<< Предыдущая

стр. 3
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

вания предпочтений, и ее величина не имеет особого значения. Оказывает-
ся, однако, как мы увидим далее, предельную полезность можно использо-
вать для подсчета чего-то, что лишено поведенческого содержания.
1
Расчет предельной полезности на основе методов математического анализа приведен в прило-
жении к настоящей главе.
JJ4_________________________________________ Глава 4

4.5. Предельная полезность и MRS
Функцию полезности и(х\, х2) можно использовать для измерения предель-
ной нормы замещения (MRS), определение которой дано в гл.З. Вспомним,
что MRS измеряет наклон кривой безразличия в точке, соответствующей
данному товарному набору ; ее можно трактовать как пропорцию, в кото-
рой потребитель хотел бы заместить товар 2 малым количеством товара 1 .
Эта трактовка дает нам простой способ подсчета MRS. Рассмотрим те из-
менения потребления каждого товара (Ахь Ах2), при которых полезность ос-
тается постоянной, т.е. те изменения потребления, при которых мы переме-
щаемся вдоль данной кривой безразличия. В этом случае должно соблюдаться
равенство
MU2Ax2 = А / = 0.
Выразив из этого равенства наклон кривой безразличия, получим

(4.1)

(Обратите внимание на то, что в левой части уравнения у нас стоит 2 в
числителе и 1 в знаменателе, а в правой части уравнения — наоборот. Не пе-
репутайте!) ._,
Алгебраический знак MRS отрицателен: чтобы получить больше товара 1,
сохранив при этом ту же самую полезность, вам придется примириться с
меньшим потреблением товара 2. Очень утомительно, однако, все время сле-
дить за^ тем, чтобы не потерять этот докучливый знак "минус", поэтому эко-
номисты часто говорят об абсолютной величине MRS, т.е. об MRS как о по-
ложительном числе. Мы будем придерживаться этой условности до тех пор,
пока из-за этого не возникнет путаницы.
Отметим интересный момент в отношении подсчетов MRS: MRS можно
измерить, наблюдая фактическое поведение индивида: мы находим, как опи-
сано в гл. 3, ту пропорцию обмена благ, при которой он просто хочет остать-
ся в данной точке кривой безразличия.
Функция полезности и, следовательно, функция предельной полезности
определяются не единственным образом. Любое монотонное преобразова-
ние какой-либо функции полезности даст еще одну, в равной мере кор-
ректную, функцию полезности. Так, например, при умножении полезности
на 2, предельная полезность умножается на 2. Таким образом, значение
функции предельной полезности зависит от выбора функции полезности,
являющегося произвольным. Оно зависит не от одного лишь поведения как
такового, а от функции полезности, используемой для описания этого по-
ведения.
Но отношение предельных полезностей дает величину наблюдаемую, а
именно предельную норму замещения. Отношение предельных полезностей
не зависит от конкретного преобразования выбранной функции полезности.
ПОЛЕЗНОСТЬ_________________________________________85

Посмотрите, что произойдет, если умножить полезность на 2. MRS примет
вид
MRS = -
2М /2
"Двойки" просто сокращаются, и MRS остается без изменений.
То же самое происходит в случае любого монотонного преобразования
функции полезности. Произвести монотонное преобразование означает про-
сто переобозначить кривые безразличия, а в описанном выше расчете MRS
речь идет о движении вдоль данной кривой безразличия. Хотя предельные
полезности в ходе монотонных преобразований и изменяются, отношение
предельных полезностей не зависит от конкретного способа, избранного для
представления предпочтений.

4.6. Полезность регулярных
транспортных поездок
Функции полезности представляют собой в своей основе способы описания
потребительского выбора: если выбран товарный набор X при том, что товар-
ный набор Y является доступным, то X должен обладать большей полезно-
стью, чем Y. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оце-
ночную функцию полезности, которая адекватно описала бы их поведение.
Эта идея получила широкое применение в области экономики транспорта
при изучении поведения потребителей в отношении регулярных транспорт-
ных поездок. В большинстве крупных городов у лиц, совершающих регуляр-
ные транспортные поездки, имеется выбор: пользоваться общественным
транспортом или ездить на работу на машине. Каждую из этих альтернатив
можно рассматривать как набор различных характеристик: времени нахожде-
ния в пути, времени ожидания, наличных издержек, комфорта, удобства и
т.п. Обозначим продолжительность времени нахождения в пути для каждого
рода поездки через jcb продолжительность времени ожидания для каждого
рода поездки через х^ и т.д.
Если (х\, *2> •••> хп) представляет, скажем, значения п различных характе-
ристик автомобильных поездок, a (yi, у^, ..., у„) — значения характеристик
поездок на автобусе, то можно рассмотреть модель, в которой потребитель
принимает решение о том, поехать ли ему на машине или на автобусе, исхо-
дя из предпочтения одного набора указанных характеристик другому.
Говоря более конкретно, предположим, что предпочтения среднего потре-
бителя в отношении указанных характеристик могут быть представлены
функцией полезности вида

где коэффициенты fl\, fa и так далее — неизвестные параметры. Разумеется,
любое монотонное преобразование данной функции полезности не хуже опи-
J36_______________________________________Глава 4

сало бы потребительский выбор, однако с точки зрения статистики, работать
с линейной функцией особенно легко.
Предположим теперь, что перед нами ряд сходных между собой потреби-
телей, которые выбирают, поехать на автомобиле или на автобусе, основыва-
ясь при этом на конкретных данных о продолжительности времени поездок,
об издержках и других характеристиках поездок, с которыми они сталкивают-
ся. В статистике имеются технические приемы, которые можно использовать
для нахождения значений коэффициентов Д, при / = 1,..., п, наиболее подхо-
дящих для наблюдаемой структуры выбора, произведенного данным множе-
ством потребителей. Эти технические приемы статистики позволяют вывести
оценочную функцию полезности для различных способов транспортного пе-
редвижения.
В одном из исследований приводится функция полезности вида1
U(TW, ТТ, С) = -0,1477Ж- 0,0411ТТ - 2,24С, (4.2)
где TW — общее время ходьбы до автобуса или автомобиля или от него,
ТТ — общее время поездки в минутах,
С — общая стоимость поездки в долларах.
С помощью оценочной функции полезности, приведенной в книге
Доменика и МакФаддена, удалось верно описать выбор между автомо-
бильным и автобусным транспортом для 93% домохозяйств взятой автора-
ми выборки.
Коэффициенты при переменных в уравнении (4.2) показывают удельный
вес, приписываемый средним домохозяйством различным характеристикам
регулярных поездок на транспорте, т. е. предельную полезность каждой такой
характеристики. Отношение одного коэффициента к другому показывает пре-
дельную норму замещения одной характеристики другой. Например, отноше-
ние предельной полезности времени ходьбы пешком к предельной полезно-
сти общей продолжительности поездки указывает на то, что средний потре-
битель считает время ходьбы пешком примерно в 3 раза более тягостным,
чем время поездки. Иными словами, потребитель был бы готов затратить 3
дополнительные минуты на поездку, чтобы сэкономить 1 минуту ходьбы
пешком.
Аналогично отношение стоимости поездки к общей продолжительности
поездки указывает на выбор среднего потребителя в отношении этих двух пе-
ременных. В данном обследовании средний пассажир оценивал минуту вре-
мени поездки на транспорте в 0,0411/2,24 = 0,0183 долл. в минуту, что со-
ставляет 1,10$ в час. Для сравнения часовая зарплата среднего пассажира в
1967 г. составила около 2,85$ в час.

1
См. Thomas Domenich и Daniel Mc-Fadden, Urban Travel Demand (North-Holland Publishing
Company, 1975). Процедура оценок в этой книге включает, кроме чисто экономических пере-
менных, описанных нами, также и различные демографические характеристики домохозяйств.
ПОЛЕЗНОСТЬ______________________________._______87

Такие оценочные функции полезности могут быть очень ценны для оп-
ределения того, стоит ли осуществлять какие-либо перемены в системе об-
щественного транспорта. Например, в приведенной выше функции полез-
ности одним из важных факторов, объясняющих, чем руководствуются по-
требители в своем выборе, выступает продолжительность поездки. Городское
управление транспортом могло бы при некоторых затратах увеличить число
автобусов, чтобы сократить эту общую продолжительность поездки. Но по-
служит ли дополнительное число пассажиров оправданием возросших затрат?
Исходя из имеющейся функции полезности и выборки потребителей
можно сделать прогноз относительно того, какие потребители захотят совер-
шать поездки на автомобиле, а какие предпочтут автобус. Это позволит полу-
чить некоторое представление о том, будет ли выручка достаточной для по-
крытия добавочных издержек.
Кроме того, можно использовать предельную норму замещения для полу-
чения представления об оценке каждым потребителем сокращения времени
поездок. Как мы видели выше, согласно исследованию Доменика и МакФад-
дена, средний пассажир в 1967 г. оценивал время поездки по ставке 1,10$ в
час. Иными словами, он готов был заплатить около 37 центов, чтобы сокра-
тить время поездки на 20 минут. Это число дает нам меру выигрыша в долла-
рах от более своевременного предоставления автобусных услуг. Чтобы опре-
делить, стоит ли игра свеч, указанный выигрыш следует сравнить с затратами
на это более своевременное предоставление автобусных услуг. Наличие коли-
чественной меры выигрыша, безусловно, способствует принятию рациональ-
ных решений в области транспортной политики.


Краткие выводы
1. Функция полезности — это просто способ представить ранжирование
предпочтений или выразить его в краткой форме. Численные значения
уровней полезности не имеют внутреннего смысла.
2. Если дана какая-либо функция полезности, то любая функция, являю-
щаяся монотонным преобразованием данной, будет представлять те же
самые предпочтения.
3. Предельную норму замещения MRS можно рассчитать исходя из функции
полезности, воспользовавшись формулой MRS = Ax^/Axi = —Mi/i/Aff/2-

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. В тексте говорится, что возведение в нечетную степень представляет
собой монотонное преобразование. А что можно сказать о возведении в
четную степень? Является ли оно монотонным преобразованием? (Под-
сказка: рассмотрите случай Дм) = и2.)
88_________________________________________Глава 4

2. Какие из указанных преобразований являются монотонными? 1) и = 2v — 13;
2) и = -1/v2; 3) и = 1/v2; 4) и = Inv; 5) и = -«-"; 6) и = v2; 7) и = v2 для
v > 0; 8) и = v2 для v < 0.
3. В тексте утверждается, что в случае монотонных предпочтений
диагональная линия, проходящая через начало координат, пересечет
каждую кривую безразличия в точности один раз. Можете ли вы дать
строгое доказательство этого? (Подсказка: что произошло бы, если бы эта
линия пересекла какую-нибудь кривую безразличия дважды?)
4. Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида
и(х{, х 2 ) = Jx{ + х2 ? Что можно сказать в этом смысле о функции полез-
ности У(ХЬ Х2) = 13*! + 13X2?
5. Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида
M(xbx2) = xj+ .ух7? Является ли функция полезности v(xl,x2) = x^ +
+ 2xijx^ + Х2 монотонным преобразованием функции и(х\, д^)?
6. Рассмотрим функцию полезности м(х,,х 2 ) = ^х{х2 . Предпочтения какого
рода она представляет? Является ли функция v(x 1 ,x 2 ) = xfx 2 монотонным
преобразованием функции и(х\, АЗ)? Является ли функция w(xl,x2) = х^х\
монотонным преобразованием функции M(XI, x2)?
7. Можете ли вы объяснить, почему проведение монотонного преобра-
зования функции полезности не изменяет предельной нормы замещения?

ПРИЛОЖЕНИЕ
Во-первых, проясним, что понимается под "предельной полезностью". Как и во-
обще в экономической теории, слово "предельный" подразумевает всего лишь произ-
водную. Поэтому предельная полезность блага 1 есть всего лишь
"(*l + A*i,x2) - ц(хьх2) ^ ди(х},х2)
ми = lim
3
Дх,-»0 Д"! *1

Обратите внимание на то, что здесь мы применили частную производную, по-
скольку предельная полезность товара 1 подсчитывается при сохранении количества
товара 2 постоянным.
Теперь можно по-иному вывести MRS, чем в тексте, прибегнув для этого к ис-
пользованию дифференциального исчисления. Сделаем это двумя способами: 1) ис-
пользуя дифференциалы, 2) используя неявные функции.
При первом методе рассмотрим такое изменение (dxlt dx2), при котором полез-
ность остается постоянной. Итак, мы хотим, чтобы
ди(х,,х,) 9и(х,,х,)
l2
а*г = О-
du= dxt + '
дх2
dxl
Первый член показывает возрастание полезности в результате малого изменения
fltcj, второй — возрастание полезности в результате малого изменения dx2. Мы хотим
ПОЛЕЗНОСТЬ___________________________________ 89

выбрать эти изменения таким образом, чтобы совокупное изменение полезности du
было равным нулю. Выразим dx^Jdx^ как
dx2 du(xl,x2) I dxl
du(xl,x2) / дх2
dxl

что является просто выведенным с применением математического анализа аналогом
приведенного в тексте уравнения (4.1).
При втором методе представим себе, что кривая безразличия описывается функ-
цией х2(х,). Иначе говоря, для каждого значения х\ функция x2(xt) показывает, сколь-
ко нам нужно х2, чтобы попасть на эту конкретную кривую безразличия. Следова-
тельно, функция х2(х{) должна удовлетворять тождеству
u(xh х2(х{)) = *.
где k — показатель уровня полезности рассматриваемой кривой безразличия.
Можно продифференцировать обе части этого тождества по хь получив


дх2 Эх,
dxl
Заметьте, что х( появляется в этом тождестве в двух местах, так что изменение х{
изменит функцию двояким образом, и следует брать производную в каждой точке, где
появляется jq.
Далее выразим из этого уравнения dx2(xl)/dxl и получим
dx2(x{) du(xl,x2)/dxl
ди(х{,х2)/дх2
dx,
т. е. в точности тот же результат, что и раньше.
Метод использования неявных функций несколько строже, но метод дифферен-
цирования приводит к результату более прямым путем, если только не сделать какой-
то глупой ошибки.
Предположим, что мы проводим монотонное преобразование функции полезно-
сти, скажем, функции v(xb x2) = f(u(xl,x2)). Подсчитаем MRS для данной функции
полезности. Используя цепное правило взятия производной, получим
df/ди ди / dxl
dv/dxl du/dxl
MRS = — —_
dv I дх2 df I ди ди / дх2 ди / дх2

так как член df/ди сокращается в числителе и в знаменателе. Это показывает, что MRS

<< Предыдущая

стр. 3
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>