ОГЛАВЛЕНИЕ

1.2. Доходность финансовой операции.
Определение. Финансовой называется операция, начало и конец которой характеризуются денежными суммами P(0) и P(T ) соответственно, а цель которой - наращение суммы вложенных средств P(0).
В определении под P(0) понимают реально вложенные средства в момент t = 0, под P(T ) – реально вырученные денежные средства в результате операции, срок которой T единиц времени. Эффект от вложения естественно измерять в виде процентной ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью.
Определение. Ставка простых или сложных процентов, с помощью которой измеряют эффективность финансовой операции, называется доходностью финансовой операции за единицу времени.
Согласно определению, доходность финансовой операции за единицу времени - это положительное число , удовлетворяющее равенству:
P(0)(1 + T) = P(T) (2.1)
или
P(0)(1 + )T = P(T). (2.2)
Если время измеряется в годах, то - среднегодовая доходность операции.
Таким образом, финансовой операции ставится в соответствие эквивалентная операция наращения суммы P(0) по ставке в течение времени T. Такой подход позволяет сравнить полученное значение доходности с доходностями по альтернативным вложениям средств.
Кроме того, можно говорить о доходности за весь срок операции [0, T], определяемой как положительное число r, удовлетворяющее равенству
P(0)(1 + r) = P(T ). (2.3)
Отсюда
.
Здесь r показывает эффект от вложения, приходящийся на 1 единицу вложенных средств. Этот вид доходности применяется, например, при оценке инвестиций в ценные бумаги.

Учет налогов и инфляции.
Налоги и инфляция заметно влияют на эффективность финансовой операции. Рассмотрим учет налогов. Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму P0 в течение времени n начислялись проценты по ставке i, g - ставка налога на проценты. Тогда величина процентов
I(n) = Sn – P0 ,
а сумма налога Gn = g I(n). Наращенная сумма после выплаты налога составляет
P(n) = Sn – Gn.
Так как P(n) < Sn , то учет налогов фактически сокращает ставку наращения. Итак,
P(n) = Sn – Gn = Sn – g I(n) = Sn – g (Sn – P0) = Sn (1 – g) + gP0 .
Если i - простая процентная ставка, то Sn = P0(1 + in). Тогда
P(n) = P0(1 + i(1 – g)n).
Видим, что фактически наращение производится по ставке i(1 – g) < i.
Если i – сложная процентная ставка, то Sn = P0(1 + i)n. Тогда
P(n) = P0 ((1 + i)n(1 – g) + g).
Пример 2.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?
Если P0 - сумма кредита, а Sn - сумма погашаемого долга, то Sn = P0(1 + i)n, где i = 0,08 , n = 2. Сумма комиссионных cP0, где c = 0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит P(0) = P0(1 – c). После выплаты налога у кредитора останется P(n) = P0 ((1 + i)n(1 – g) + g), где g = 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид P(n) = P(0)(1 + )n. Разрешая это уравнение относительно , получим
.
Заметим, что без учета налога (g = 0) доходность операции составила бы 0,08271.
Инфляция – обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.
Инфляцию характеризуют два количественных показателя – индекс цен и темп инфляции. Предположим, выбрана единица времени. Рассмотрим отрезок времени [0, t], длина которого t единиц времени от начального момента t = 0.
Индекс цен за время [0, t] - число
,
показывающее во сколько раз выросла стоимость потребительской корзины за период времени [0, t].
Темп инфляции за время [0, t] - число
,
показывающее на сколько процентов выросла стоимость потребительской корзины за период времени [0, t]. Так как , то соотношения между темпом инфляции и индексом цен имеют вид:
H(t) = J(t) – 1 (2.4)
и
J(t) = 1 + H (t) (2.5)
для любого периода времени[0, t].
Пусть , где [0, t1], … , [tn-1, tn] - отрезки времени в сроке [0, t] (t0 = 0, tn = t ), длины которых t1, (t2 – t1),…,(tn – tn – 1) единиц времени.
j(0, t1),…, j(tn – 1, tn) и h(0, t1),…, h(tn – 1, tn) – индексы цен и темпы инфляции за периоды [0, t1], … , [tn–1, tn] соответственно. Согласно (2.5),
j(tk – 1, tk) = 1 + h(tk – 1, tk), k = 1,2,…,n.
h(tk – 1, tk) - темп инфляции за (tk – tk – 1) единиц времени за период [tk–1, tk]. Индекс цен j(tk–1, tk) за период [tk–1, tk] показывает, во сколько раз увеличились цены за этот период по отношению к уровню цен предыдущего периода. Тогда получаем следующие соотношения для индекса цен и темпа инфляции за время [0, t]:
J(t) = j(0, t1) j(t1, t2)… j(tn – 1, tn), (2.6)
J(t) = (1 + h(0, t1))(1 + h(t1, t2))…(1 + h(tn – 1, tn)), (2.7)
1 + H (t) = (1 + h(0, t1))(1 + h(t1, t2))…(1 + h(tn – 1, tn)). (2.8)
Пусть jk и hk - индекс цен и темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [tk–1, tk]. Тогда
jk = 1 + hk , k = 1,2,…,n,
а индекс цен за период [tk–1, tk] равен
j(tk – 1, tk) = , k = 1,2,…,n.
Согласно (2.6)
J(t) = .
Тогда
J(t) = , (2.9)
1 + H(t) = . (2.10)
Если h1 = h2 = …. = hn = h, то
J(t) = (1 + h)t (2.11)
1 + H (t) = (1 + h)t . (2.12)
Здесь h - темп инфляции за 1 единицу времени на временном отрезке [0, t], J(t) и H (t) - индекс цен и темп инфляции за за период времени [0, t].
Предположим, за n единиц времени получена наращенная сумма вклада Sn. Индекс цен за период [0, n] вырос до значения J(n). Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит
P(n) = .
Индекс цен J(n) рассчитывается по одной из приведенных выше формул в зависимости от исходных данных. Так как J(n) > 1, то P(n) < Sn, что означает фактическое снижение ставки наращения.
Пример 2.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?
Здесь t = 0 - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада n = 5 лет. h1 = 0,03 и h2 = 0,04 – среднегодовые темпы инфляции на временных отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу должно быть выполнено условие: ? 0,8. Пусть i - годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма P0. Тогда наращенная сумма вклада через n лет Sn = P0(1 + i)n. С учетом инфляции реальная сумма вклада составит P(n) = , где индекс цен согласно (2.9) равен J(n) = (1 + h1 )2(1 + h2 )3. Уравнение доходности имеет вид: P(n) = P0 (1 + )n . Разрешая это уравнение относительно и учитывая требуемое условие для доходности, получим:
.
Отсюда i ? 0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции.



ОГЛАВЛЕНИЕ