стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

19
ГЛАВА




МИНИМИЗАЦИЯ
ИЗДЕРЖЕК

Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в
конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей
главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на макси-
мизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи
максимизации прибыли.
Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвен-
ном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на
два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства лю-
бого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема вы-
пуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи —
минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.

19.1. Минимизация издержек
Предположим, что у нас имеется два фактора производства с ценами м>| и щ и
мы хотим найти самый дешевый способ производства заданного объема выпус-
ка у. Если обозначить используемые количества каждого из двух факторов че-
рез х\ и Х2, а производственную функцию для фирмы — через f(x\, x^), то эту
задачу можно записать в виде
min

=у.
МИНИМИЗАЦИЯ ИЗДЕРЖЕК______________________________373

При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреж-
дения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издер-
жек все издержки производства и что все измерения производятся в совмести-
мом временном масштабе.
Решение этой задачи минимизации издержек — величина минимальных из-
держек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет
зависеть от vvb w2 и у, поэтому мы запишем это решение как с(щ, w2, у). Эта
функция известна как функция издержек, и она будет представлять для нас зна-
чительный интерес. Функция издержек c(w\, w2, у) показывает минимальные
издержки производства у единиц выпуска при ценах факторов, равных (w], w2).
Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и техно-
логические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам
технологические ограничения — все комбинации х\ и х2, с помощью которых
можно произвести у.
Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов,
дающие один и тот же уровень издержек С. Мы можем записать это в виде вы-
ражения
щх\ + w2x2 = С,
которое может быть преобразовано в
С w\
Х2= —————L X) .
W2 W2

Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон —w\/w2 и точку
пересечения с вертикальной осью С/щ. Изменяя число С, мы получаем целое
семейство изокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержки С,
и более высокие изокосты связаны с большими издержками.
Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефра-
зирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана
самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис. 19.1.
Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает ис-
пользование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта
представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет
характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен на-
клону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма
замещения должна равняться отношению цен факторов:

r. *2) = -^-. (19.1)
"2

(В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется,
условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если про-
изводственная функция имеет "изломы", условие касания теряет смысл. 5>ги
Глава 19
374

исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в на-
стоящей главе мы не будем акцентировать внимание на указанных случаях.)




Оптимальный
выбор

Изокосты
Наклон = — MJ /w2




Изокванта
АХ\, Х 2 ) = У



Рис. Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих из-
держки производства, может определяться нахождением на изокванте точки,
19.1
связываемой с самой низкой изокостой.


Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет.
Рассмотрим любое изменение структуры производства (A*i, Д*2), при котором
выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравне-
нию:
(19.2)
= 0.

Обратите внимание на то, что A*i и ДХ2 должны иметь противоположные
знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохра-
нения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество
фактора 2.
Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не
может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:
(19.3)
+ W2&X2 ^
МИНИМИЗАЦИЯ ИЗДЕРЖЕК______________________________ 375

Теперь рассмотрим изменение (— ЛХ[, — Лх2), при котором также произво-
дится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это
подразумевает, что
— W2AX2 ^ 0. (19.4)
Сложив выражения (19.3) и (19.4), получим
Щ&Х1 + и>2Дх2 = 0. (19.5)
Решение уравнений (19.2) и (19.5) для Ax2/Axj дает нам
w
МР\(х\ ,Х2)
&*2 _ i_


а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше пу-
тем геометрических рассуждений.
Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи по-
требительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и
выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче
потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потре-
битель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюд-
жетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой
технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального поло-
жения перемещается вдоль изокванты.
Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще
говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма
хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества фак-
торов в виде x\(w\, \*>2, у) и xi(w\, щ, у). Это так называемые функции услов-
ного спроса на факторы, или функции производного спроса на факторы. Они
показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор
фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного
объема выпуска у.
Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса
на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль,
которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на
факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме
выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, пока-
зывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.
Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непо-
средственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построе-
ние и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма,
если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом.
Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа от-
деления задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определе-
ния метода производства, минимизирующего издержки.
Глава 19
376_________________________________________

ПРИМЕР: Минимизация издержек
для случаев конкретных технологий
Предположим, что мы рассматриваем технологию, при которой факторы
производства являются совершенными комплементами, так что f ( x \ , х2) =
= min {x\, х2}. Тогда, если мы хотим произвести у единиц выпуска, нам явно
потребуется у единиц х\ и у единиц х2. Следовательно, минимальные из-
держки производства будут равны
с(щ, w2, у) = w\y + wtf = (и»! + w2)y.
Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных
субститутов /(л:), х2) — х\ + х21 Поскольку товары 1 и 2 выступают в производ-
стве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из
них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства у еди-
ниц выпуска составят w\y или w^y в зависимости от того, какая из этих двух
величин меньше. Другими словами:
с(щ, w2, у) = min{wij>, w^y} = min{wi, w2}y.
Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой
f(x\, x2) = xfx2 . В этом случае мы можем применить технику дифференциаль-
ного исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид
_Ь^ \
_а_
a+
[ , W2, у) = Kw} bwa+bya+b ?


где К есть константа, зависящая от а и от Ь. Подробности этого исчисления
представлены в приложении.

19.2. Выявленная минимизация издержек
Предположение о том, что фирма выбирает факторы таким образом, чтобы
минимизировать издержки производства выпуска, имеет последствия, касаю-
щиеся изменения наблюдаемого выбора по мере изменений цен факторов.
Предположим, что из наблюдений нам известны два набора цен (w{,w'2) и
(w\,w2) и связанные с ними выбранные фирмой количества факторов (х{,х'2)
и ( х * , х 2 ) . Предположим также, что с помощью каждой из этих выбранных
комбинаций факторов производится один и тот же объем выпуска у. Тогда, ес-
ли каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирую-
щая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться
МИНИМИЗАЦИЯ ИЗДЕРЖЕК______________________________ 377

Если фирма всегда выбирает такой способ производства у единиц выпуска,
который минимизирует ее издержки, то комбинации факторов, выбранные
фирмой в моменты времени t и s, должны удовлетворять указанным неравенст-
вам. Мы будем называть эти неравенства слабой аксиомой минимизации издер-
жек (Weak Axiom of Cost Minimization WACM).
Запишем второе неравенство в виде

— \v\x\— W2x'2 ^˜ w f x f

и прибавим его к первому неравенству, получив при этом неравенство

(w\- ws])x\ +(w'2- w2)x2 *(w\- w f b f

которое может быть преобразовано к виду



Используя для изменения спроса на факторы и цен факторов А, мы получаем
0.
Это неравенство следует исключительно из предпосылки о поведении, ми-
нимизирующем издержки. Оно налагает ограничения на возможные изменения
в поведении фирмы при изменении цен факторов и сохранении постоянного
объема выпуска.
Например, если цена первого фактора возрастает, а цена второго — остает-
ся постоянной, то Aw2 = 0, так что неравенство приобретает вид
AwjAxi = 0.
Если цена фактора 1 возрастает, то, как следует из данного неравенства,
спрос на фактор 1 должен сокращаться; следовательно, кривая условного спро-
са на фактор должна иметь отрицательный наклон.
Что можно сказать о том, как меняются минимальные издержки при изме-
нении параметров задачи? Нетрудно видеть, что с ростом цены любого из фак-
торов издержки должны увеличиваться: если один из факторов становится до-
роже, а цена другого остается без изменений, то минимальные издержки не
могут снижаться и, вообще говоря, будут расти. Аналогичным образом, если
фирма решает производить больше выпуска и цены факторов остаются посто-
янными, то издержки фирмы должны будут расти.

19.3. Отдача от масштаба и функция издержек
В гл. 17 мы обсуждали идею отдачи от масштаба применительно к производст-
венной функции. Вспомним, что технология характеризуется возрастающей,
убывающей или постоянной отдачей от масштаба в зависимости от того, является
378________________________________________ Глава 19

ли f ( x \ , X2) величиной большей, меньшей или равной tf[x\, xi) для всех / > 1.
Оказывается, существует отчетливо прослеживаемая взаимосвязь между типом
отдачи от масштаба, характеризующим производственную функцию, и поведе-
нием функции издержек.
Предположим вначале, что мы имеем дело с естественным случаем посто-
янной отдачи от масштаба. Представьте, что мы решили задачу минимизации
издержек для производства одной единицы выпуска, поэтому нам известна
функция единичных издержек c(w\, щ, 1). Какой же самый дешевый способ
произвести у единиц выпуска? Ответ прост: мы используем каждого фактора
просто в у раз больше, чем для производства одной единицы выпуска. Это оз-
начает, что минимальные издержки производства у единиц выпуска составят
просто c(w\, W2, \)у. В случае постоянной отдачи от масштаба функция издер-
жек является линейной по выпуску.
Что если мы имеем дело с возрастающей отдачей от масштаба? В этом слу-
чае оказывается, что с возрастанием выпуска издержки возрастают медленнее,
чем при линейной зависимости. Если фирма решает произвести выпуск в два
раза больше, она может сделать это при менее чем удвоенных издержках, при
условии, что цены факторов остаются постоянными. Это естественное следст-
вие идеи возрастающей отдачи от масштаба: если фирма удваивает используе-

стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>