стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>







Часть I. Финансовый анализ в условиях определенности.



Попова Н.В.



Содержание
Введение.
Методы наращения и дисконтирования денежных сумм. Основные определения и формулы.
Методы наращения по ставке i.
Методы дисконтирования.
Наращение по учетной ставке.
Свойства наращенной суммы долга.
Сравнение методов дисконтирования.
Свойства современной величины суммы погашаемого долга.
Эквивалентность процентных ставок.
Номинальные и эффективные процентные ставки.
Переменные процентные ставки.
Доходность финансовой операции.
Учет налогов и инфляции.
Эквивалентные серии платежей.
Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей.
Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
Определение параметров ренты.
Оценка эффективности инвестиционных проектов. Инвестиции и их виды.
Показатели эффективности инвестиционных проектов.
Свойства и экономическое содержание NPV(i).
Свойства и экономическое содержание внутренней нормы доходности.
Свойства и экономическое содержание срока окупаемости.
Свойства и экономическое содержание индекса доходности.
Сравнение двух инвестиционных проектов.
Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного проекта.
Зависимость показателей эффективности от величины вложенных инвестиций.
Зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования.
Взаимосвязь показателей эффективности.
Зависимость показателей эффективности от NPV(i)  проекта.
Связь срока окупаемости n* и индекса доходности d.
Внутренняя доходность облигации. Временная структура процентных ставок.
Свойства внутренней доходности облигации.
Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения.
Зависимость цены купонной облигации от срока до погашения.
Факторы, влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности.
Дюрация и показатель выпуклости облигации.
Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.
Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.
Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.
Инвестиции в портфель облигаций. Дюрация и показатель выпуклости портфеля.
Меры доходности портфеля.
Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций.
Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.
Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.
Управления портфелем облигаций в стратегии иммунизации.
Формирование иммунизированного портфеля облигаций.
Иммунизация портфеля облигаций при наличии трансакционных расходов.
Простейшие активные и пассивные стратегии управления портфелем облигаций.
Задачи.
Рекомендуемая литература.

Введение.
Первая часть учебника посвящена применению математических методов к изучению специальных разделов финансового анализа в условиях определенности - производственных и финансовых инвестиций. Эта часть учебника написана на основе материалов учебного курса «Математические методы финансового анализа», подготовленного для студентов старших курсов экономико-математического факультета РЭА им. Г.В. Плеханова, уже изучивших ряд разделов высшей математики и только приступающих к изучению финансовых расчетов. Курс и первая часть учебника подготовлены доцентом кафедры высшей математики РЭА Поповой Н.В. Задачами данной части учебника являются приобретение учащимися фундаментальных знаний в области финансовых расчетов и овладение на этой основе практическими навыками анализа инвестиций. Значительная часть материала излагается на основе таких разделов высшей математики, как «Математический анализ», «Исследование операций». При подготовке учебника использована современная отечественная и иностранная литература.
Финансовый анализ в условиях определенности предполагает, что данные для анализа заранее известны и фиксированы. Получение будущих доходов в точно указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным, т.е. отсутствует риск неплатежа. Содержание параграфов 1–5 представляет собой математическую основу финансового анализа в условиях определенности. В связи с этим основное внимание в этих параграфах уделено определению основополагающих понятий и выводу формул. Уметь выводить формулы наращения и дисконтирования денежных сумм необходимо для понимания их механизмов. Необходимо также представлять себе результат применения того или иного метода наращения (дисконтирования) денежной суммы по сравнению с другими методами, а также сферу применения методов. В связи с этим проводится подробный сравнительный анализ методов наращения и дисконтирования. Рассмотрены некоторые важные понятия теории процентных ставок и их приложения, а также потоки платежей, что создает основу для анализа производственных и финансовых инвестиций в условиях определенности.
В параграфах 6, 7 излагаются методы оценки инвестиционных проектов с классической схемой инвестирования. Подробно рассматриваются экономический смысл и свойства показателей эффективности проектов. Изучаются зависимости показателей эффективности от параметров инвестиционного проекта. Последнее представляется особенно важным, поскольку правильная оценка проекта определяется не только значениями показателей эффективности, но и их поведением при изменении параметров проекта. Полезно также представлять себе взаимосвязь показателей эффективности. Кроме того, рассмотрены проблемы сравнения инвестиционных проектов.
Параграфы 8 - 15 посвящены финансовым инвестициям с фиксированными доходами. Подробно изучаются факторы, влияющие на оценку инвестиции в облигацию, такие как временная структура процентных ставок, внутренняя доходность, купонная ставка, дюрация и показатель выпуклости облигации, иммунизирующее свойство дюрации. В этой же части учебника изучаются характеристики портфеля облигаций без кредитного риска, стратегии управления портфелем облигаций. Особое внимание уделяется стратегии иммунизации.
Приводится большое количество примеров решения задач. Содержание задач для самостоятельного решения соответствует теоретическому материалу первой части учебника.
Результатом изучения первой части должно стать не только умение произвести простейшие финансовые расчеты, но и знание математических методов анализа инвестиций в условиях определенности.
1.1. Методы наращения и дисконтирования денежных сумм.
Основные определения и формулы.
Большая часть финансовых сделок связана с предоставлением денег в долг. При этом как правило заемщик платит кредитору проценты за пользование ссудой. Величина процентной ставки определяется балансом спроса и предложения, степенью риска и величиной инфляции. Кроме того, процентная ставка учитывает фактор времени, так как деньги, относящиеся к разным моментам времени, неравноценны. Согласно принципу неравноценности денег во времени, современные деньги ценнее будущих. В данном параграфе рассматриваются методы наращения и дисконтирования денежных сумм при однократном предоставлении денег в долг.
Будем использовать следующие обозначения:
t = 0 - момент предоставления денег в долг (настоящий момент времени);
T или n - срок долга;
Pt - сумма, предоставленная в долг в момент времени t ;
P0 - сумма, предоставленная в долг в момент времени t = 0;
St - сумма погашаемого долга в момент t ;
i - процентная ставка (наращения);
d - учетная ставка.
Предоставление денег в долг как правило связано с одной из двух операций - наращения или дисконтирования денежной суммы.
Операция наращения применяется тогда, когда заданы сумма первоначального долга P0, процентная ставка и срок долга T. Требуется найти сумму погашаемого долга ST.
Определение. Процесс увеличения суммы долга в связи с присоединением к нему начисленных процентов называется наращением суммы первоначального долга.
Найденную наращением сумму погашаемого долга называют наращенной суммой долга.
Операция дисконтирования применяется тогда, когда заданы сумма погашаемого долга ST, которую следует уплатить через время T, а также процентная ставка. Требуется найти сумму первоначального долга P0. В этом случае говорят, что сумма ST дисконтируется или учитывается.
Определение. Процесс уменьшения суммы погашаемого долга в связи с начислением и удержанием процентов называется дисконтированием или учетом погашаемого долга, а сами начисленные и удержанные проценты называются дисконтом.
Найденную дисконтированием сумму первоначального долга P0 называют современной или приведенной к моменту t = 0 величиной погашаемого долга ST. Таким образом, современная величина суммы ST , подлежащей выплате через время T, это сумма денег P0 , которая, будучи вложенной в момент t = 0, через время T даст сумму ST.
Определение. Проценты, или процентные деньги, - это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг на время T.
Если доход определяется операцией наращения, то проценты вычисляют по формуле
I(T) = ST – P0. (1.1)
Если доход определяется операцией дисконтирования, то проценты называют дисконтом и вычисляют по формуле
D(T) = ST – P0. (1.2)
В финансовой математике различают два вида ставок начисления процентов: процентная ставка и учетная ставка. Пусть t* - фиксированный отрезок времени (например: 1 месяц, 6 месяцев, 1 год), P0 - сумма, предоставленная в долг в момент t = 0 на время t* , - сумма погашаемого долга в момент t* .
Определение. Процентная ставка i за период t* - это отношение дохода за время t* к сумме вложенных средств:
i = (1.3)
Определение. Учетная ставка d за период t* - это отношение дохода за время t* к сумме погашаемого долга:
d = (1.4)
Обе ставки выражаются в процентах или десятичных дробях.
Определение. Отрезок времени t*, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления процентов.
В операции наращения период начисления процентов называют также периодом наращения. В операции дисконтирования период начисления процентов называют также периодом дисконтирования.
В зависимости от выбранного отрезка t* процентную ставку называют ежемесячной, полугодовой, годовой и т.д. При этом подразумевается однократное начисление процентов по этой ставке за период. Чаще всего применяется годовая процентная ставка.
Определение. Число n = называется числом периодов начисления процентов в сроке долга T .
Если срок долга измеряется в числе периодов начисления процентов n, то отрезок t*, т.е. один период начисления процентов, принимается за единицу измерения времени, а ставки i и d называют процентными ставками за единицу времени. При этом сумма погашаемого долга обозначается через Sn. В этих обозначениях
i = (1.5)
d = . (1.6)
Формулы (1.5), (1.6) (как и (1.3), (1.4)) означают существование двух принципов расчета процентов. Рассмотрим инвестирование суммы P0 в момент t = 0 на один период. Как следует из (1.5), в момент t = 1, т.е. в конце периода, инвестору будет возвращена сумма S1 = P0 + iP0. При этом сумма iP0 , выплачиваемая в момент t = 1, это проценты I(1) = S1 – P0 = iP0 за время [0, 1] на заем величиной P0 в момент t = 0. Таким образом, проценты по ставке i начисляются на сумму первоначального долга P0 в момент t = 1.
Согласно (1.6), в обмен на возврат суммы S1 в момент t = 1 инвестор даст взаймы сумму P0 = S1 – dS1. В этом случае проценты по ставке d начисляются в начальный момент времени t = 0 на сумму погашаемого долга S1. Сумма P0 может рассматриваться как заем суммы S1, возвращаемой через единицу времени, при котором проценты величиной dS1 выплачиваются заранее, в момент t = 0, и составляют доход кредитора D(1) = S1 – P0 = dS1 за время [0, 1].
Таким образом, проценты по ставке i начисляются в конце периода начисления процентов, а проценты по учетной ставке d - в начале периода начисления процентов.
Проценты различают по базе для их начисления.
Определение. Процентная ставка называется простой, если на каждом периоде база для начисления процентов является постоянной.
Определение. Процентная ставка называется сложной, если на каждом периоде базой для начисления процентов является сумма, полученная на предыдущем периоде наращения или дисконтирования.
Методы наращения по ставке i.
Рассмотрим задачу. На банковский счет размещена сумма P0 под годовую ставку i без промежуточных выплат на счет или со счета. Какова будет сумма вклада через n лет?
1) Наращение по простой ставке i.
Здесь t = 0 - момент размещения суммы P0 на банковский счет. Единица измерения времени - 1 год. Как следует из (1.5), проценты за первый год вклада равны I1 = iP0. Согласно определению простой процентной ставки, проценты за каждый год вклада одинаковы и равны
I1 = I2 = … = In = iP0. (1.7)
Накопленные проценты за весь срок вклада n лет составят
I(n) = I1 + I2 + … + In = niP0. (1.8)
Тогда наращенная сумма вклада через n лет станет равной
Sn = P0 + I(n).
Отсюда
Sn = P0 (1 + in). (1.9)
Таким образом, если через n лет счет закрывается, то инвестору выплачивается сумма P0(1 + in). Этот платеж состоит из возврата исходного вложения P0 и процентов I(n) = niP0. (1.9) - формула наращенной суммы долга по простой процентной ставке i в течение n периодов. I1, I2 ,…, In – проценты за каждый период (единицу времени). В формуле (1.9) n необязательно целое. Нормальная коммерческая практика по отношению к дробным периодам года заключается в платеже процентов на пропорциональной основе. Это позволяет рассматривать выражения (1.8) и (1.9) как применимые ко всем неотрицательным значениям n. Формулой (1.9) обычно пользуются, если срок долга меньше года. Если i - годовая ставка, t - число дней в сроке долга, то n = , где K – число дней в году (временная база). Правила выбора временной базы и подсчета числа дней в сроке долга подробно рассмотрены в литературе, например [1,2,5].
Как следует из равенств (1.7), особенностью простых процентов является то, что проценты, будучи зачисленными на счет, сами по себе не зарабатывают дальнейших процентов.
Пример 1.1. В конце третьего квартала сумма вклада стала равной 180 д.е. Найти величину годовой процентной ставки, по которой начислялись проценты в сумме 5 д.е. за каждый квартал.
Так как проценты начисляются в конце каждого квартала, то за единицу измерения времени можно принять 1 квартал. Тогда в конце каждого квартала проценты начисляются по квартальной процентной ставке , где i - годовая процентная ставка. Срок вклада n = 3 квартала (единицы времени). Наращенная сумма вклада Sn = 180 д.е. Проценты за каждый квартал (единицу времени) составляют I1 = I2 = I3 = 5 = I. Следовательно, для наращения вклада применяется простая процентная ставка. Проценты за весь срок вклада I(n) = nI = 15 д.е. Так как Sn = P0 + I(n), то сумма первоначального вклада P0 = Sn – I(n) = 165 д.е. Поскольку I = , то годовая процентная ставка по вкладу i .
Замечание. Пользуясь только условиями задачи, найти сумму вклада в конце второго квартала. Полученный ответ проверить по формуле (1.9).
2) Наращение по сложной ставке i.
Будем считать, что в момент t = 0 сумма P0 размещена на банковский счет под сложную годовую процентную ставку. Согласно определению сложной процентной ставки, базой для начисления процентов на каждом периоде является сумма, полученная на предыдущем периоде наращения. Следовательно, проценты за каждый год вклада составляют: I1 = iP0 , I2 = iS1, …, In–1 = iSn–2, In = iSn–1, где S1, …, Sn–2, Sn–1 - суммы вклада в конце соответствующего периода наращения. Очевидно, что
S1 = P0 + I1,…, Sn–1 = Sn–2 + In–1, Sn = Sn–1 + In. (1.10)
Рассмотрим выражения для процентов:
I1 = iP0,
I2 = iS1 = i(P0 + I1) = iP0 + iI1 = I1 + iI1 = I1(1 + i),
………..
In = iSn–1 = i(Sn–2 + In–1) = iSn–2 + iIn–1 = In–1 + iIn–1 = In–1(1 + i).
Таким образом,
I2 = I1(1 + i),
……….. (1.11)
In = In–1(1 + i).
Следовательно, I1, I2, … , In - члены геометрической прогрессии с первым членом I1 и знаменателем (1 + i). Проценты за весь срок вклада составляют I(n) = I1 + I2 + … + In. По формуле суммы n членов геометрической прогрессии находим
I(n) = I1 . (1.12)
Наращенная сумма вклада через n лет станет равной Sn = P0 + I(n). Отсюда
Sn = P0(1 + i)n. (1.13)
Если инвестор закроет свой счет через n лет, он получит сумму P0(1 + i)n. Этот платеж состоит из возврата исходного вклада P0 вместе с накопленными процентами (1.12). (1.13) - формула наращенной суммы долга при начислении сложных процентов по ставке i в течение n периодов. I1, I2,…, In - проценты за каждый период (единицу времени). Выражение (1.13) остается верным для всех неотрицательных значений n.
Как видим из (1.11), особенностью сложных процентов является то, что проценты сами зарабатывают проценты. Вследствие этого влияние сложных процентов на накопление на счете может быть очень значительным, особенно если длительность счета или процентная ставка велики.
Пример 1.2. Какова сумма первоначального вклада, размещенного под сложную процентную ставку, если проценты за первый и второй годы соответственно составили 20 и 21,6 д.е.?
Используем полученные соотношения для сложных процентов. Если единицей измерения времени является 1 год, то I1 = 20 д.е., I2 = 21,6 д.е., I2 = I1(1 + i), где i - годовая процентная ставка. Отсюда i = 0,08. Так как I1 = iP0, то сумма первоначального вклада P0 = 250 д.е.
Замечание. Сделать проверку, вычислив I2 по определению. Найти I5 , I7, S5, S7. Как они называются?
3) Наращение суммы вклада по номинальной ставке.
Если сложные проценты начисляются не один, а m раз в году, то годовую процентную ставку называют номинальной и обозначают через i(m). Общее определениие номинальной процентной ставки будет рассмотрено позже. В случае начисления процентов m раз в году годовую номинальную процентную ставку можно определить следующим образом.
Определение. Годовая процентная ставка i(m) называется номинальной, если для начисления сложных процентов за часть года применяется ставка .
Таким образом, если сложные проценты начисляются через равные промежутки времени m раз в году, то в конце каждого периода длиной проценты начисляются по ставке . Если срок долга n лет, то mn - число периодов применения ставки в сроке долга. Из формулы (1.13) получаем
, (1.14)
где m ? 1. Если m = 1, то i(1) = i, т.е. номинальная ставка совпадает с годовой ставкой сложных процентов, применяемой раз в году. (1.14) – формула наращенной суммы долга по номинальной ставке i(m) при начислении сложных процентов m раз в году в течение n лет.
4) Непрерывное начисление сложных процентов.
Непрерывное начисление процентов - это начисление процентов за бесконечно малые отрезки времени, т.е. при > 0 (или при m > ?). При непрерывном начислении сложных процентов, когда m > ?, годовую номинальную процентную ставку обозначают через ? и называют силой роста или интенсивностью процентов, а также непрерывной процентной ставкой. Таким образом, процентная ставка при непрерывном начислении процентов ? - это годовая номинальная процентная ставка при начислении процентов за бесконечно малые отрезки времени.
Перейдем к пределу при m > ? в выражении (1.14), учитывая, что при m > ? годовую номинальную процентную ставку обозначают через ?:
.
Таким образом,
Sn = P0 en ?. (1.15)
(1.15) – формула наращенной суммы долга при постоянной интенсивности процентов в единицу времени ? в течение n периодов. Хотя это математическая идеализация реальности, процессы начисления процентов часто бывает удобно рассматривать как непрерывные.
Пример 1.3. Сравнить сроки удвоения суммы 1000 д.е. при начислении сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 0,1 а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) непрерывно.
Согласно условию, P0 = 1000 д.е., = 2, а) m = 2, i(2) = 0,1; б) m = 4, i(4) = 0,1; в) m > ?, ? = 0,1. Из формул (1.14) и (1.15) получаем n = для случаев а), б) и в случае в) n = .
Отсюда находим, что первоначальная сумма 1000 д.е. вырастет до 2000 д.е. за а) 7,103 года или 7 лет и 38 дней; б) 7,018 года или 7 лет и 6 дней; в) 6,931 года или 6 лет и 340 дней. Как видим, с увеличением частоты начисления процентов в году срок удвоения суммы уменьшается.
Итак, в зависимости от способа применения процентной ставки i имеем четыре метода наращения суммы долга по этой ставке: по простой (1.9), сложной (1.13), номинальной (1.14), при постоянной интенсивности процентов в единицу времени (или по постоянной силе роста) (1.15). Методы наращения по учетной ставке d будут рассмотрены позже.
Методы дисконтирования.
В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования.
Математическое дисконтирование – формальное решение задачи, обратной задаче о наращении суммы долга. Сформулируем эту задачу в общем виде. Какую сумму P0 необходимо выдать в долг в момент t = 0, чтобы при начислении на эту сумму процентов по ставке i за единицу времени в течение n периодов получить подлежащую выплате в конце срок долга n сумму Sn ? В зависимости от способа применения процентной ставки i из формул (1.9), (1.13), (1.14), (1.15) получаем
, (1.16)
, (1.17)
, (1.18)
. (1.19)
(1.16) – (1.19) – формулы современной величины суммы Sn при математическом ее учете по ставке i простыми процентами (1.16), сложными (1.17), по номинальной ставке (1.18), по постоянной силе роста (1.19) в течение n периодов.
Коммерческий (банковский) учет. Сформулируем задачу банковского дисконтирования. По заданной сумме Sn, которая будет выплачена через время n, требуется определить сумму займа P0 в настоящий момент, при котором проценты за пользование ссудой выплачиваются заранее, в момент предоставления денег в долг t = 0. Для начисления и удержания процентов применяется учетная ставка d .
1) Простая ставка дисконтирования d.
Имеем: t = n – момент погашения суммы Sn. Согласно определению учетной ставки (1.6), сумма, которую необходимо выдать в долг в момент t = n – 1, за единицу времени до погашения суммы Sn, есть
Pn-1 = Sn – dSn.
Тогда величина дисконта за последний, n – й, период дисконтирования равна Dn = dSn. Так как d - простая учетная ставка, то суммы дисконта за каждый период дисконтирования одинаковы и равны
Dn = Dn – 1 = … = D1 = dSn.
Величина дисконта за весь срок долга n составляет
D(n) = Dn + Dn – 1 + … + D1 = ndSn.
Согласно (1.2),
D(n) = Sn – P0.
Тогда
P0 = Sn (1 – nd ). (1.20)
(1.20) – формула современной величины суммы Sn при банковском ее учете простыми дисконтами по ставке d в течение n периодов. Суммы Dn, Dn – 1, … , D1 - дисконты за каждый период (единицу времени). Выражение (1.20) означает, что в обмен на выплату суммы Sn через время n кредитор даст взаймы сумму Sn(1– nd) в начале этого срока. Заметим, что формула (1.20) справедлива, если срок долга n и учетная ставка d удовлетворяют условию nd < 1. Дисконтирование по простой учетной ставке применяют, как правило, в случае краткосрочных сделок, когда 0 < n ? 1 и 0 < d < 1.
Пример 1.4. Вексель, погашаемый 1 января 2002 года, учтен за 10 месяцев до его погашения на сумму 180 д.е. Какова величина годовой учетной ставки, если ежемесячный дисконт составляет 2 д.е.?
Так как проценты удерживаются за каждый месяц, то за единицу измерения времени можно принять 1 месяц. Тогда в начале каждого месяца проценты начисляются по ежемесячной учетной ставке , где d - годовая учетная ставка. Срок погашения векселя n = 10 единиц времени. Сумма P0 = 180 – приведенная (к моменту учета векселя t = 0) величина суммы Sn, погашаемой по векселю. Дисконты за каждый период (единицу времени) составляют D10 = D9 = … = D1 = 2 = D. Следовательно, вексель учтен по простой учетной ставке. Размер дисконта за весь срок D(n) = nD. Так как P0 = Sn – nD, то сумма, погашаемая по векселю, Sn = 200 д.е. Поскольку D = Sn, то годовая учетная ставка d = 0,12.
Замечание. Найти P9, P7, P3, D(3), D(7). Как они называются? Каков смысл этих сумм ?
2) Сложная ставка дисконтирования d.
Согласно определению сложной процентной ставки, базой для начисления процентов на каждом периоде является сумма, полученная на предыдущем периоде дисконтирования. Так как для начисления процентов применяется учетная ставка d, то проценты начисляются в начале каждого периода. Рассмотрим процесс дисконтирования суммы Sn по периодам, начиная с n - го. Такой порядок рассмотрения периодов означает, что n - й период дисконтирования является предыдущим по отношению к (n – 1) - му, (n – 1) - й период является предыдущим по отношению к (n – 2) - му и т. д.
Сумма, которую необходимо выдать в долг в момент t = n – 1, т.е. за единицу времени до погашения суммы Sn , есть
Pn – 1 = Sn – D(1) = Sn – Dn.
Pn– 1 - приведенная к моменту t = n – 1 величина суммы Sn. D(1) - величина дисконта за один, n – й, период, D(1) = Dn = dSn. Так как Pn – 1 - это сумма, полученная на n - м периоде дисконтирования, то величина дисконта на (n – 1) - м периоде дисконтирования равна Dn - 1 = dPn – 1.
Сумма, которую необходимо выдать в долг в момент t = n – 2, за два периода до погашения суммы Sn, есть:
Pn – 2 = Sn – D(2) = Sn – Dn – Dn – 1 = Pn – 1 – Dn – 1.
Pn–2 - приведенная к моменту t = n – 2 величина суммы Sn. D(2) - величина
дисконта за 2 периода, n - й и (n – 1) - й, D(2) = Dn + Dn – 1. Так как Pn–2 - это сумма, полученная на (n – 1) - м периоде дисконтирования, то величина дисконта на (n – 2) - м периоде составляет Dn - 2 = dPn – 2. И так далее.
Приведенная к моменту t = 0 величина суммы Sn - это сумма P0, которую необходимо выдать в долг в момент t = 0 за n периодов до погашения суммы Sn:
P0 = Sn – D(n),
где D(n) - величина дисконта за весь срок долга. Найдем D(n). Имеем:
Dn = dSn ,
Dn - 1 = dPn – 1 = d(Sn – Dn) = dSn – dDn = Dn – dDn = Dn(1 – d),
Dn - 2 = dPn – 2 = d(Pn – 1 – Dn – 1) = dPn – 1 – dDn – 1 =
= Dn – 1 – dDn – 1 = Dn – 1(1 – d),
……..
D1 = dP1 = d(P2 – D2) = dP2 – dD2 = D2 – dD2 = D2(1 – d).
Таким образом,
Dn – 1 = Dn(1 – d),
Dn – 2 = Dn – 1(1 – d),
………
D1 = D2(1 – d).
Следовательно, Dn, Dn–1, … ,D1 - члены геометрической прогрессии с первым членом Dn и знаменателем (1 – d). Величина дисконта за весь срок долга n составляет
D(n) = Dn + Dn – 1 + … + D1.
По формуле суммы n членов геометрической прогрессии получаем
D(n) = Dn .
Так как P0 = Sn – D(n), то
P0 = Sn(1 – d)n. (1.21)
(1.21) – формула современной величины суммы Sn при банковском ее учете сложными процентами по учетной ставке d в течение n периодов.
Пример 1.5. Государственная облигация учтена за пять лет до погашения. Какова сумма, погашаемая по облигации, если дисконты за последний и предпоследний годы до погашения составили соответственно 2000 и 1600 д.е. ?
Используем полученные соотношения для сложных дисконтов. Если единицей измерения времени является 1 год, то срок долга n = 5 лет, D4 = 1600 д.е., D5 = 2000 д.е., D4 = D5(1 – d), где d - годовая учетная ставка. Отсюда d = 0,2. Так как D5 = dS5, то погашаемая сумма S5 = 10000 д.е.
Замечание. Проверить этот ответ, вычислив D4 по определению. Найти P4, P3, P2, D(2), D(3), D(4). Каков смысл этих сумм? За какую сумму облигация была продана за пять лет до погашения?
3) Дисконтирование по номинальной учетной ставке.
Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится не один, а m раз в году, то годовую учетную ставку называют номинальной и обозначают через d(m).
Определение. Годовая учетная ставка d(m) называется номинальной, если для дисконтирования в течение части года применяется сложная учетная ставка .
Таким образом, если дисконтирование по сложной учетной ставке производится через равные промежутки времени m раз в году, то в начале каждого периода длиной начисляются и удерживаются проценты по ставке . Если срок долга n лет, то mn - число периодов применения ставки в сроке долга. Из формулы (1.21) получаем
, (1.22)
где m ? 1. Если m = 1, то d(1) = d, т.е. номинальная учетная ставка совпадает с годовой учетной ставкой сложных процентов, применяемой раз в году. (1.22) – формула учета суммы Sn при m-разовом дисконтировании в году по номинальной учетной ставке d(m) в течение n лет.
4) Непрерывное дисконтирование по сложной учетной ставке.
Непрерывное дисконтирование - это дисконтирование на бесконечно малых отрезках времени, т.е. при > 0 (или при m > ?). Так как при непрерывном начислении процентов начало и конец периода начисления процентов совпадают, то номинальные процентные ставки i(m) и d(m) при m > ? перестают различаться. Поэтому при m > ? пользуются одной процентной ставкой - силой роста ?. Тогда при непрерывном дисконтировании справедлива формула (1.19):
.
Пример 1.6. 10 тыс. д.е. должны быть возвращены через 5 лет. Сравнить современные величины этого долга при его дисконтировании по годовой номинальной учетной ставке 0,12 а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) непрерывно.
Согласно условию, n = 5, S5 = 10 000, а) m = 2, d(2) = 0,12; б) m = 4, d(4) = 0,12; в) m > ?, ? = 0,12. Из формул (1.22) и (1.19) получаем:
для случаев а) и б) и в случае в).
Отсюда современная величина суммы 10 тыс. д.е., срок погашения которой через 5 лет, при ее дисконтировании по годовой номинальной учетной ставке в зависимости от m составляет а) 5386,15 д.е.; б) 5437,94 д.е.; в) 5488,12 д.е. Как видим, с увеличением m современная стоимость суммы 10 000 д.е. увеличивается.
Итак, в зависимости от способа применения учетной ставки d имеем четыре метода дисконтирования суммы долга Sn по этой ставке: по простой (1.20),сложной (1.21), номинальной (1.22), по постоянной силе роста (1.19).
Наращение по учетной ставке.
Если решается задача, обратная банковскому дисконтированию, то для нахождения суммы погашаемого долга пользуются учетной ставкой. Например, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Из формул (1.20), (1.21), (1.22), находим
, (1.23)
, (1.24)
. (1.25)
При непрерывном наращении по сложной учетной ставке справедлива формула (1.15) (при m > ? номинальные процентные ставки i(m) и d(m) перестают различаться).
Сравнение методов наращения.
Все рассмотренные методы наращения приведены в таблице.
Метод наращения
Формула
Множитель наращения
По простой процентной ставке i


По сложной процентной ставке i


По номинальной процентной ставке i(m)


По постоянной силе роста ?


По номинальной учетной ставке d(m)


По сложной учетной ставке d

стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>