<< Предыдущая

стр. 3
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Последнее условие есть не что иное, как ограничение. Мы можем преобразовать
первые два уравнения и поделить первое уравнение на второе, получив при этом
w
d
w2 df(xl,x2)/dx2
Обратите внимание на то, что это то же самое условие первого порядка, которое мы
вывели в тексте: технологическая норма замещения должна равняться отношению цен
факторов.
Применим этот метод к производственной функции Кобба—Дугласа:



Тогда задача минимизации издержек принимает вид
min щх\ + w2x2
х
\, Х2

ПРИ xfxb2 = y.

Перед нами конкретный вид задачи для функции особого вида, и мы можем решить
эту задачу, используя либо метод подстановки, либо метод Лагранжа. При методе под-
становки следует вначале выразить из ограничения Х2 как функцию х^.



а затем подставить полученное выражение в целевую функцию, чтобы перейти тем са-
мым к задаче минимизации без ограничений
min w,*, + w2(yx\a)Vb .
МИНИМИЗАЦИЯ ИЗДЕРЖЕК______________________________ 385

Мы могли бы, как обычно, взять производную этого выражения по х\ и приравнять
ее к нулю. Можно решить полученное в результате этого уравнение, получив х\ как
функцию и1] , щ и у, чтобы получить функцию условного спроса на х\ . Сделать это не-
трудно, но алгебра здесь довольно запутанная, и мы не будем выписывать все детали
решения задачи указанным методом.
Мы, однако, решим данную задачу методом Лагранжа. Три условия первого порядка
представляют собой
Щ=



у =А -
Умножим первое уравнение на х.\ и второе уравнение на х2, получив при этом

w{xi = Xoxf дг* =

W2x2 = ^Ьх1ХЬг
так что

jc, = К^- (19.6)
w\

х2 = X— . (19.7)
W2
Теперь мы воспользуемся третьим уравнением, чтобы получить выражение для X.
Подставляя в условие третьего порядка решения для х\ их2, получаем




Мы можем найти из этого уравнения А., получив довольно внушительное выражение
1


которое наряду с уравнениями (19.6) и (19.7) дает нам окончательные решения для х\ и
Х2. Эти функции спроса на факторы будут иметь вид:




а+
" <+* ^+" Уа+ь
, W2, У) = т
13 Микроэкономика
Глава 19
386

Функцию издержек можно найти, записав выражения для издержек при выборе
фирмой комбинаций факторов, минимизирующих издержки. Иными словами,
Щ, У) = wi*i(wi, W2, У) + П2Х2(щ, щ, у).
В результате ряда утомительных алгебраических преобразований мы получаем


с(щ, W2, У) = ,a+b




(Не беспокойтесь, этой формулы на итоговом экзамене не будет. Она приведена
только для того, чтобы продемонстрировать, как мы получаем точное решение задачи
минимизации издержек, применяя метод множителей Лагранжа.)
Обратите внимание на то что с ростом выпуска издержки будут расти быстрее, чем
при линейной зависимости, с той же скоростью, или медленнее, в зависимости от того,
является ли а + b величиной меньшей, равной или большей 1. Это имеет смысл, по-
скольку в зависимости от величины а + Ь технология Кобба—Дугласа характеризуется
убывающей, постоянной или возрастающей отдачей от масштаба.

<< Предыдущая

стр. 3
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ