будет величина потребления при другом "состоянии природы",
т.е. от того, какова будет величина потребления в случае, если дом не будет
уничтожен. Ведь дом либо сгорит, либо нет. Если случится так, что он сго-
рит, то величина дополнительного богатства не должна зависеть от той вели-
248___________________________________________ Глава 12

чины богатства, которой вы располагали бы, если бы дрм не сгорел. Прошлое
есть прошлое, поэтому то, что не произошло, не должно влиять на величину
потребления при исходе, имеющем место в действительности.
Обратите внимание на то, что сказанное есть предпосылка в отношении
предпочтений индивида. Она может нарушаться. Когда люди решают, какую
из двух вещей выбрать, количество третьей имеющейся у них вещи обычно
тоже имеет значение. Выбор между кофе и чаем вполне может зависеть от
того, сколько у вас имеется сливок. Но это происходит потому, что вы пьете
кофе со сливками. Если бы вы рассматривали ситуацию, в которой вы бро-
саете игральную кость и в зависимости от исхода получаете либо кофе, либо
чай, либо сливки, то количество сливок, которое вы могли бы при этом по-
лучить, не должно было бы повлиять на ваши предпочтения в отношении
кофе и чая. Почему? Потому что вы получаете либо одно, либо другое: если,
в конечном счете, вам достаются сливки, то тот факт, что вы могли бы полу-
чить либо кофе, либо чай, значения не имеет.
Таким образом, при выборе в условиях неопределенности естественного
рода "независимость" потребления при различных исходах существует потому,
что соответствующие варианты потребления реализуются раздельно — при
разных "состояниях природы". Выбор, планируемый людьми при одном "сос-
тоянии природы", должен быть независим от вариантов выбора, планируемых
ими для других "состояний природы". Эта предпосылка известна как предпо-
сылка о независимости. Оказывается, из нее вытекает очень специфическая
структура функции полезности для обусловленного потребления: аддитив-
ность по различным наборам обусловленного потребления.
Иными словами, если с\, с2 и с3 представляют собой потребление при раз-
личных исходах, а п\, щ, и лт, — это вероятности наступления указанных трех
различных исходов, то при соблюдении предпосылки о независимости, на
которую мы ссылались выше, функция полезности должна принять вид
/(сь с2, с3) = п\ u(ci) + 79 и(с2) + яз «(с3).
Это функция, которую мы назвали функцией ожидаемой полезности. За-
метьте, что функция ожидаемой полезности и в самом деле удовлетворяет
тому свойству, что предельная норма замещения одного из двух товаров на
другой не зависит от того, сколько у нас имеется третьего товара. Предельная
норма замещения, скажем, товара 2 товаром 1 принимает вид


ДС/(с ь с 2 ,с 3 )/Ас 2


тс 2 Ам(с 2 )/Ас 2

Эта MRS зависит только от имеющегося количества товаров 1 и 2, а не от
имеющегося количества товара 3.
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ 249

12.5. Нерасположенность к риску
Выше мы утверждали, что функции ожидаемой полезности присущ ряд
свойств, очень удобных для анализа выбора в условиях неопределенности. В
этом параграфе мы приведем конкретный пример, подтверждающий сказанное.
Применим анализ с позиций ожидаемой полезности к решению простой
задачи выбора. Допустим, что в данный момент у потребителя имеется богат-
ства на 10 долл. и он размышляет, стоит ли сыграть в игру, которая с вероят-
ностью 50% принесет ему выигрыш 5 долл. и с вероятностью 50% — проиг-
рыш 5 долл. Богатство его, следовательно, становится случайной величиной:
имеется вероятность 50%, что он останется с 5 долл., и вероятность 50%, что
у него в итоге будет 15 долл. Ожидаемое значение его богатства равно 10
долл., а ожидаемая полезность есть
-и(15$) + -м(5$),

что иллюстрирует рис. 12. 2. Ожидаемая полезность богатства есть средняя
двух чисел: м(15$) и и(5$), обозначенных на графике 0,5м(5) и 0,5м(15). Мы
изобразили также полезность ожидаемого значения богатства, которую обозна-
чили ы(10$). Обратите внимание на то, что на данном графике ожидаемая по-
лезность богатства меньше полезности ожидаемого значения богатства. То есть,

и-15 + -5 = ы(10) > - м -м(5).
2 2) 1 2

ПОЛЕЗНОСТЬ




и (богатства)
«(15)
«(10)
0,5 и(5) + 0,5 ы(15)

«(5)




БОГАТСТВО
10 15
Нерасположенность к риску. У потребителя, не любящего риск, полезность Рис.
ожидаемого значения богатства н(10) больше ожидаемой полезности богат- 12.2
стваО,5и(5)+0,5ы(15).


В этом случае мы говорим, что потребитель не расположен к риску, по-
скольку предпочитает иметь ожидаемое значение своего богатства, нежели
Глава 12
250

вступить в игру. Конечно, предпочтения потребителя могли бы оказаться та-
кими, что он предпочел бы случайное распределение богатства его ожидае-
мому значению, и в таком случае мы говорим, что потребитель расположен к
риску. Пример такого рода приведен на рис. 12.3.
Обратите внимание на различие между рис. 12.2 и 12.3. Для потребителя,
не расположенного к риску, функция полезности вогнутая — ее наклон, по
мере возрастания богатства, уменьшается. Для потребителя, расположенного
к риску, функция полезности выпуклая — ее наклон, по мере возрастания
богатства, становится больше. Следовательно, кривизна функции полезности
измеряет отношение потребителя к риску. Как правило, чем более вогнута
функция полезности, тем в большей степени потребитель не расположен к
риску, а чем более она выпукла, тем в большей степени потребитель распо-
ложен к риску.


ПОЛЕЗНОСТЬ

и (богатства)

«(15)

0,5 н(5) + 0,5 и(15)
и(10)
"(5)




БОГАТСТВО
10 15
Рис. Потребитель, расположенный к риску. Для потребителя, расположенного к
риску, ожидаемая полезность богатства 0,5м(5)+0,5м(15) больше полезности
12.3
ожидаемого значения богатства м(10).


Промежуточным является случай линейной функции полезности. Здесь
потребитель нейтрален к риску: ожидаемая полезность богатства есть полез-
ность его ожидаемого значения. В этом случае потребителя совершенно не
заботит степень рискованности получения его богатства — его интересует
лишь ожидаемое значение последнего.

ПРИМЕР: Спрос на страхование
Применим функцию ожидаемой полезности к спросу на страхование, рас-
смотренному нами ранее. Вспомним, что в примере, о котором идет речь,
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ__________________________________ 251

индивид имел богатство стоимостью 35 000 долл. и мог понести убытки в
размере 10 000 долл. Вероятность убытков составляла 1%, и покупка страхо-
вого полиса на сумму jRT долларов обходилась ему в гК долларов. Исследуя эту
задачу выбора с помощью кривых безразличия, мы увидели, что оптимальный
выбор суммы страхования определяется условием равенства MRS потребле-
ния при одном исходе потреблением при другом исходе — в случае убытков
или в случае отсутствия убытков — отношению — у/(1 — у). Обозначим через
тг вероятность того, что убытки будут иметь место, и через (1 — я) вероят-
ность того, что ее не будет.
Пусть состояние 1 — это ситуация, в которой убытков нет, так что богат-
ство потребителя в этом состоянии есть
С] = 35 000$ - уК,
и пусть состояние 2 — это ситуация несения убытков, которой соответствует
богатство
с2 = 35 000$ - 10 000$ + К- уК.
Тогда оптимальный выбор суммы страхования потребителем определяется
условием равенства MRS его потребления при одном исходе потреблением
при другом исходе отношению цен:

MRS =
(1-я)Ди( С1 )/Дс, 1-у


Теперь посмотрим на страховой контракт с точки зрения страховой ком-
пании. С вероятностью я ей придется выплатить К и с вероятностью (1 — я) —
ничего не выплатить. Независимо от исхода она получит премию уК. Тогда
ожидаемая прибыль страховой компании Р есть

Р = уК - пК - (1 - л) х 0 = уК - пК.
Предположим, что в среднем контракт является для страховой компании
безубыточным. Иными словами, она предлагает страхование по "спра-
ведливой" ставке страховой премии, где "справедливая" означает, что ожидае-
мое значение суммы страхования как раз равно издержкам на него. Тогда мы
получаем


что подразумевает у = л.
Подставив это выражение в уравнение (12.1), получаем

яДм(с2 ) / Ас2 _я
(1-я)Дм(с!)/Дс, 1-я'
252_________________________________________ Глава 12

Взаимно сократив тс, получаем, что оптимальная сумма страховки должна
удовлетворять условию


Ас, Ас2

Это уравнение показывает, что предельная полезность дополнительного дол-

<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>