ОГЛАВЛЕНИЕ

16. Моделирования биржевой торговли на квантовом компьютере

Обсуждается построение математических моделей рефлексивного (по Соросу) фондового рынка.
Показывается, что в результате квантования простой детерминированной модели поведения людей,
которые могут делать выбор между двумя возможностями, предложенной И. Пригожиным,
возможно вычислять вероятности выбора, а не задавать априорно.

Математическая модель рефлексивного фондового рынка. Оправдавшие себя на практике модели основаны на разложении цены финансового инструмента или ее изменения в сумму двух членов – детерминированного и случайного. Впервые этот подход предложил Л. Башилье, представивший цену акции в виде где - стандартное броуновское движение, - изменчивость, - постоянный процент роста цены акции. Недостаток модели (возможны отрицательные цены акций) был исправлен П. Самуэльсоном, использовавшем т.н. геометрическое броуновское движение и заменившего формулу Башилье на Следующей удачной моделью была модель портфеля инвестиций Г. Марковица, разделившего риски инвестиций на устранимые (или диверсифицируемые) и неустранимые, зависящие от взаимного влияния финансовых инструментов на рынке. Модель Марковича для реальных торговых площадок приводила к очень большему объему вычислений, поэтому была предложена более грубая, но менее громоздкая индексная модель В. Шарга. Наконец, в связи с необходимостью страховать или хеджировать риски инвестиций была предложена модель Блэка – Шоуласа, позволявшая вычислять цену опциона С, если известны текущая цена акции , цена исполнения опциона , безрисковый процент , время исполнения опциона и изменчивость .
Все перечисленные модели, получившие название моделей случайного блуждания, были подвергнуты критике Дж. Соросом, предложившим другой подход, названный им рефлексивным. Сорос применяет этот подход к предметным областям, связанным с деятельностью человека, далеко выходящими за рамки финансовых рынков. По Соросу цены на финансовые инструменты меняются потому, что участники рынка неверно оценивают изменения этих цен в будущем, опираясь на знание этого изменения в прошлом. Поэтому действия самих участников формируют цены на рынке и, если бы участники могли не прогнозировать с какими-то вероятностями, а достоверно предсказывать будущие цены, то рынок бы застыл и цены перестали меняться. Сорос называет рефлексивным рынок. который формируют неверные действия участников. Были предприняты попытки довести эту идею Сороса до математической модели, однако, при этом не учитывалась самая важная сторона идеи Сороса. А именно, если в моделях случайного блуждания вероятности, которые влияют на цены финансовых инструментов, берутся, как нечто внешнее, т.е. или задаются априори или определяются по результатам прошлых торгов, то на рефлексивном рынке эти вероятности должны определяться в зависимости от того какой стратегии придерживается тот или иной участник рынка. Поэтому задача о построении математической модели фондового рынка может считаться решенной, если эта модель позволяет вычислить вероятности изменения цен финансовых инструментов.
Таблица физических качеств ди Бартини-Кузнецова. Одной из возможностей построения математических моделей экономических процессов является аналогия с физическими процессами. Чтобы связать эти две разные предметные области, можно использовать таблицу физических качеств ди Бартини - Кузнецова. Качеством называется то, внутри чего все различия носят количественный характер. Можно получить количественную характеристику разных качеств. Такой характеристикой служит размерность физической величины , где - масса, - длина, - время. В физике существуют три размерные фундаментальные универсальные постоянные: - ньютоновская постоянная тяготения, - скорость света в вакууме, - постоянная Планка. Если положить =1, то, учитывая, что : , а тогда и все физические величины можно расположить в плоской таблице. Каждая клетка этой таблицы представляет одно физическое качество. При построении математической модели для любой предметной области, необходимо указать какие величины в этой области будут постоянными, т.е. указать соответствующие клетки таблицы. Постоянные или инвариантные величины распадаются в сумму изменяющихся величин. Если размерности инвариантов и переменных совпадают, то получается интегрируемый закон сохранения, если не совпадают – то неинтегрируемый. В последнем случае интерпретация переменных в терминах инвариантов может быть только вероятностной. Примерами этих двух типов законов сохранения, а именно они лежат в основе любой математической модели, могут служить законы сохранения энергии в механике:
, (1)
где - сохраняющаяся энергия, - кинетическая энергия, -потенциальная, и в термодинамике:
, (2)
где - полный дифференциал внутренней энергии, - неинтегрируемое изменения теплоты, - неинтегрируемое изменение работы. Если закон сохранения (1) в таблице ди Бартини-Кузнецова относится к клетке , то закон (2) к клетке . Обозначая массу, скорость, импульс, энергию, мощность, действие, волновую функцию, можно получить для этих величин следующие клетки в таблице ди Бартини-Кузнецова: ; ; ; ; ; ; (3) , где - размерность конфигурационного пространства.
Таблица ди Бартини-Кузнецова допускает модификацию в зависимости от того, какие из универсальных фундаментальных постоянных используются. М. Планк, открывший последнюю такую константу, построил систему единиц измерения, положив и тогда Для варианта этой таблицы, где :

Классическая и квантовая механика. Типичным и важным примером теории, в которой совмещаются инварианты из разных клеток таблицы ди Бартини-Кузнецова, служит квантовая механика, результаты измерения в которой, должны интерпретироваться в терминах классической механики, где закон сохранения (1) находится в клетке . Уже на ранней стадии развития квантовой теории, когда была создана модель атома Н. Бора, можно было заметить, что инвариант, на котором построена эта модель, имеет другую размерность, чем . Действительно, в модели Н. Бора энергия есть , где -постоянная Ридберга, а - натуральные числа. Изменение энергии . Тогда . Если потребовать, чтобы , где то .
Тогда:
квантовый случай;
классический случай.
Квантовое описание требуется тогда, когда изменение энергии , которое находится в клетке , оказывается соизмеримым с самой энергией , которая находится в клетке . Если же , то инвариант с размерностью исчезает и имеется классический случай с интегрируемым законом сохранения (1).
Дальнейшее развитие квантовой теории привело к квантовой механике Шредингера, в которой, стационарное состояние, т.е. состояние, имеющее определенную энергию, описывается волновой функцией число степеней свободы, подчиняющейся стационарному уравнению Шредингера: , где = - эрмитов оператор Гамильтона, причем = , где - эрмитов оператор кинетической энергии, - эрмитов оператор импульса, – оператор потенциальной энергии. Т.к. , то и , т.е. кинетическая и потенциальная энергия не будут иметь определенных значений. Тогда вместо интегрируемого закона сохранения энергии (1) имеется неинтегрируемый закон где - среднее значение и . При этом можно говорить, только о вероятностях того, что, если система находится в стационарном состоянии с энергией , то кинетическая энергия имеет значение , а потенциальная . Эти вероятности и могут быть найдены, если решить уравнение и , найти собственные функции и операторов и разложить их по : . Тогда Эти вероятности появились потому, что в квантовой механике, закон сохранения – инвариант из клетки таблицы ди Бартини-Кузнецова. Действительно, т.к .
, то
,
а значит изменения кинетической и потенциальной энергий можно определить одновременно, в то время как сами кинетическую и потенциальную энергию определить нельзя. Но и – инварианты из клетки , а значит в квантовой механике интегрируемый закон сохранения – это закон сохранения мощности, а не энергии. Разумеется, энергия тоже будет сохраняться, но закон ее сохранения не интегрируемый.
Т.о. переход от классической к квантовой механике связан с переходом из одной клетки таблицы ди Бартини-Кузнецова к другой. Интерпретация результатов измерения над квантовой системой в терминах теории, построенной на другом инварианте, приводит в вероятностной интерпретации. Именно это совмещение двух разных инвариантов из таблицы ди Бартини-Кузнецова и делает квантовые системы целостными, когда ни одна из частиц, входящих в систему не является независимой от других.
Участник фондового рынка пытается определить будущие цены финансовых инструментов, опираясь на знание самих этих цен, т.е. пытается делать то же самое, что физик, который, исследуя квантовую систему, подчиняющуюся интегрируемому закону сохранения мощности, т.е. изменения энергии, пытается интерпретировать результаты исследования в терминах самой энергии. В результате и тот и другой получают только то, что и можно получить при совмещении инвариантов из разных клеток, т.е. вероятности. Но вычисление вероятностей и составляет главную задачу при построении математических моделей фондового рынка. Поэтому методология построения таких моделей заключается в получении интегрируемых законов сохранения и квантовании этих законов, т.е. переходу к неинтегрируемым законам. Поскольку правила такого перехода хорошо разработаны в квантовой теории, то появляется возможность использовать уже существующий математический аппарат для построения таких моделей. В настоящее время ведутся интенсивные работы по созданию квантового компьютера, возможности которого, если его удастся создать, по распараллеливанию вычислений фантастичны по сравнению с теми, которыми обладает классический компьютер. Одной из задач, которую можно решать на квантовом компьютере, является задача моделирования квантовых систем. Представляя рефлексивный фондовый рынок, как квантовую систему, можно избежать проблем, связанных с большим объемом вычислений, с которыми сталкиваются некоторые модели фондового рынка, основанные на теории случайного блуждания, например, модель Марковица.
Модель поведения человека И. Пригожина. Рассматривается простую модель поведения человека, имеющего выбор между несколькими возможностями, предложенную Г. Николисом и И. Пригожиным. Участник фондового рынка тоже делает выбор между разными финансовыми инструментами, в которые он может вложить деньги. Пусть - число людей участвующих в выборе, одной из двух возможностей. Пусть - число людей, выбравших первую возможность, а - число людей, выбравших вторую, и - вероятности первого и второго выбора. Тогда: . Уравнение модели Пригожина: где постоянная - коэффициент ажиотажа, можно привести к двум независимым уравнениям: . В общем случае Т.к. эти функции модельно не определяются, то модель Пригожина удовлетворяет только одному из двух требований, а именно требованию существования законов сохранения, но не удовлетворяет второму – требованию замкнутости моделей. Для того, чтобы замкнуть модель, можно положить в первом из уравнении, которое только и будет рассматриваться в дальнейшем, . Получается логистическое уравнение: .
Квантование логистического уравнения. Нужно записать уравнение в форме закона сохранения (1), а именно:

и привести его размерность к размерности энергии. Для этого воспользуемся таблицей физических качеств, в которой и полагая , получим. учитывая, что , величины, выраженные через степени и :
; ; ; ; ,
; ; ; . Т.к. мы рассматривается одномерное движение, то в последней формуле . Далее уравнение переписывается в виде:

Вводятся обозначения и сделав замену , для массы, импульса, полной сохраняющейся энергии и потенциальной энергии. А уравнение приводится к форме (1) – интегрируемому закону сохранения энергии, в котором . Совершив замену , можно получить уравнение Шредингера, если подействовать оператором, стоящем слева, и числом , стоящем справа на волновую функцию :
.
Точное нормированное решение последнего уравнения слишком громоздко, для того, чтобы его приводить в короткой методологической заметке, поэтому можно ограничиться качественным исследованием этого решения. График потенциала приводится на рисунке:









Из рисунка видно, что потенциал есть потенциал Хиггса, но сдвинутый вдоль оси и отраженный относительно ее. В интервале , который только и допустим в классической модели Пригожина, при будет существовать дискретный спектр , а значит дискретный набор ортонормированных волновых функций . Но тогда, поскольку собственные функции оператора определяемые из уравнения
, есть ,
то записав разложение
,
можно найти, что:
.
Откуда для вероятности, что людей сделает 1-ый выбор, можно получить:
.
Т.о. показано на простой модели Пригожина, что вероятности можно не задавать априорно, а вычислить, что и является первым шагом, на пути построения рефлексивных моделей фондового рынка.



ОГЛАВЛЕНИЕ