<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

станты k. Выразив Х2 как функцию от х\, мы видим, что типичной кривой
безразличия в данном случае будет соответствовать формула:
k
х2= — .
1

Эта кривая изображена на рис. 4.3 для = 1,2, 3...



Кривые
безразличия




Рис.
Кривые безразличия. Кривые безразличия k — xlx2 для любых значений k.
4.3
78_________________________________________Глава 4

Рассмотрим еще один пример. Допустим, нам задана функция полезности
вида и(х} ,х2) = х*х\. Как выглядят ее кривые безразличия? Согласно стан-
дартным правилам алгебры:
v(x b x 2 ) = x12x| =(xix2)2 = и(х{,х2)2.
Иными словами, функция полезности v(xb х2) есть просто квадрат функ-
ции полезности и(х\, х2). Поскольку и(х\, х2) не может быть отрицательной
величиной, отсюда следует, что v(xi, х2) является монотонным преобразова-
нием исходной функции полезности и(х\, х2). Это означает, что функции по-
лезности У(Х! , *2) = *j[ *2 Должны соответствовать кривые безразличия в точ-
ности такой же формы, как у представленных на рис.4.3. Обозначения кри-
вых безразличия будут другими — обозначения 1, 2, 3 теперь станут обозна-
чениями 1, 4, 9, ..., но множество наборов, имеющее полезность v(x\, x2) = 9,
в точности такое же, что и множество наборов, имеющее полезность
v(*i, x2) = 3. Следовательно, v(x\, x2) описывает в точности те же предпочте-
ния, что и и(х\, х2), поскольку она ранжирует все наборы таким же образом.
Идти в обратном направлении — находить функцию полезности, представ-
ляющую определенные кривые безразличия, — несколько сложнее. Для этого
можно прибегнуть к двум способам. Первый способ — математический. Исходя
из заданных кривых безразличия мы хотим найти функцию, которая прини-
мала бы постоянные значения вдоль каждой кривой безразличия и приписы-
вала бы большие численные значения более высоким кривым безразличия.
Второй способ — несколько более интуитивный. Исходя из описания
предпочтений, мы пытаемся представить себе, что именно стремится макси-
мизировать потребитель — какая комбинация товаров описывает его потре-
бительский выбор. Хотя на данной стадии рассмотрения этот способ может
показаться несколько неясным, после обсуждения нескольких примеров его
смысл станет понятнее.

Совершенные субституты
Помните пример с красными и синими карандашами? Для потребителя име-
ло значение только общее число карандашей. Таким образом, вполне естест-
венно измерять полезность общим числом карандашей. Поэтому предвари-
тельно выберем функцию полезности вида и(х\, х2) = х\ + х2. Подойдет ли
она? Достаточно задать себе два вопроса: принимает ли эта функция полез-
ности постоянные значения при перемещении вдоль кривых безразличия?
Приписывает ли она более высокие численные значения более предпочитае-
мым наборам? Поскольку на оба эти вопроса следует дать утвердительный
ответ, перед нами — функция полезности.
Разумеется, это не единственная функция полезности, которую мы
могли бы использовать в данном случае. Можно было бы также использо-
вать квадрат числа карандашей. Таким образом, функция полезности
v(x t ,х 2 ) = (х, + хг ) 2 = jcj2 + 2дс,х2 + х\ тоже представляет предпочтения .для
ПОЛЕЗНОСТЬ______________________________________79^

случая совершенных субститутов, как, рпрочем, и любая другая функция, яв-
ляющаяся монотонным преобразованием функции и(х\, х2).
Что, если потребитель хочет заместить товар 1 товаром 2 в соотношении,
отличном от соотношения "один к одному"? Предположим, например, что
потребителю потребуются две единицы товара 2, чтобы компенсировать отказ
от одной единицы товара 1. Это означает, что товар 1 вдвое ценнее для по-
требителя, чем товар 2. Функция полезности, следовательно, принимает вид
и(х\, л/j) — 2xi + *2- Заметьте, что эта функция полезности дает кривые без-
различия с наклоном —2.
Вообще предпочтения в отношении совершенных субститутов можно
представить функцией вида
"(*ь *2) =axi + Ьх2.
Здесь а и Ь — некие положительные числа, измеряющие "ценность" това-
ров 1 и 2 для потребителя. Обратите внимание на то, что наклон типичной
кривой безразличия задан — а/Ь.

Совершенные комплементы
Это случай левого и правого башмаков. При предпочтениях такого рода
потребителя заботит только число имеющихся у него пар обуви, поэтому ес-
тественно выбрать число пар обуви в качестве функции полезности. Число
имеющихся у вас полных пар обуви есть минимум числа имеющихся у вас
правых xi и левых х2 башмаков. В соответствии с этим = функция полезности
для совершенных комплементов принимает вид и(х\, х2) min{xi, х2}.
Чтобы проверить, действительно ли эта функция полезности подходит в
данном случае, выберем, скажем, товарный набор (10, 10). Добавив еще одну
единицу товара 1, получаем набор (И, 10), потребляя который, мы должны
были бы остаться на той же самой кривой безразличия. Так ли это? Да, по-
скольку min{10, 10} = min{ll, 10} = 10.
Итак, и(х[, х2) = min{xi, х2} — функция полезности, с помощью которой
можно описать совершенные комплементы. Как обычно, для этого подойдет
и любая функция, являющаяся монотонным преобразованием данной .
Что можно сказать о случае, когда потребитель хочет потреблять товары
не в пропорции "один к одному"? Например, как насчет потребителя, всегда
потребляющего 2 ложки сахара с чашкой чая? Если х\ — число имеющихся
чашек чая, а х2 — число имеющихся ложек сахара, то число должным обра-
зом чашек подслащенного чая составит min{jci,-X2b
Это несколько сложно для понимания, так что немного поразмыслим об
этом. Ясно, что если число чашек чая будет больше половины числа ложек
сахара, то мы не сможем положить в каждую чашку чая по 2 ложки сахара. В
этом случае у нас в итоге окажется только —х2 чашек должным образом под-
слащенного чая. (Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо х\ и Х2 какие-
нибудь числа.)
Глава 4
j}0______________________________________

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть описаны любой функци-
ей, которая является монотонным преобразованием указанной функции полез-
ности. Например, можно произвести умножение на 2, чтобы избавиться от
дроби. В результате этого получим функцию полезности и(х\, х2) — min{2xj, х2}.
Вообще, функция полезности, описывающая предпочтения для случая со-
вершенных комплементов, имеет вид
и(х\, х2) = min{axi, Ьх2},
где а и b — положительные числа, показывающие пропорции, в которых по-
требляются товары.

Квазилинейные предпочтения
Перед нами форма кривых безразличия, с которой мы раньше не сталкива-
лись. Предположим, что кривые безразличия потребителя представляют со-
бой, как на рис. 4.4, вертикальные смещения одной кривой по отношению к
другой. Это означает, что все кривые безразличия являются просто верти-
кально "смещенными" копиями одной и той же кривой безразличия. Отсюда
следует, что уравнение кривой безразличия принимает вид х2 = k — v(xi), где
k — константа, имеющая для каждой кривой безразличия свои значения. Чем
больше значения k, тем выше располагаются кривые безразличия. (Знак "минус"
здесь — не более, чем условность; почему он удобен, мы увидим ниже.)
В этой ситуации вполне естественным является ранжирование кривых
безразличия по k, или по "высоте" вдоль вертикальной оси. Выразив k и при-
равняв его к полезности, получаем
и(*ь *2> = k = v(x{) + х2.
В данном случае функция полезности линейна по товару 2, но нелинейна
(возможно) по товару 1; отсюда и название квазилинейная, означающее частич-
но линейную полезность. Конкретные примеры квазилинейной функции по-
лезности: и(х, , х2 ) = Jx^ + x2 или K(XI, x2) = Inxi + x2. Квазилинейные функции
полезности не особенно реалистичны, но с ними легко работать, в чем мы убе-
димся на нескольких примерах, рассматриваемых далее в этой книге.

Предпочтения Кобба — Дугласа
Другая широко используемая функция полезности — функция полезности
Кобба — Дугласа:

где end— положительные числа, описывающие предпочтения потребителя1.
1
Пол Дуглас — экономист XX века, работал в Чикагском университете, позднее стал сенатором.
Чарльз Кобб — математик в Амхерст Колледж. Функцию Кобба — Дугласа первоначально ис-
пользовали при изучении поведения производителей.
ПОЛЕЗНОСТЬ 81




Кривые
безразличия




Х[

Квазилинейные предпочтения. Каждая кривая безразличия есть вертикально Рис.
смещенная копия одной-единственной кривой безразличия. 4.4


Функция полезности Кобба — Дугласа будет полезна нам при рассмотре-
нии нескольких примеров. Предпочтения, представленные функцией полез-
ности Кобба — Дугласа, в общем виде характеризуются формой кривых без-
различия, изображенной на рис. 4.5. На рис.4.5А изображены кривые безраз-
личия для с = 1/2, d = 1/2, на рис.4.5В соответственно для с = 1/5, d = 4/5.
Обратите внимание на то, что разные значения параметров с и d обусловли-
вают различие форм кривых безразличия.




В c=l/5d = 4/5
А с = 1/2 d = 1/2
Кривые безразличия Кобба — Дугласа. На рис.А показан случай с = 1/2, Рис.
d = 1/2, а на рис.В — случай с = 1/5, d = 4/5. 4.5
82______________ _________________________ Глава 4

Кривые безразличия Кобба — Дугласа выглядят в точности так же, как
симпатичные выпуклые к началу координат монотонные кривые безразличия,
которые в гл.З мы называли стандартными кривыми безразличия. Предпочте-
ния Кобба — Дугласа дают нам типовой пример таких стандартных с виду
кривых безразличия, и, действительно, описывающая их формула — это, по-
жалуй, простейшее алгебраическое выражение, соответствующее стандартным
предпочтениям. Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся весьма полезными
для представления на алгебраических примерах некоторых экономических
идей, которые мы рассмотрим позднее.
Разумеется, те же самые предпочтения могут быть представлены и с по-
мощью функции, являющейся монотонным преобразованием функции по-
лезности Кобба — Дугласа, и пару примеров таких преобразований стоит рас-
смотреть.
Во-первых, если взять натуральный логарифм полезности, то произведе-
ние членов превратится в сумму, так что:


Кривые безразличия для этой функции полезности будут выглядеть со-
вершенно так же, как и для первой функции Кобба — Дугласа, поскольку
логарифмирование — это монотонное преобразование. (Краткий обзор нату-
ральных логарифмов вы найдете в математическом приложении в конце
книги.)
В качестве второго примера предположим, что вначале у нас была функ-
ция Кобба — Дугласа вида


Возведя полезность в степень \/(с + d), получим:
__ _rf_
xlc+d x2c+d .
v v


Определим новый член:

c +d
Теперь можно записать нашу функцию полезности как


Это означает, что всегда можно произвести такое монотонное преобразо-
вание функции полезности Кобба — Дугласа, при котором сумма показателей
степени станет равной 1. Позднее станет ясно, что этот факт может иметь
полезную интерпретацию.
Функция полезности Кобба — Дугласа может быть представлена различ-
ными способами; следует научиться их распознавать, так как данное семейст-
во предпочтений очень полезно для использования в качестве примеров.
ПОЛЕЗНОСТЬ______________________________________ 83

4.4. Предельная полезность
Перед нами потребитель, потребляющий некий товарный набор (х^, д^). Как
изменится полезность для этого потребителя, если дать ему чуть больше то-
вара 1? Это отношение изменений называется предельной полезностью товара
1. Обозначим ее MU\ и будем представлять ее как отношение
Ахьх2) - ц(
_
=
Д*1
1
Axi
показывающее изменение полезности (АС/) в связи с малым изменением ко-
личества товара 1 (A*i). Обратите внимание на то, что количество товара 2 в
этих расчетах считается постоянным1.
Данным определением подразумевается, что для расчета изменения по-
лезности в связи с малым изменением потребления товара 1 мы можем про-
сто умножить изменение потребления на предельную полезность товара:

Подобным же образом определяется и предельная полезность товара 2:
и Xl> 2
ми = ^ = "( *
Дх2
Обратите внимание на то, что, подсчитывая предельную полезность това-
ра 2, мы сохраняем количество товара 1 постоянным. Можно подсчитать из-
менение полезности в связи с изменением потребления товара 2 по формуле


Важно понять, что величина предельной полезности зависит от величины
полезности. Следовательно, она зависит от конкретного способа, который мы
выбираем для измерения полезности. Если бы мы умножили полезность на 2,
предельная полезность также оказалась бы умноженной на 2. Мы по-
прежнему располагали бы во всех отношениях подходящей функцией полез-
ности, имеющей, однако, просто другой масштаб.
Сказанное означает, что сама по себе предельная полезность не зависит
от поведения потребителя. Можем ли мы каким-то образом рассчитать пре-
дельную полезность исходя из потребительского выбора? Не можем. Потре-
бительский выбор лишь выявляет информацию о том, как потребитель
ранжирует разные товарные наборы. Предельная полезность зависит от
конкретной функции полезности, используемой для отображения ранжиро-

<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>