<< Предыдущая

стр. 3
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Если в контракте указаны требуемая годовая эффективная процентная ставка i и число начислений процентов в году m, то из формулы (1.48) можно найти соответствующую годовую номинальную процентную ставку:
. (1.49)
Пример 1.13. В контракте указана годовая эффективная процентная ставка 20 %. Банк начисляет проценты два раза в год. Какую номинальную годовую процентную ставку должен назначить банк?
По условию i = 0,2; m = 2. По формуле (1.49) находим
,
т.е. .
Определим годовую эффективную учетную ставку def при начислении процентов m раз в году .
Определение. Годовая эффективная учетная ставка при начислении процентов m раз в году def - это годовая учетная ставка сложных процентов, начисляемых и удерживаемых один раз в году, эквивалентная годовой номинальной учетной ставке d(m).
Таким образом, согласно определению, def = d, где d - годовая учетная ставка сложных процентов, удерживаемых один раз в начале года, обеспечивающая тот же финансовый результат, что и m – разовое дисконтирование в году по ставке . Если срок долга n лет, то из эквивалентности процентных ставок следует равенство дисконтных множителей:
.
Отсюда
. (1.50)
Годовая эффективная учетная ставка d измеряет реальный относительный доход, получаемый в целом за год при m – разовом дисконтировании в году. В этом можно убедиться, рассматривая процесс дисконтирования в течение одного года и учитывая свойства сложных дисконтов.
Сравним d и d (m). Из формулы (1.50) имеем
Так как m ? 1, то d ? d(m). Последнее неравенство можно объяснить, используя свойства современной величины суммы долга. Действительно, чем больше m, тем медленнее процесс дисконтирования по номинальной учетной ставке d(m). С другой стороны, c уменьшением процентной ставки процесс дисконтирования замедляется. Так как ставки d и d(m) эквивалентны, то для достижения одинакового результата дисконтирования ставка d должна быть меньше.
Пример 1.14. Какой годовой эффективной учетной ставкой можно заменить в контракте годовую номинальную учетную ставку 5 % при поквартальном учете суммы погашаемого долга ?
Здесь m = 4, d(4) = 0,05. По формуле (1.50) находим
= 0,04907.
Для участников сделки безразлично, производить дисконтирование 4 раза в году в начале каждого квартала по ставке = 0,0125 или один раз в начале года по ставке 0,04907. Финансовые обязательства сторон сохраняются.
Если требуется определить годовую номинальную учетную ставку d(m) при заданных d и m, то из формулы (1.50) получаем
. (1.51)
Переменные процентные ставки.
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. В инвестиционных расчетах понятие переменной процентной ставки является одним из важнейших.
Определение. Процентная ставка называется переменной, если она изменяет свое значение в течение срока долга.
Рассмотрим дискретные переменные процентные ставки. Пусть n - срок долга, n = n1 + n2 + … + nk , где nj - период в сроке долга, когда применяется процентная ставка ij или учетная ставка dj, j = 1,2,…, k.
1) Наращение и дисконтирование по простой переменной процентной ставке.
Согласно формуле (1.8), проценты за каждый период nj в сроке долга составляют
.
Проценты за весь срок долга
.
Тогда наращенная сумма к концу срока долга n составит:
. (1.52)
Предположим, что известна сумма погашаемого долга Sn. Формула современной величины суммы Sn при математическом ее учете по простой переменной процентной ставке имеет вид:
. (1.53)
Применяя формулу (1.20) последовательно для периодов nk, nk – 1, …,n2 , n1, получим формулу современной величины суммы Sn при банковском ее учете по простой переменной учетной ставке:
. (1.54)
Соответственно, формула наращенной суммы долга по простой переменной учетной ставке имеет вид:
. (1.55)
2) Наращение и дисконтирование по сложной переменной процентной ставке.
Применяя формулу (1.13) последовательно для каждого периода наращения n1, n2, … , nk , получаем формулу наращенной суммы долга по переменной сложной процентной ставке:
. (1.56)
Если известна сумма погашаемого долга Sn, то, применяя формулу (1.17) или (1.21) последовательно для каждого периода дисконтирования nk, nk – 1, … , n2, n1, получим формулы приведенной к моменту t = 0 величины суммы Sn при математическом и банковском ее учете по сложной переменной процентной ставке:
. (1.57)
. (1.58)
Формулы (1.40) и (1.43) можно рассматривать как формулы наращения суммы долга по переменным эффективным и номинальным процентным ставкам.
Пример 1.15. Ожидаемая эффективная процентная ставка на первый год – 10 %, на второй – 12 %, на третий и четвертый – 14 %. В конце четвертого года заемщик обязуется погасить долг в размере 2000 д.е. Какова может быть сумма кредита?
Примем за единицу измерения времени 1 год. Тогда по формуле (1.57) получаем
= 1249,14 (д.е.).
3) Наращение и дисконтирование по непрерывным переменным процентным ставкам. Переменную непрерывную процентную ставку ?(t) называют интенсивностью процентов или силой роста в единицу времени в момент t. Формула наращенной суммы долга при непрерывном начислении процентов, когда интенсивность процентов ?(t) является функцией времени, имеет вид (1.46):
.
Задавая конкретный вид зависимости ?(t), моделируют поведение интенсивности процентов во времени. Рассмотрим наиболее часто используемые формулы для ?(t). Для этого введем обозначения. Обозначим через F(t) и ?(t) множитель наращения и дисконтный множитель соответственно по переменной силе роста ?(t) в момент t, где t ? 0. F(t) – это накопление (стоимость) в момент t единичного вклада, сделанного в момент t = 0. ?(t) - это современная стоимость 1 д.е., подлежащей выплате в момент t. Для вклада, сделанного в момент t = 0, множитель наращения в момент t имеет вид:
. (1.59)
Тогда дисконтный множитель в момент t равен
(1.60)
Если ?(t) интегрируема, то F(t) и ?(t) являются непрерывными функциями времени t. В случае, когда интенсивность процентов является постоянной величиной, т.е. ?(t) = ? для всех t, множитель наращения и дисконтный множитель имеют вид F(t) = e?t и ?(t) = e–?t. Наращенная сумма долга в момент t может быть найдена по формуле
, (1.61)
где P0 - первоначальная сумма долга в момент t = 0. Современная стоимость суммы St, подлежащей выплате в момент t, равна
. (1.62)
1. ?(t) - линейная функция времени, т.е. ?(t) = ?0 + at.
Здесь ?0 – начальное значение силы роста, a - годовой прирост силы роста. Так как a = ?(t + 1) – ?(t), то a может быть положительным, отрицательным или равно нулю, т.е. возможны значения a > 0, a < 0, a = 0. Значение a = 0 соответствует постоянной силе роста ?0. График зависимости интенсивности процентов от времени имеет вид, показанный на рис. 1.1.5.


Рис. 1.1.5
Как видим, в случае, когда предполагается линейное уменьшение интенсивности процентов, срок долга не должен превышать величину , где a < 0.
Рассмотрим поведение множителя наращения для всех трех случаев. Так как
,
то
. (1.63)
Отсюда следует, что для каждого t, причем F(t) = 1 в момент t = 0. Если a ? 0, то , . Характер зависимости множителя наращения F(t) от времени для случаев, когда a > 0 и a = 0 показан на рис. 1.1.6. При a = 0 множитель наращения имеет вид .
Если a < 0, то производная в точке изменяет свой знак с “+” на “–“ , а функция F(t) в этой точке достигает своего максимального значения, причем
.
Из этого в частности следует, что задача об увеличении суммы долга в число раз, превышающее значение , в случае a < 0 является некорректной. При построении графика функции F(t) учтем, что при a < 0 множитель наращения F(t) ? 1, если , т.е. и . График зависимости множителя наращения F(t) от времени при a < 0, приведен на рис. 1.1.6. Поведение множителя наращения в этом случае показывает, что процесс наращения суммы долга прекращается в момент , что подтверждает ранее сделанный вывод о сроке долга для a < 0.


Рис. 1.1.6
Пример 1.16. Предполагается, что годовая интенсивность процентов - линейная функция времени. Начальное значение силы роста равно 0,1. Годовой прирост интенсивности процентов составляет: а) 0,025; б) 0; в) - 0,025. Рассчитать значения множителя наращения для следующих сроков долга: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 лет.
Согласно условию, ?(t) = ?0 + at. Здесь ?0 = 0,1. Значения параметра a следующие: а) a = 0,025; б) a = 0; в) a = – 0,025. Множитель наращения в каждом из трех случаев имеет вид:
а) ; б) в) .
Значения множителей наращения для указанных сроков приведены в таблице:

a
3
4
5
6
7
8
9
а)
0,025
1,511
1,822
2,254
2,858
3,715
4,953
6,770
б)
0
1,350
1,492
1,649
1,822
2,014
2,226
2,460
в)
–0,025
1,206
1,221
1,206
1,162
1,091
1,000
0,894
Как видим, результаты вычислений соответствуют характеру кривых на рис. 1.1.6. В случае, когда a = – 0,025 максимальное значение множителя наращения равно = 1,221 и достигается оно при сроке долга, равном = 4 года, что соответствует таблице.
Пример 1.17. 1 января 1998 года клиент положил в банк 1500 д.е. К 1 января 2002 года его вклад вырос до 1832,105 д.е. Предполагается, что интенсивность процентов в течение всего срока вклада являлась линейной функцией времени. Найти годовую интенсивность процентов на 1 января 2000 года.
Момент t = 0 соответствует 1 января 1998 года. Множитель наращения F(0) = 1, F(4) = . Требуется найти интенсивность процентов в момент t = 2, т.е. ?(2). Так как ?(t) - линейная функция времени (параметры которой неизвестны), то является квадратичной функцией. Производная квадратичной функции f(x) обладает следующим свойством:
.
Так как
,
то

является квадратичной функцией на отрезке [0, 4]. Тогда по свойству производной квадратичной функции
.
Так как линейная функция является непрерывной, то по свойству интеграла с переменным верхним пределом
.
Из последних двух равенств следует
.
Так как t = 2, h = 2, то
.
Этот ответ можно проверить. Значение F(4) совпадает со значением множителя наращения для 4-летнего срока долга в третьей строке таблицы предыдущего примера. По значениям параметров ?0 = 0,1 и a = – 0,025 для этой строки находим
?(2) = ?0 + 2a = 0,05.
Следовательно, годовая интенсивность процентов на 1 января 2000 года была 0,05.
2. ?(t) - показательная функция времени, т.е. ?(t) = ?0 at .
Здесь ?0 – начальное значение силы роста, a - годовой темп изменения силы роста. Так как , то возможны значения a > 1, 0 < a < 1, a =1. Значение a = 1 соответствует постоянной силе роста ?0. График зависимости интенсивности процентов от времени имеет вид, показанный на рис. 1.1.7 .

Рис. 1.1.7
Из определения параметра a следует, что = a – 1. Это означает, что если предполагается изменение интенсивности процентов по показательному закону, то относительное изменение силы роста за год является величиной постоянной и равной a – 1. Причем a – 1 > 0, если интенсивность процентов в единицу времени возрастает, и a – 1 < 0, если интенсивность процентов уменьшается.
Рассмотрим поведение множителя наращения для всех трех случаев значений a. Если a = 1, то множитель наращения имеет вид . При a > 0, a ? 1 имеем
.
Тогда
. (1.64)
При любом a > 0 производная . Значит, во всех трех случаях F(t) – возрастающая функция времени. Кроме того, , если a ? 1. Чтобы построить кривые наращения, преобразуем выражение (1.64). Разложим at в степенной ряд:

Так как
,
то

Отсюда следует, что для каждого t, причем F(t) = 1 в момент t = 0. Кроме того, при 0 < a < 1. Из этого, в частности, следует, что задача об увеличении суммы долга в число раз, превышающих значение , в случае 0 < a < 1 является некорректной. Характер зависимости множителя наращения F(t) от времени показан на рис. 1.1.8.
Рис. 1.1.8
Пример 1.18. Предполагается, что годовая интенсивность процентов - показательная функция времени. Интенсивность процентов а) увеличивается ежегодно на 10%; б) уменьшается ежегодно на 10%; в) остается постоянной. Начальное значение силы роста 0,1. Найти срок удвоения суммы долга.
Согласно условию, ?(t) = ?0at. Здесь ?0 = 0,1. В случае а) a – 1 = 0,1. Следовательно a = 1,1. В случае б) a – 1 = – 0,1. Следовательно, a = 0,9. В случае в) a = 1. F(n) = 2, где n – искомый срок. Для случая б) рассчитаем величину = 2,583 > 2. Следовательно, задача является корректной и ее решение существует. Для случаев а) и б) разрешим равенство относительно n:
.
Разрешая равенство относительно n, получим для случая в):
.
Тогда в случае а) n = 5,322 или 5 лет и 117 дней; в случае б) n = 12,438 или 12 лет и 160 дней; в случае в) n = 6,931 или 6 лет и 340 дней. Полученные значения сроков долга соответствуют характеру кривых наращения на рис. 1.1.8.
Замечание. Убедиться самостоятельно, что если F(n) = 3, то в случае б) задача не имеет решения.
Пример 1.19. Предполагается, что годовая интенсивность процентов - показательная функция ?(t) = 0,09(0,9)t. Найти современную стоимость 1000 д.е., подлежащих выплате через 3 года.
По формуле (1.60) дисконтный множитель, соответствующий данному закону изменения интенсивности процентов, имеет вид
.
Тогда по формуле (1.62) находим современную стоимость 1000 д.е., подлежащих выплате через 3 года:
.
3. - кусочно – постоянная функция.
Этот случай удобнее рассмотреть на конкретном примере. Предположим, что
.
Кусочно-постоянная функция является интегрируемой. Найдем множитель наращения F(t). Если , то
.
Если , то
.
Если , то
.
Таким образом,
.

Рис. 1.1.9
Предположим, время измеряется в годах. Найдем наращенную сумму вклада 100 д.е., произведенного в момент t = 0, через 4 года и через 12 лет. По формуле (1.61) получаем , если срок долга , и при . Тогда (д.е.) и (д.е.).
4) Формула Студли.
Еще один пример формулы для ?(t) является формула Студли, которая может быть записана следующим образом:
. (1.65)
Параметры p, r и s выбираются так, чтобы моделировать плавное убывание или плавное возрастание интенсивности процентов. Подробнее об этой формуле можно посмотреть в [3].

<< Предыдущая

стр. 3
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ