стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

13
ГЛАВА




РИСКОВЫЕ
АКТИВЫ


В предыдущей главе нами были изучены модель поведения индивида в услови-
ях неопределенности и роль двух экономических институтов, помогающих от-
части справиться с неопределенностью: рынков страховых услуг и фондового
рынка. В настоящей главе мы продолжим исследование роли фондового рынка
в размещении риска. В этих целях удобно рассмотреть упрощенную модель по-
ведения в условиях неопределенности.

13.1. Полезность как функция средней
и дисперсии относительно нее
В предыдущей главе мы исследовали модель выбора в условиях неопределенно-
сти, построенную с использованием функции ожидаемой полезности. Другой
подход к задачам выбора в условиях неопределенности состоит в том, чтобы
описать распределения богатства по вероятностям, являющиеся объектами вы-
бора, с помощью нескольких параметров и придумать функцию полезности,
которай определялась бы указанными параметрами. Наиболее известный при-
мер реализации такого подхода — модель средней и дисперсии относительно нее.
Вместо того чтобы считать, что предпочтения потребителя зависят от полного
распределения вероятностей его богатства по всем возможным исходам, мы
РИСКОВЫЕ АКТИВЫ____________________________________ 2&\_

предполагаем, что его предпочтения могут быть должным образом описаны с
помощью всего лишь нескольких статистических выводов в отношении распре-
деления вероятностей его богатства.
Допустим, что случайная переменная w принимает значения н^ для s = 1, ..., S
с вероятностью rrs. Средняя распределения вероятностей есть просто его среднее
значение:


5=1


Это формула среднего арифметического взвешенного: возьмите каждый из
исходов, взвесьте его вероятностью того, что он будет иметь место, и сумми-
руйте полученные результаты по всем исходам.
Дисперсия распределения вероятностей богатства есть среднее значение ве-
личины (w — nw)2:
s
=
I ns(Ws — M-w) 2 -
CJw
s=l

Дисперсия измеряет "разброс" распределения и является подходящей мерой
степени имеющегося риска. Тесно связана с ней такая мера, как стандартное
отклонение, обозначаемое GW, которое является квадратным корнем из диспер-
сии:



Средняя распределения вероятностей измеряет его среднее значение — то,
вокруг которого сосредоточено распределение. Дисперсия распределения изме-
ряет "разброс" распределения — то, каким образом оно рассеивается вокруг
средней. На рис. 13.1 вы можете увидеть графическое представление распреде-
лений вероятностей с различными средними и дисперсиями.
В модели средней и дисперсии относительно нее предполагается, что по-
лезность распределения вероятностей, приносящего инвестору богатство ws с
вероятностью ns, можно выразить как функцию средней данного распределе-
ния и дисперсии относительно этой средней, u(\iw, ст^,). Или, если это более
удобно, полезность можно выразить как функцию средней и стандартного
отклонения u(pw, aw). Поскольку и дисперсия, и стандартное отклонение есть
меры степени риска, характеризующей распределение вероятностей, можно
считать полезность зависящей от любого из этих двух показателей.
Эту модель можно рассматривать как упрощение модели ожидаемой полез-
ности, описанной в предыдущей главе. Если существует возможность полно-
стью охарактеризовать варианты производимого выбора с помощью соответст-
вующей им средней и дисперсии относительно нее, то на основе функции по-
лезности для средней и дисперсии можно ранжировать варианты выбора таким
Глава 13
262

же образом, как и на основе функции ожидаемой полезности. Более того, даже
если распределения вероятностей не могут быть полностью охарактеризованы
их средними и дисперсиями, модель средней и дисперсии относительно нее
может служить разумным приближением модели ожидаемой полезности.
Примем естественным образом напрашивающуюся предпосылку о том, что
при прочих равных условиях более высокий ожидаемый доход — это хорошо, а
более высокая дисперсия — плохо. Это лишь другой способ сформулировать
предпосылку о том, что люди обычно не расположены к риску.
Применим модель средней и дисперсии относительно нее к анализу про-
стой задачи на структуру портфеля активов. Предположим, что у вас имеется
возможность произвести инвестиции в два различных актива. Один из них —
безрисковый актив, всегда приносит постоянную норму дохода //. Этот актив —
нечто вроде казначейского векселя, приносящего твердую ставку процента, что
бы ни произошло.


Вероятность Вероятность




О
О ДОХОД ДОХОД

А В

Рис. Средняя и дисперсия относительно нее. Средняя распределения вероятностей,
изображенного на рис. А, положительна, а средняя распределения вероятно-
13.1
стей, изображенного на рис. В, отрицательна. Распределение на рис.А более
"растянуто", чем распределение на рис.В, а это означает, что оно характеризу-
ется большей дисперсией.



Другой актив — рисковый. Представьте себе, что этот актив — вложение в
крупный взаимный фонд, занимающийся покупкой акций. Если конъюнкту-
ра фондового рынка высокая, ваше вложение приносит высокий доход. Если
конъюнктура фондового рынке низкая, ваше вложение приносит низкий до-
ход. Обозначим через ms доход на этот актив при исходе s, а через xs — веро-
ятность наступления данного исхода. Через гт мы обозначим ожидаемый до-
ход на рисковый актив, а через <тт — стандартное отклонение дохода на этот
актив.
РИСКОВЫЕ АКТИВЫ 263

Конечно, вам не надо выбирать один из этих двух активов: как правило, у
вас есть возможность распределить свое богатство между вложениями в оба ак-
тива. Если доля вашего богатства, вложенная в рисковый актив, равна х, а доля
вашего богатства, вложенная в безрисковый актив, равна (1 — х), то ожидае-
мый доход на ваш портфель активов будет задан формулой:
s
rx = Z (xms + (1 — K)rj)ns

s s
= x Z ms7is + (1 — x)rf S ns.
5—1 5=1

Поскольку T.KS= 1, мы получаем

— x)rf.
Таким образом, ожидаемый доход на портфель из двух активов есть среднее
арифметическое взвешенное двух ожидаемых доходов.


СРЕДНИЙ Кривые
доход
безразличия Бюджетная
линия
Наклон = -




Ът СТАНДАРТНОЕ
Ox
ОТКЛОНЕНИЕ ДОХОДА

Рис.
Риск и доход. Бюджетная линия показывает издержки получения большего
ожидаемого дохода, выраженные через возросшее стандартное отклонение до- 13.2
хода. В точке оптимального выбора кривая безразличия должна касаться этой
бюджетной линии.


Дисперсия вашего портфельного дохода задана формулой

— x)rf —
= I (xms
s=\
264________________________________________ Глава 13

Подставив в эту формулу полученное нами выражение для гх получим

, = I (xms — xrm)2ns
s=\

s
= I X2(ms — rm)2ns



Следовательно, стандартное отклонение портфельного дохода задано фор-
мулой



Естественно предположить, что гт > у , так как инвестор, не расположен-
ный к риску, никогда не будет держать в своем портфеле рисковый актив, если
он приносит более низкий ожидаемый доход, чем безрисковый актив. Отсюда
следует, что если вы предпочтете направить большую долю своего богатства на
покупку рискового актива, то получите более высокий ожидаемый доход, но
также будете нести больший риск. Это и иллюстрирует рис.13.2.
Выбрав х - 1, вы вложите все свои деньги в рисковый актив и получите
ожидаемый доход и стандартное отклонение вида (гт, ст). Выбрав х = 0, вы
вложите все свое богатство в надежный актив и получите ожидаемый доход и
стандартное отклонение вида (гт, 0). Выбрав х где-то между 0 и 1, вы окажетесь
где-то посередине линии, соединяющей две указанные точки. Эта линия и дает
нам бюджетную линию, описывающую предлагаемый рынком выбор между
риском и доходом.
Поскольку мы придерживаемся предпосылки о том, что предпочтения лю-
дей зависят лишь от средней и дисперсии их богатства, мы можем нарисовать
кривые безразличия, иллюстрирующие предпочтения индивида в отношении
риска и дохода. Если люди не расположены к риску, то более высокий ожи-
даемый доход повышает их благосостояние, а более высокое стандартное от-
клонение его понижает. Это означает, что стандартное отклонение есть
"антиблаго". Отсюда следует, что кривые безразличия будут иметь положитель-
ный наклон, как показано на рис.13.2.
В точке оптимального выбора риска и дохода наклон кривой безразличия
на рис.13.2 должен равняться наклону бюджетной линии. Мы могли бы назвать
этот наклон ценой риска, так как он измеряет пропорцию, в которой могут
обмениваться риск и доход при выборе оптимальной структуры портфеля. Если
проанализировать рис.13.2, то выясняется, что цена риска задается формулой

р-5^2-. (13.1)
РИСКОВЫЕ АКТИВЫ 265

Итак, точку оптимального распределения портфеля между надежным акти-
вом и рисковым активом можно охарактеризовать условием соблюдения равен-
ства предельной нормы замещения дохода риском цене риска:

(13.2)
ДС//АЦ
Предположим теперь, что существует много индивидов, производящих вы-
бор между двумя указанными активами. Для каждого из них предельная норма
замещения должна равняться цене риска. Следовательно, в равновесии MRS у
всех индивидов будут равны: если предоставить людям достаточно широкие
возможности для торговли рисками, то равновесная цена риска для всех инди-
видов будет одинаковой. Риск в этом отношении ничем не отличается от дру-
гих товаров.
Идеи, развитые в предыдущих главах, можно использовать для исследова-
ния изменений, происходящих с оптимальным выбором при изменении пара-
метров задачи. Применительно к данной модели можно использовать все ска-
занное о нормальных товарах, товарах низшей категории, выявленных пред-
почтениях и т.д.
Например, предположим, что индивиду предлагается выбрать новый риско-
вый актив у, имеющий, скажем, среднее значение дохода гу, и стандартное от-
клонение су, как показано на рис. 13.3.

ОЖИДАЕМЫЙ
доход Кривые
безразличия




r
f


Су СТАНДАРТНОЕ
®х
ОТКЛОНЕНИЕ

Предпочтения в отношении риска и дохода. Актив с комбинацией риска и до- Рис.
хода у предпочитается активу с комбинацией риска и дохода х. 13.3



Который из двух активов выберет потребитель: вложение в х или вложение
в у? На рис. 13.3 изображены и исходное, и новое бюджетные множества. Обра-
266_______________________________________Глава 13

тите внимание, что любая комбинация риска и дохода, которую можно было
выбрать при исходном бюджетном множестве, может быть выбрана и при но-
вом бюджетном множестве, так как новое бюджетное множество включает в
себя старое. Следовательно, инвестировать в актив у и в безрисковый актив оп-
ределенно лучше, чем инвестировать в х и в безрисковый актив, поскольку в
конечном счете потребитель сможет выбрать лучший портфель.

стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>