стр. 1
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ГЛАВА




ПОЛЕЗНОСТЬ
В Викторианскую' эпоху философы и экономисты беспечно говорили о
"полезности" как о показателе общего благосостояния человека. Полезность
представлялась им численной мерой благоденствия индивида. Исходя из этой
идеи естественным было полагать, что потребители осуществляют выбор та-
ким образом, чтобы максимизировать свою полезность, т.е. достичь как мож-
но большего удовлетворения.
Беда в том, что эти экономисты классического толка в действительности
никогда не приводили описания способа измерения полезности. Как мы долж-
ны определять "количество" полезности, связываемое с различными варианта-
ми выбора? Можно ли утверждать, что полезность для одного человека — та
же, что и для другого? Что может означать утверждение:" Еще одна плитка
шоколада принесет мне вдвое большую полезность, чем еще одна морковь?"
Имеет ли понятие "полезность" какое-либо самостоятельное значение, отлич-
ное от "того, что люди максимизируют"?
Из-за этих проблем с толкованием понятий экономисты отказались от ус-
таревшей точки зрения на полезность как на меру благоденствия. Вместо
этого теория поведения потребителей была полностью переформулирована с
позиций потребительских предпочтений, и теперь полезность рассматривают
лишь как способ описания предпочтений.
Постепенно экономисты пришли к признанию того, что применительно к
потребительскому выбору полезность важна только в том смысле, обладает ли
один набор благ более высокой полезностью, чем другой, а насколько более
высокой — значения на самом деле не имеет. Первоначально предпочтения
определялись в терминах полезности: утверждение, что набор (х\, д^) предпо-
читается набору (у\, У2) означало, что набор х обладает большей полезностью,
Глава 4
72

чем набор у. Теперь же мы склонны рассуждать наоборот. Опис? ше предпоч-
тений потребителя существенно полезно для анализа потребительского выбо-
ра, полезность же — это просто способ описания предпочтений.
Функция полезности — это такой способ приписывания каждому возмож-
ному потребительскому набору некоего численного значения, при котором
более предпочитаемым наборам приписываются большие численные значе-
ния, чем менее предпочитаемым. Иными словами, набор (х\, х2) предпочита-
ется набору (у\, У2) в том и только в том случае, если полезность набора
(х{, х2) больше полезности набора (yi, у2): на языке условных обозначений
(х\, х2) >- (уь у2) , если и только если, и(х\, х2) > u(yi, у2).
Единственный смысл приписывания полезности состоит в том, что с его
помощью ранжируются товарные наборы. Значение, принимаемое функцией
полезности, важно только с точки зрения ранжирования различных потреби-
тельских наборов; величина разности полезности двух любых потребитель-
ских наборов не существенна. Вследствие указанного акцентирования распо-
ложения товарных наборов в определенном порядке полезность этого рода
именуется порядковой полезностью.
Рассмотрим, например, табл. 4.1, в которой показано несколько разных
способов приписывания полезностей трем товарным наборам, одинаково ран-
жирующих эти наборы. В данном примере потребитель предпочитает набор А
набору В, а набор В — набору С. Все указанные способы приписывания полез-
ностей представляют собой функции полезности, годные для описания одних и
тех же предпочтений, потому что все эти функции обладают тем свойством, что
набору А поставлено в соответствие большее число, чем набору В, которому в
свою очередь поставлено в соответствие большее число, чем набору С.
Табл. Разные способы приписывания полезностей
4.1
Набор U2
Vi l/э
А 3 -1
17
D 2 10 -2
С 1 -3
0,002

Поскольку важен лишь порядок расположения наборов, не может сущест-
вовать единственного способа приписывания полезностей товарным наборам.
Если может быть найден один способ приписывания товарным наборам зна-
чений полезности, то можно найти и бесчисленное множество способов сде-
лать это. Если и (х\, х2) — один из способов приписывания значений полез-
ности наборам (XL X2), то умножение и (х\, х2) на 2 (или на любое другое по-
ложительное число) — в свою очередь столь же подходящий способ припи-
сывания им полезностей.
Умножение на 2 — это пример монотонного преобразования. Это такой
способ превращения одного множества чисел в другое, при котором порядок
чисел сохраняется.
ПОЛЕЗНОСТЬ 73

Обычно мы представляем монотонное преобразование функцией /(м),
превращающей каждое число и в некоторое другое число /(и) таким спосо-
бом, при котором порядок чисел сохраняется в том смысле, что и\ > и^ под-
разумевает /(MI) >/(м2). Монотонное преобразование и монотонная функция
по существу одно и то же.
Примерами монотонных преобразований являются умножение на поло-
жительное число (например, /(м) = Зи), прибавление любого числа (напри-
мер,/(м) = и + 17), возведение и в нечетную степень (например,/(м) = и3)
и т.д.'
Скорость изменения/(м) по мере изменения и может быть измерена из-
менением / при переходе от одного значения и к другому, отнесенным к из-
менению м: ,

Дм «2 ˜ К1
При монотонном преобразовании у /(1/2) —/(MI) всегда тот же знак, что и
М2 — MI. Следовательно, скорость изменения монотонной функции всегда по-
ложительна. Это означает, что график монотонной функции, как показано на
рис.4. 1А, всегда имеет положительный наклон.




А В

Положительное монотонное преобразование. На рис.А показана монотонная Рис.
функция — функция, которая все время возрастает. На рис.В показана функ- 4.1
ция, не являющаяся монотонной, поскольку она то возрастает, то убывает.


1
То что мы называем здесь "монотонным преобразованием", называют, строго говоря,
"положительным монотонным преобразованием", чтобы отличить от "отрицательного монотонного
преобразования", изменяющего порядок чисел на обратный. Для обозначения монотонных пре-
образований иногда используют английское слово "monotonous", что, на наш взгляд, несправед-
ливо, поскольку на самом деле эти преобразования могут представлять значительный интерес.
74__________________________________________Глава 4

Если /(«) есть любое монотонное преобразование функции полезности,
представляющее какие-либо конкретные предпочтения, то/(ы(х ь *2» — это
тоже функция полезности, представляющая те же самые предпочтения.
Почему? Доводы в пользу этого даны следующими тремя утверждениями:
1. Сказать, что и(х\, х^) представляет некие' конкретные предпочтения,
означает, что и(х\, л^) > и(у\, Ут), если и только если (х\, х$ >- (yi, у2).
2. Но если Дм) есть монотонное преобразование, то и(х\, Х2) > и(у\, j;2), если
и только еслиДХхь *2)) >А"(Уь и))-
3. Следовательно, Лм(хь х2)) >Аи(У\, Уд), если и только если (х\, х2) >•
(Уь Уз)> так что функция Д и) представляет предпочтения совершенно
таким же образом, как и исходная функция полезности и(х\, х2).
Подытожим эти рассуждения, сформулировав следующий принцип: моно-
тонное преобразование функции полезности есть функция полезности, представ-
ляющая те же самые предпочтения, что и исходная функция полезности.
Геометрически функция полезности представляет собой способ обозначе-
ния кривых безразличия. Поскольку каждый набор, находящийся на какой-
либо кривой безразличия, должен иметь одинаковую полезность, функция
полезности есть такой способ приписывания различным кривым безразличия
неких численных значений, при котором более высоким кривым безразличия
приписываются большие численные значения. С этой точки зрения, моно-
тонное преобразование — всего лишь переименовывание кривых безразли-
чия. До тех пор, пока кривые безразличия, на которых находятся более пред-
почитаемые наборы, обозначаются ббльшими числами, чем кривые безразли-
чия, на которых находятся менее предпочитаемые наборы, подобное пере-
именовывание будет представлять те же самые предпочтения.


4.1. Количественная полезность
Существует ряд теорий полезности, в которых величине полезности прида-
ется значение. Эти теории известны как количественные теории полезности.
В количественной теории полезности предполагается, что величина разно-
сти значений полезности для двух наборов благ имеет определенную зна-
чимость.
Нам известно, как определить, предпочитает ли данный индивид один то-
варный набор другому: мы просто предложим ему (или ей) выбрать один из
двух наборов и посмотрим, какой набор выбран. Следовательно, мы знаем,
как приписывать двум товарным наборам порядковую полезность: достаточно
приписать выбранному набору более высокую полезность, чем отвергнутому.
Любое приписывание такого рода явится функцией полезности. Таким обра-
зом, у нас имеется рабочий критерий, позволяющий определить, имеет ли
для данного индивида один набор большую полезность, чем другой.
ПОЛЕЗНОСТЬ______________________________________75

Но как можно утверждать, что один набор нравится индивиду в два раза
больше другого? На основании чего вы сами можете определить, нравится ли
вам один набор вдвое больше другого?
Можно было бы предложить для такого рода приписывания значений по-
лезности разные исходные определения: скажем, "один набор нравится мне
вдвое больше другого, если я готов заплатить за него вдвое больше". Или:
"Один набор нравится мне вдвое больше другого, если, чтобы его получить, я
готов пробежать вдвое более длинную дистанцию, или прождать вдвое доль-
ше, или сыграть на него'по удвоенной ставке."
Ничего неправильного ни в одном из этих определений нет: на основе
каждого из них можно было бы построить способ приписывания наборам
уровней полезности, при котором приписываемые численные значения по-
лезности имели бы некий рабочий смысл. Но и правильного в этих опреде-
лениях немного. Хотя каждое из них представляет собой возможную интер-
претацию того, что может означать утверждение "хотеть какую-то вещь вдвое
больше другой", ни одно из них не кажется особенно убедительным.
Но даже если бы нам удалось найти способ приписывания полезности
численных значений, который показался бы нам особенно удачным, какую
пользу он мог бы принести при описании потребительского выбора? Чтобы
утверждать, будет ли выбран тот товарный набор или другой, нам надо знать
лишь, какой из них предпочитается — какой имеет большую полезность.
Знание того, насколько эта полезность больше, ничего не добавляет к наше-
му описанию выбора. Поскольку количественная полезность для описания
потребительского выбора не требуется и поскольку бесспорного способа при-
писывания количественных полезностей так или иначе не существует, будем
придерживаться рамок чисто порядковой полезности.


4.2. Построение функции полезности
Однако уверены ли мы в том, что вообще существует какой-либо способ
приписывания товарным наборам порядковых полезностей? Допустим, име-
ется некое ранжирование предпочтений. Всегда ли можно найти функцию
полезности, располагающую товарные наборы в том же порядке, в каком
располагаются эти предпочтения? Существует ли функция полезности, опи-
сывающая любое рациональное ранжирование предпочтений?
Не все виды предпочтений можно представить с помощью функции по-
лезности. Предположим, например, что предпочтения некоего индивида не-
транзитивны, так что А > В >- С >- А. Тогда функция полезности, соответст-
вующая этим предпочтениям, должна была бы состоять из чисел и(А), и(В) и
и(С) таких, что и(А) > и(В) > и(С) > и(А). Но это невозможно.
Если, однако, исключить из рассмотрения аномальные случаи вроде не-
транзитивных предпочтений, то окажется, что практически всегда можно
найти некую функцию полезности, которая бы представляла данные пред-
Глава 4
76

почтения. Поясним построение функции полезности наглядными примерами,
рассмотрев один из них здесь, а другой — в гл. 14.
Допустим, что нам дана карта кривых безразличия, такая, как на рис. 4.2.
Мы знаем, что функция полезности есть способ обозначения кривых безраз-
личия, при котором более высоким кривым безразличия ставятся в соответст-
вие ббльшие числа. Как это можно сделать?



Измеряет расстояние
от начала координат




Кривые
безразличия




Построение функции полезности на основе кривых безразличия. Нарисуйте
диагональную линию и обозначьте каждую кривую безразличия числом, со-
ответствующим расстоянию от нее до начала координат, измеренному вдоль
этой линии.


Один из простых способов — провести диагональ, как показано на рисун-
ке, и обозначить каждую кривую безразличия числом, соответствующим ее
расстоянию от начала координат, измеренному вдоль этой диагонали.
Откуда мы знаем, что в результате этого получим функцию полезности? Не-
трудно заметить, что если предпочтения монотонны, то луч, проходящий через
начало координат, должен пересечь каждую кривую безразличия в точности один
раз. Таким образом, каждый набор благ получает свое обозначение, и наборы,
находящиеся на более высоких кривых безразличия, обозначаются большими
числами, а только это и требуется, чтобы построить функцию полезности.
Это дает нам один из способов обозначения кривых безразличия по край-
ней мере для случая монотонных предпочтений. Данный способ не всегда
будет самым подходящим для любого заданного случая, но он показывает
достаточно общий характер идеи, заложенной в функции порядковой полез-
ности: "разумные" предпочтения почти любого вида можно представить с по-
мощью функции полезности.
ПОЛЕЗНОСТЬ 77

4.3. Некоторые примеры
функций полезности
В гл. 3 мы рассмотрели несколько примеров предпочтений и представляющих
их кривых безразличия. Эти предпочтения можно представить также с помо-
щью функций полезности. Если дана функция полезности и(х\, x-fi, нарисо-
вать соответствующие кривые безразличия сравнительно несложно: надо на-
нести на график все точки (х\, д^), для которых м(лсь д^) постоянна. В матема-
тике множество всех (х\, л/г), для которых и(х\, д/г) постоянна, называется упо-
рядоченным множеством. Для каждого другого значения константы мы полу-
чаем другую кривую безразличия.

ПРИМЕР: Кривые безразличия,
получаемые на основе функции полезности
Предположим, что функция полезности имеет вид: и(х\, х^) — *i*2- Как вы-
глядят тогда кривые безразличия? Нам известно, что типичная кривая безраз-
личия есть просто множество всех jq и х^, таких, что k = х\х-^ для некой кон-

стр. 1
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>