ОГЛАВЛЕНИЕ

1.4. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей.
Определение. Поток платежей - это распределенная во времени последовательность платежей.
Сумма отдельного платежа называется членом потока. Платеж со знаком “+” означает поступление денег, платеж со знаком “ – “ - расход денег.
Процентная ставка потока платежей - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов потока.
Поток платежей называется конечным, если число платежей в нем конечно, и бесконечным, если срок действия потока неограничен.
Потоки платежей могут быть как регулярными, так и нерегулярными. Члены регулярного потока поступают через одинаковые промежутки времени, имеют одно и то же назначение (одинаковый знак) и изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом. Регулярные финансовые потоки называют также финансовыми рентами. Члены нерегулярного потока могут быть как положительными, так и отрицательными, временные интервалы между членами потока неодинаковы, а размеры платежей не подчиняются какому-либо временному закону.
Рассмотрим конечный поток платежей R1, R2,…,Rn, члены которого - платежи, поступающие соответственно в моменты t1 , t2,…, tn, где 0 ? t1 < t2 <…< tn ? T. Момент времени t = 0, от которого отсчитаны сроки поступления платежей, называют началом потока, T - срок действия потока. Будем считать, что процентная ставка потока задана и соответствует единице измерения сроков платежей.
Определение. Стоимость потока платежей P(t) в момент t [0,T] - это сумма всех членов потока, приведенных к моменту времени t.
Это определение следует непосредственно из определения ценности отдельного платежа в данный момент времени (параграф 1.3).
Пусть t [0,T] - произвольный момент времени, причем t [tm, tm+1], где t1 , t2,.., tm, tm+1,.., tn - моменты поступления платежей R1, R2,.., Rm, Rm+1,.., Rn. Согласно определению, стоимость потока в момент t есть:
. (4.1)
Здесь F(tk, t) - множитель наращения k - го платежа на временном отрезке [tk, t] (t > tk, где k = 1, 2, …, m) по процентной ставке потока, ?(t, tk) - дисконтный множитель k - го платежа на отрезке [t, tk] (t < tk, k = m + 1,…, n) по процентной ставке потока. Вид множителя наращения и дисконтного множителя определяется процентной ставкой потока (см. параграф 1.1).
Определение. Современная стоимость потока платежей A - это сумма всех членов потока, приведенных к моменту t = 0.
Согласно определению,
, (4.2)
где ?(tk) - дисконтный множитель k - го платежа на отрезке [0, tk] по процентной ставке потока. Вид дисконтного множителя определяется процентной ставкой потока (см. параграф 1.1). Выражение (4.2) - это уравнение эквивалентности относительно момента t = 0 для двух серий платежей: суммы A в момент t = 0 и R1, R2,…, Rn в моменты t1, t2,…, tn. Отсюда следует, что сумма A в момент t = 0 по процентной ставке потока эквивалентна всей совокупности платежей этого потока.
Определение. Наращенная сумма потока платежей S - это сумма всех членов потока с начисленными на них процентами к концу срока потока T.
Согласно определению,
, (4.3)
где F(tk ,T ) - множитель наращения k - го платежа на отрезке [tk ,T ] по процентной ставке потока. Вид множителя наращения определяется процентной ставкой потока (см. параграф 1.1). Выражение (4.3) - это уравнение эквивалентности относительно момента t = T для двух серий платежей: суммы S в момент t = T и R1, R2,…,Rn в моменты t1, t2,…, tn. Отсюда следует, что сумма S в момент t = T по процентной ставке потока эквивалентна всей совокупности платежей этого потока.
Полагая в (4.1) t = 0, получим P(0) = A. Если в (4.1) t = T, то P(T) = S. Таким образом, при заданной ставке потока стоимость потока платежей в момент t = 0 - это современная стоимость потока, а стоимость потока в момент его окончания T - это наращенная сумма потока.
Пусть t [0,T] - произвольный момент времени. Стоимость потока в момент t можно представить в виде:
, (4.4)
где - приведенная к моменту t величина k - го платежа, F(t) - множитель наращения на временном отрезке [0, t]. Выражение (4.4) можно переписать в виде:
P(t) = A F(t) , (4.5)
где t [0,T]. Согласно (4.5), стоимость потока платежей P(t) в момент t - это результат наращения его современной стоимости A к моменту t по процентной ставке потока. Из (4.5) при t = T получаем связь между наращенной суммой S и современной стоимостью A потока платежей:
S = A F(T ). (4.6)
Формулы (4.1) - (4.6) можно прокомментировать следующим образом. Чтобы получить сумму S через время T можно поступить двумя способами: разместить сумму A на время T под заданную процентную ставку на банковский счет или вносить платежи R1, R2,…,Rn в моменты t1 , t2,…, tn для начисления на них процентов по этой же процентной ставке до окончания срока T.
Соотношения (4.1) - (4.6) для стоимости потока в различные моменты времени являются основными и используются при решении практических задач.
Пример 4.1. Предприниматель должен выплатить денежные суммы: 1000 д.е. 1 января 2001 года, 5000 д.е. 1 июля 2003 года и 10000 д.е. 1 января 2005 года. Кредит выдан под 20% годовых, начисляемых сложными процентами 1 раз в год. Найти стоимость этих платежей на 1 января 2000 года и на 1 июня 2002 года.
Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2000 года. Стоимость долгов в этот день согласно формуле (4.2) есть:
,
где ставка дисконтирования i = 0,2. Стоимость на 1 июня 2002 года этих же долгов согласно формуле (4.5) есть:
.
Этот результат можно проверить, получив его непосредственно по определению по формуле (4.1):
.
Рассмотрим поток платежей R1, R2,…, Rn, члены которого - платежи, поступающие соответственно в моменты t1, t2,…, tn, где 0 ? t1 < t2 <…< tn ? T. Пусть известна стоимость потока P в момент t = 0. P может, например, означать сумму инвестиций в проект, по которому ожидаются доходы R1, R2,…,Rn в моменты t1, t2,…, tn. При этом проект не является заведомо убыточным, если .
Определение. Доходность потока платежей за единицу времени - это ставка сложных процентов r , по которой современная стоимость потока платежей равна P :
. (4.7)
Если сроки поступления платежей t1, t2,…, tn измеряются в годах, то r - годовая доходность. Доходность потока платежей - это не процентная ставка потока. r зависит только от величины и моментов самих платежей. Поэтому ее называют внутренней доходностью потока платежей. Уравнение (4.7), вообще говоря, может не иметь корней. В связи с этим докажем следующую теорему.
Теорема 4.1.
Если все члены потока платежей R1, R2,…, Rn положительны и выполняется условие , то уравнение (4.7) имеет единственный положительный корень.
Доказательство. Очевидно, что корень уравнения (4.7) - это решение уравнения F(r) = 0, где . Функция F(r) непрерывна и дифференцируема на множестве [0,?[. Так как , , то F(r) является возрастающей вогнутой функцией на множестве [0, ?[. Кроме того, и . Отсюда следует, что существует единственная точка r* [0, ?[ такая, что F(r*) = 0. Теорема доказана.
Корень уравнения F(r) = 0 является доходностью денежного потока R1, R2,…, Rn, стоимость которого в момент t = 0 равна P. Для нахождения корня уравнения F(r) = 0 применяют приближенные методы. Рассмотрим метод линейной интерполяции.

Рис. 1.4.1
Пусть отрезок таков, что . Тогда . На отрезке график функции F(r) заменим линейным участком - проведем хорду AB, . (rл1,0) - точка пересечения хорды AB с осью Or. rл1 и является приближенным значением r*. Величина rл1 рассчитывается по формуле
rл1 . (4.8)
Процедуру можно повторить до достижения требуемой точности. Так как F(r) является вогнутой и возрастающей, то всегда линейное приближение rл > r* и F(rл) > F(r*) = 0. Поэтому на следующем шаге можно взять отрезок , где rл1. Тогда = F(rл1) > 0 и . Если на втором шаге получено приближенное значение rл2, то rл1 > rл2 > r* и F(rл1) > F(rл2) > F(r*) = 0. Получаем последовательность приближенных значений rл1, rл2 ,… r*, для которой соответствующая последовательность значений функции F(rл1), F(rл2),… F(r*) = 0 - является убывающей и сходящейся к нулю, так как F(r) непрерывна.
Замечание. Рассмотреть самостоятельно метод линейной интерполяции для убывающей выпуклой функции.
Пример 4.2. Отдача от 400000 д.е., инвестированных в проект, составляет в первый год 30000 д.е., затем через полгода – 70000 д.е., еще через год 150000 д.е., затем через 1,5 года – 200000 д.е. Определить доходность инвестиции.
Условие для данного проекта выполнено, проект не является заведомо убыточным (400000 < 30000 + 70000 + 150000 + 200000 = 450000). Пусть 1 год - единица измерения времени. Функция F(r) имеет вид:
.
Согласно доказанной теореме, существует единственный положительный корень уравнения F(r) = 0. Так как F(0,04) = – 1797,908 < 0, F(0,05) = = 9052,552 > 0, то доходность заключена между 4% и 5% годовых. По формуле (4.8) находим
rл = 0,04 + ,
или 4,1657 % годовых. Если требуется найти доходность с большей степенью точности, надо выполнить еще один шаг согласно изложенному методу. С точностью до четвертого знака после запятой доходность составляет 4,1629 % годовых.
Определения основных характеристик потока платежей справедливы не только для дискретных, но и для непрерывных потоков платежей. Понятие непрерывно выплачиваемого потока платежей хотя и является теоретическим, во многих случаях позволяет упростить расчеты (например, в анализе инвестиций). Предположим, что в течение времени [0,T] непрерывно выплачиваются деньги с интенсивностью выплат в единицу времени f(t) в момент t. Тогда современная стоимость и наращенная сумма такого потока платежей определяются по формулам:
, (4.9) и , (4.10)
где - дисконтный множитель на отрезке [0, t], F(t,T ) - множитель наращения на отрезке [t, T].
Пример 4.3. На непрерывно и равномерно поступающие в течение 20 лет платежи с постоянной интенсивностью 100 д.е. в год непрерывно начисляются проценты по силе роста, изменяющейся по закону
.
Найти современную стоимость такого потока платежей.
Найдем дисконтный множитель ?(t). По формуле (1.60) . Тогда
.
Отсюда
.
Согласно формуле (4.9), современная стоимость потока платежей равна
=
= = = 1344,197.
Замечание. Найти самостоятельно современную стоимость такого потока для 10 и 15 лет поступления платежей.
До сих пор предполагалось, что все платежи, дискретные или непрерывные, положительны. Если имеется серия поступающих платежей a1, a2 ,…, an в моменты t1 , t2,…, tn и серия расходов b1, b2 ,…, bn в те же моменты времени, то член потока Rk можно представить в виде разности Rk = ak – bk , k = 1,2,…, n, так как положительный платеж соответствует поступлению денег, отрицательный - их расходу (в большинстве случаев только одна из сумм ak и bk будет ненулевой). Тогда R1, R2,…,Rn - это чистый денежный поток. Этот поток охватывает два встречных потока - расходов и поступлений. Доходность за единицу времени такого потока определяется как ставка сложных процентов r, по которой современная стоимость потока расходов равна современной стоимости потока доходов:
.
Это уравнение можно переписать в виде:
. (4.11)
Выражение (4.11) называется уравнением доходности денежного потока.
Применительно к непрерывным потокам платежей, если f1(t) и f2(t) - интенсивности расходов и получения денег в момент t соответственно, то чистую интенсивность f(t) такого потока в момент t можно представить в виде разности f(t) = f2(t) – f1(t). Для непрерывного денежного потока, поступающего в течение времени [0,T ] , уравнение доходности имеет вид:
. (4.12)
Из (4.11) и (4.12) получаем уравнение доходности для непрерывно-дискретного потока платежей:
+ . (4.13)
Решение этого уравнения, если оно существует, является доходностью за единицу времени такого потока. Имеется важный класс сделок, для которых уравнение доходности имеет единственное положительное решение. Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2.
Если все отрицательные платежи предшествуют всем положительным (или наоборот) и выполняется условие (или для непрерывно-дискретного потока платежей), то уравнение доходности имеет единственное положительное решение.
Доказательство. Докажем теорему для дискретного потока платежей. Тогда уравнение доходности имеет вид (4.11). Пусть для определенности R1< 0, R2 < 0,…, Rm < 0 и Rm + 1 > 0, R m + 2 > 0,…, Rn > 0. Уравнение (4.11) можно записать в виде:
F(r) = .
Домножим это уравнение на . Получим
F(r) = .
- это приведенная к моменту tm стоимость расходов, - приведенная к моменту tm стоимость доходов. Составим функцию
.
Тогда F(r) = g(r) = 0. Очевидно, что корень уравнения g(r) = 0 является решением уравнения доходности F(r) = 0. Так как g/(r) < 0 при r ? 0, то функция g(r) является убывающей на множестве [0, ?[. Кроме того, , . Следовательно, уравнение g(r) = 0 имеет единственное положительное решение. Теорема доказана. Для непрерывного потока платежей доказательство аналогично.
Пример 4.4. В обмен на инвестиции в начале 1997, 1998 и 1999 годов в размере 1000 д.е., 2000 д.е. и 3000 д.е. соответственно инвестор ожидает получить доход в виде единичного платежа в размере 1500 д.е. в начале 2001 года и потока непрерывно и равномерно поступающих платежей с интенсивностью 1000 д.е. в год в течение 10 лет, начиная с 2003 года. Найти доходность инвестиций.
Так как , то финансовая операция имеет смысл. Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 1997 года. Уравнение доходности (4.13) имеет вид:
F(r) = .
т.е. .
Так как F(0,08) = 74,136 > 0, F(0,09) = – 300,899 < 0, то доходность заключена между 8% и 9% годовых. Методом линейной интерполяции находим 8,1884 % с точностью до четвертого знака после запятой.



ОГЛАВЛЕНИЕ