<< Предыдущая

стр. 2
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



По простой учетной ставке d



Определение. Число, показывающее во сколько раз наращенная сумма долга больше первоначальной, называется множителем наращения (или множителем накопления).
Экономический смысл множителя наращения заключается в следующем. Если срок долга n единиц времени, то множитель наращения показывает накопленную к моменту n будующую стоимость 1 д.е., вложенной в момент t = 0 на срок n. Очевидно, что множитель наращения больше 1. Интенсивность процесса наращения определяется множителем наращения. Сравнивая эти множители для каждого значения срока n, считая равными процентные ставки за 1 времени, можно сравнить темпы наращения по различным ставкам. Для этого рассмотрим отношения множителей наращения. Используем формулу разложения в степенной ряд функции
.
Сравним темпы наращения по номинальной и простой процентным ставкам:

. (1.26)
Отсюда сразу получаем отношение множителей наращения по сложной (m = 1) и простой процентным ставкам:
. (1.27)
Сравним темпы наращения по номинальной процентной ставке в зависимости от m. Пусть 1 ? m1 < m2. Тогда

(1.28)
для любого срока n. Следовательно, чем больше m, тем быстрее наращение по номинальной процентной ставке i(m). Самое быстрое наращение по номинальной процентной ставке производится по постоянной силе роста ?, когда m > ?, а самое медленное наращение соответствует значению m = 1 (наращение по сложной процентной ставке).
Таким образом, имеем следующие соотношения множителей наращения по ставке i в зависимости от срока n:
;
; (1.29)
.
На рис. 1.1.1 показаны кривые наращения, соответствующие четырем методам наращения суммы долга по ставке i.
Рис.1.1.1.

Рассмотрим сравнение темпов наращения по учетной ставке. Сравним множители наращения по простой и номинальной учетным ставкам :

. (1.30)
Отсюда получаем отношение множителей наращения по простой и сложной (m = 1) учетным ставкам:
. (1.31)
Сравним темпы наращения по номинальной учетной ставке в зависимости от m. Пусть 1 ? m1 < m2. Тогда

(1.32)
для любого срока n. Следовательно, чем больше m, тем медленнее наращение по номинальной учетной ставке d(m). Самое медленное наращение по номинальной учетной ставке производится по постоянной силе роста ? , когда m > ?, а самое быстрое наращение соответствует значению m = 1 (наращение по сложной учетной ставке).
Таким образом, имеем следующие соотношения множителей наращения по учетной ставке в зависимости от срока n:
;
; (1.33)
;
.
На рис.1.1.2 показаны кривые наращения, соответствующие четырем методам наращения суммы долга по учетной ставке.
Рис. 1.1.2
Из неравенств (1.29) и (1.33) следует, что при заданном значении срока долга n наращение суммы долга по любой учетной ставке происходит быстрее наращения долга по любой из ставок i.
Свойства наращенной суммы долга.
1. Чем больше срок долга, тем больше наращенная сумма долга Sn.
Действительно, (Sn)/n > 0 для любой процентной ставки.
2. Чем больше процентная ставка, тем быстрее идёт процесс наращения.
Действительно, (Sn)/процентная ставка > 0 для любого метода наращения.
3. С увеличением m процесс наращения по номинальной процентной ставке i(m) ускоряется, а по номинальной учетной ставке d(m) замедляется.
Сравнение методов дисконтирования.
Все полученные методы дисконтирования показаны в таблице.
Метод дисконтирования
Формула
Дисконтный множитель
По простой учетной ставке d


По сложной учетной ставке d


По номинальной учетной ставке d(m)


По постоянной силе роста ?


По номинальной процентной ставке i(m)


По сложной процентной ставке i


По простой процентной ставке i


Определение. Число, показывающее какую долю от суммы погашаемого долга составляет его современная величина, называется дисконтным множителем.
Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем. Если срок долга n единиц времени, то дисконтный множитель - это современная стоимость 1 д.е., подлежащей выплате через время n. Очевидно, что дисконтный множитель меньше 1. Интенсивность процесса дисконтирования определяется дисконтным множителем. Сравнивая эти множители для каждого значения срока n, считая равными процентные ставки за 1 времени, можно сравнить темпы дисконтирования по различным процентным ставкам. При сравнении методов дисконтирования следует учесть, что отношение дисконтных множителей обратно отношению множителей наращения. Это значит, что неравенства (1.26) – (1.28), (1.30) – (1.32) можно рассматривать как отношения соответствующих дисконтных множителей. Если неравенство (1.28) рассматривать как отношение дисконтных множителей для различных значений m при дисконтировании по номинальной процентной ставке i(m), то приходим к следующему выводу. Чем больше m, тем меньше современная величина суммы погашаемого долга, т.е. тем быстрее дисконтирование по номинальной процентной ставке i(m). Самое быстрое дисконтирование соответствует m > ? (дисконтирование при постоянной интенсивности процентов в единицу времени ?), самое медленное - дисконтирование по сложной процентной ставке (m = 1).
Из неравенств (1.29) получаем соотношения дисконтных множителей при математическом дисконтировании:
;
; (1.34)
.
На рис. 1.1.3 показаны дисконтные кривые, соответствующие четырем методам математического дисконтирования:
Рис. 1.1.3
Если неравенство (1.32) рассматривать как отношение дисконтных множителей для различных значений m при дисконтировании по номинальной учетной ставке d(m), то приходим к следующему выводу. Чем больше m, тем больше современная величина суммы погашаемого долга, т.е. тем медленнее дисконтирование по номинальной учетной ставке d(m). Самое медленное дисконтирование по номинальной учетной ставке соответствует m > ? (дисконтирование при постоянной интенсивности процентов ?), самое быстрое дисконтирование соответствует наименьшему значению m = 1 (дисконтирование по сложной учетной ставке).
Из неравенств (1.33) получаем соотношения дисконтных множителей при банковском учете:
;
; (1.35)
;
.
На рис. 1.1.4 показаны дисконтные кривые, соответствующие четырем методам банковского дисконтирования:
Рис. 1.1.4
Из неравенств (1.34) и (1.35) следует, что при любом сроке долга n дисконтирование по любой учетной ставке происходит быстрее дисконтирования по любой из ставок i. Это означает, что метод банковского учета для заданного срока долга даст меньшее значение современной стоимости суммы погашаемого долга, чем любой из методов математического дисконтирования.
Свойства современной величины суммы погашаемого долга.
1. Чем больше срок долга n, тем меньше современная величина P0 суммы погашаемого долга Sn.
Действительно, (P0)/n < 0 для любого метода дисконтирования.
2. Чем больше процентная ставка, тем сильнее дисконтирование.
Действительно, (P0)/процентная ставка < 0 для любого метода дисконтирования.
3. С увеличением m процесс дисконтирования по номинальной процентной ставке i(m) ускоряется, а по номинальной учетной ставке d(m) замедляется.
Из свойств наращенной суммы долга и современной величины суммы погашаемого долга следует, что кредитору выгоднее работать с учетной ставкой, а заемщику – с процентной ставкой i .
Рассмотрим некоторые важные понятия, связанные с операциями наращения и дисконтирования суммы долга.
Эквивалентность процентных ставок.
Определение. Процентные ставки различного вида, приводящие к одному и тому же финансовому результату за один и тот же срок, называются эквивалентными.
Равенство финансовых результатов означает то, что три величины - сумма первоначального долга P0, погашаемого долга Sn и срок долга n являются постоянными и безразлично, какой метод наращения (или дисконтирования) будет использован в операции. При этом замена одного вида процентной ставки на другой не изменяет финансовых отношений сторон в операции. Соотношения эквивалентности можно получить для любых процентных ставок, приравнивая соответствующие множители наращения или дисконтные множители.
Пример 1.7. Какой простой процентной ставкой можно заменить годовую учетную ставку 15 % при учете векселя за 100 дней до погашения (временная база для процентной ставки 365 дней, для учетной - 360 дней)?
Если P0 - сумма, выданная при учете векселя, а Sn - сумма, погашаемая по векселю, то Sn можно рассматривать, как результат наращения суммы P0 в течение 100 дней как по ставке i, так и по ставке d = 0,15. Тогда
,
откуда находим i = 0,158696 или 15,87 % годовых.
Замечание. Объяснить, почему i > d.
Интенсивность процентов в единицу времени ? удобно использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Используя соотношения эквивалентности, можно перейти от непрерывного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на практике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной процентных ставок. Для эквивалентных сложных процентных ставок ?, i и d имеем:
. (1.36)
Отсюда
, ; (1.37)
, . (1.38)
Пример 1.8. Определить: а) эквивалентную сложную процентную ставку по банковскому вкладу сроком на 5 лет, если банк рассчитывает ее, исходя из постоянной годовой интенсивности процентов 0,07; б) эквивалентную сложную учетную ставку при учете в банке долгового обязательства за 3 года до погашения, если банк исходит из постоянной интенсивности процентов год 0,07.
Здесь ? = 0,07. Находим: а) = 0,072508 или 7,25 % годовых; б) = 0,067606 или 6,76 % годовых.
Замечание. Объяснить, почему i > ? > d.
Равенство (1.36), кроме соотношений (1.37) и (1.38), позволяет сделать еще один полезный вывод об эквивалентных сложных процентных ставках ?, i и d . Из (1.36) имеем :
,
а также
.
Если сумму d отнести к моменту t = 0, сумму i – к моменту t = 1, а сумма ? выплачивается непрерывно с постоянной скоростью на временном отрезке [0,1] (каждую из этих сумм можно рассматривать как проценты за время [0,1] на заем 1 д.е., произведенный в момент t = 0), то последние равенства можно интерпретировать следующим образом. Наращение суммы d по любой из трех эквивалентных ставок в течение 1 единицы времени даст сумму i. В свою очередь, дисконтирование суммы i по любой из трех эквивалентных ставок в течение 1 единицы времени даст сумму d.
Рассмотрим эквивалентность непрерывной ? и номинальных процентных ставок i(m) и d(m) .
Пример 1.9. При условии, что S10 = 2P0, найти
а) i, i(4) , i(12) , i(52) , i(365) , ?;
б) d, d(4) , d(12) , d(52) , d(365) , ?.
а) Имеем и , срок долга 10 лет. Отсюда
и .
Составим таблицу значений эквивалентных номинальных процентных ставок:
m
1
4
12
52
365

i (m)
0,071773
0,069918
0,069515
0,069361
0,069321
? = 0,069315

б) Имеем и . Отсюда
и .
Составим таблицу значений эквивалентных номинальных учетных ставок:

m
1
4
12
52
365

d(m)
0,066967
0,068718
0,069115
0,069268
0,069308
? = 0,069315
Из таблиц видим, что с увеличением m значения i(m) приближаются к значению ? сверху, а значения d(m) приближаются к значению ? снизу.
Докажем, что последовательности эквивалентных процентных ставок и сходятся к ?, причем сверху, а снизу.
Так как номинальные процентные ставки i(m), d(p), ? эквивалентны, то:
.
Отсюда
, .
Тогда
.
Аналогично находим . Таким образом, .
Покажем монотонность последовательностей и (см. пример 1.9). Так как для любого x, то

, если ? мало. Аналогично,

, если мало.
Отсюда получаем

и
..
Значит, последовательность является убывающей, а последовательность - возрастающей. Таким образом, эквивалентные номинальные процентные ставки i(m), d(p), ? обладают следующим свойством: последовательность эквивалентных номинальных процентных ставок сверху, а последовательность эквивалентных номинальных учетных ставок снизу.
В соотношениях эквивалентности часто пользуются приближенными формулами, если одна из процентных ставок мала. Для этого применяют следующие разложения:
для любого x,
, ,
.
Тогда, например


Если i мало, то
; .
Аналогично, если ? мало, то
и .
Оценить погрешность приближенных равенств можно, оценивая сумму отброшенных членов соответствующего ряда. Это показано в следующем примере.
Пример 1.10. Оценить погрешность приближенного равенства
.
Так как
,
то задача сводится к оценке суммы остатка ряда:
.
Просуммировав бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в скобках, получим . Если ? = 0,1, то R2 < 0,00017. Это значит, что равенство является приближенным с точностью до 0,00017. Если ? = 0,2, то R2 < 0,0014. Погрешность возросла.
Номинальные и эффективные процентные ставки.
В предыдущих разделах рассматривались годовые номинальные процентные ставки. В этом разделе приводится общее определение номинальной процентной ставки. Оно связано с понятием эффективной процентной ставки.
Определение. Эффективная процентная ставка за период h единиц времени, начинающийся в момент времени t - это отношение дохода за время h к сумме вложенных средств в начале этого периода.
Если в момент времени t инвестирована сумма Pt , а через время h получена сумма St + h, то согласно определению,
.
Отсюда
. (1.39)
Если h = 1, то эффективная процентная ставка за единицу времени ief (t) совпадает с процентной ставкой i(t) за единицу времени в момент t.
Например, сложные проценты начисляются ежемесячно по ставке 1% на сумму вклада на 3 месяца. Тогда 1 месяц - единица времени, процентная ставка за единицу времени равна 1%, а эффективная процентная ставка за 3 месяца равна (1,013 – 1).
Пусть N - целое число периодов длиной h в сроке долга. Тогда моменты t = 0, 1, 2,..., N – 1 можно рассматривать как моменты вложения средств. Применяя формулу (1.39) последовательно на каждом периоде длиной h в течение всего срока T, получим
, (1.40)
где P0 - сумма, вложенная в момент t = 0. (1.40) можно рассматривать как формулу наращения суммы P0 по переменной эффективной ставке.
Если эффективная ставка за период h не зависит от момента времени t, когда производится вложение средств, т.е. для всех t, то сумма, вырученная к концу срока долга, составит
. (1.41)
Формула (1.41) представляет собой наращение по сложной процентной ставке за период h. При h = 1 постоянная эффективная процентная ставка за единицу времени совпадает с обычной ставкой сложных процентов i за единицу времени. Постоянную эффективную процентную ставку за единицу времени обозначают через ief. Таким образом, ief = i . Как и (1.13), (1.41) остается верной для нецелых значений N. Формула (1.14), полученная ранее для наращенной суммы долга по годовой номинальной процентной ставке, является частным случаем (1.41). Действительно, если сложные проценты начисляются m раз в году через равные промежутки времени, то h = , эффективная процентная ставка за часть года равна i(m), где i(m) - годовая номинальная процентная ставка. Если срок долга n лет, то N = mn и формула (1.41) приобретает вид (1.14).
В отличие от эффективной, номинальную процентную ставку как правило относят к единице времени.
Определение. Процентная ставка jh(t) называется номинальной процентной ставкой за единицу времени по сделке на срок h > 0, начинающейся в момент времени t, если эффективной процентной ставкой за период длины h, начинающийся в тот же момент времени t, является величина h jh (t).
Например, определим годовую номинальную ставку, если эффективная ставка за три месяца составляет 3%. Здесь единица измерения времени 1 год, h = 0,25 года, t - момент начала трехмесячной сделки. Тогда по определению 0,03 = 0,25jh(t). Отсюда годовая номинальная процентная ставка jh (t) = 0,12.
Таким образом, согласно определению, (t) = hjh(t). При h = 1 номинальная процентная ставка совпадает с эффективной за единицу времени, т.е. ief (t) = j1(t). Если номинальная процентная ставка по сделке на срок h является постоянной и не зависит от t, то пишут jh (t) = jh для всех t. При этом = hjh. Формулы (1.39) - (1.41) для расчетов с использованием номинальных процентных ставок имеют вид:
. (1.42)
, (1.43)
. (1.44)
Пример 1.11. В августе 2001 года номинальные годовые процентные ставки привлечения на депозит Центрального Банка РФ рублевых вкладов составляли в зависимости от срока:
1 день - 2,0 %
3 дня - 2,5 %
7 дней - 7,5 %
Вклады сроком на 1 день называют овернайт ( “overnight money”).
Здесь единицей измерения времени является один год, а рассматриваемый момент времени, когда производится вложение средств, обозначим через t0. Составим следующую таблицу:
Срок h
1/365
3/365
7/365
jh ( t0 )
0,02
0,025
0,075
Накопление по вкладу 1000 д.е. на срок, например, 7 дней согласно формуле (1.42) равно
.
Накопление по вкладу на срок 3 дня можно рассчитать двумя способами - по формуле (1.42):

и по формуле (1.44), если считать номинальную процентную ставку для инвестиций на один день постоянной:
.
Как видим, два последних результата не совпадают. Это можно объяснить тем, что Центральный Банк предпочитает принимать вклады на более длительный срок.
Определение. Значение предела ?(t) номинальной процентной ставки jh (t), когда срок сделки h стремится к нулю, называется интенсивностью процентов в единицу времени в момент t. Таким образом, согласно определению,
?(t) = . (1.45)
На практике интенсивность процентов в данный момент времени полагают приблизительно равной годовой номинальной процентной ставке по «overnight money». Понятие интенсивности процентов в данный момент времени означает непрерывное начисление сложных процентов. Поэтому ?(t) называют также процентной ставкой за единицу времени при непрерывном начислении процентов (силой роста). В случае, когда интенсивность процентов является постоянной величиной, т.е. ?(t) = ? для всех t, проценты по постоянной силе роста ? начисляются непрерывно с постоянной скоростью (см. вывод формулы 1.15). Получим формулу наращенной суммы долга при непрерывном начислении процентов, когда интенсивность процентов ?(t) является функцией времени. Из формул (1.42) и (1.45) имеем:
?(t) = = = .
Таким образом, требуется найти решение дифференциального уравнения
= ?(t),
удовлетворяющее начальному условию St(t=0) = P0. Получаем
. (1.46)
В частном случае, когда ?(t) = ? для всех t, эта формула имеет вид:
, (1.47)
что совпадает с выражением (1.15), полученным раньше другим способом.
На практике большое значение имеет понятие годовой эффективной процентной ставки при начислении процентов m раз в году. В этом случае годовая эффективная процентная ставка определяется следующим образом.
Определение. Годовая эффективная процентная ставка при начислении процентов m раз в году ief - это годовая ставка сложных процентов, начисляемых 1 раз в году, эквивалентная годовой номинальной процентной ставке i (m).
Таким образом, согласно определению, ief = i, где i - годовая ставка сложных процентов, начисляемых один раз в конце года, и обеспечивающая тот же финансовый результат, что и m – разовое начисление сложных процентов в году по ставке . Если срок долга n лет, то из эквивалентности процентных ставок следует равенство множителей наращения:
.
Отсюда
. (1.48)
Согласно определению эффективной процентной ставки, i измеряет реальный относительный доход, получаемый в целом за год от начисления процентов. Покажем это. Рассмотрим процесс накопления процентов за 1 год. Сложные проценты начисляются через равные промежутки времени m раз в году в конце каждого периода длиной по ставке . Проценты за первый период длиной составят I1 = P0. Согласно свойству сложных процентов, проценты I1, I2,…, Im за каждый период длиной в году - члены геометрической прогрессии с первым членом I1 и знаменателем (1+ ) (см. (1.11)). Накопленные проценты за весь год равны сумме I(1) = I1 + I2 +…+ Im. По формуле суммы m членов геометрической прогрессии получаем
I(1) = P0 .
Следовательно, реальный относительный доход, получаемый в целом за год от начисления процентов, составляет
= .
Тогда из (1.48) следует i = . Поэтому именно годовая эффективная процентная ставка i рассматривается инвесторами как показатель реальной эффективности финансовой сделки.
Сравним i и i (m). Из формулы (1.48) имеем:
.
Так как m ? 1, то i ? i(m). Последнее неравенство можно объяснить, используя свойства наращенной суммы долга. Действительно, чем больше m, тем быстрее процесс наращения по номинальной процентной ставке i(m). С другой стороны, чем больше процентная ставка, тем быстрее процесс наращения. Так как ставки i и i(m) эквивалентны, то для достижения одинакового результата наращения ставка i должна быть больше.
Пример 1.12. Какой эффективной процентной ставке соответствует ежеквартальное начисление сложных процентов по номинальной годовой процентной ставке 13 %?
Здесь i(4) = 0,13. По формуле (1.48) находим
.
Значит, реальный относительный доход за год для инвестора больше 13 % и составляет примерно 13,65 %.

<< Предыдущая

стр. 2
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>