ОГЛАВЛЕНИЕ

1.5. Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
Определение. Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой.
Основные параметры ренты:
член ренты - сумма отдельного платежа;
период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;
срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего;
процентная ставка ренты - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов ренты;
m - число начислений процентов в году на члены ренты;
p - число платежей в году.
Если члены ренты выплачиваются раз в год, то рента называется годовой.
Если члены ренты выплачиваются p раз в году (p > 1), то рента называется p - срочной.
Если платежи поступают столь часто, что можно считать , то ренту называют непрерывной.
Рента называется постоянной, если члены ренты одинаковы и не изменяются во времени.
Рента называется переменной, если члены ренты изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом.
Если платежи производятся в конце каждого периода ренты, то рента называется обычной или постнумерандо.
Рента с платежами в начале каждого периода называется рентой пренумерандо.
Рассмотрим расчет современной стоимости и наращенной суммы постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной ренты. Ежегодно сумма R вносится равными долями p раз в году на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из np платежей величиной каждый в моменты . Примем за единицу измерения времени 1 год. Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи. Согласно определению современной стоимости потока платежей (формула (4.2)), получаем
.
Вычисляя сумму np членов геометрической прогрессии, знаменатель которой , получим:
(5.1)
- современная стоимость постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет. Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:
. (5.2)
Используя соотношения эквивалентности для эффективной процентной ставки и (параграф 1.1), получим современную стоимость обычной p - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году по номинальной процентной ставке i(m) и непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов ? в год:
(5.3)
. (5.4)
Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (4.3). Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:
. (5.5)
Наращенную сумму ренты можно рассчитать, используя формулу связи современной стоимости и наращенной суммы потока платежей (4.6). Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:
S = A F(T ) = A(1 + i )n = (5.6)
Для других видов обычной ренты из (5.3) и (5.4), используя множители наращения и соответственно, получим:
(5.7)
(5.8)
В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (5.3) и (5.7) получаем
(5.9)
(5.10)
Если единицей измерения времени является 1 год, а R - это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современной стоимости ренты, равный , называется коэффициентом дисконтирования ренты. Множитель в формулах наращенной суммы ренты, равный , называется коэффициентом наращения ренты. Из (5.1)-(5.10) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты. Рассмотрим некоторые соотношения между этими коэффициентами.
Согласно (5.1) и (5.5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p – срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет равны соответственно
и .
и - это соответственно современная стоимость и наращенная сумма постоянной обычной p – срочной ренты с ежегодной выплатой 1 д.е. равными долями p раз в году в размере в моменты времени с начислением на члены ренты процентов 1 раз в году. Следовательно, и связаны соотношением (4.6):
= (1 + i)n .
Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты. Для этих рент имеем соотношения:
- годовая рента с начислением процентов 1 раз в год;
- p - срочная рента с начислением процентов m раз в год;
- p - срочная рента с непрерывным начислением процентов.
Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год
и
затабулированы и приводятся в приложениях финансовой литературы. Если применяется p – срочная рента с начислением процентов p раз в год (m = p) по годовой номинальной ставке i(p), то за единицу измерения времени можно принять часть года. Тогда - выплата за единицу времени (постнумерандо), - процентная ставка за 1 единицу времени, срок ренты - np единиц времени. Коэффициенты дисконтирования и наращения такой ренты равны соответственно и . Из формул (5.9), (5.10) имеем
, ,
что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, то коэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как = и = и рассчитываются по формулам, полученным из (5.9), (5.10):
, .
Тогда
= и = . (5.11)
Пример 5.1. В конце каждого месяца на сберегательный счет инвестируется 200 д.е. На поступающие платежи ежемесячно начисляют сложные проценты по годовой ставке 12 %. Какова величина вклада через 2 года? Какую сумму мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года?
Взносы на сберегательный счет поступают в виде обычной p - срочной ренты с начислением процентов p раз в году в течение 2 лет. Здесь n = 2, p = 12, = 0,12. Если за единицу измерения времени принять 1 месяц, то = 200 д.е. - выплата за единицу времени, = = 0,01 - процентная ставка за 1 единицу времени, срок ренты np = 24 единицы времени. По таблице коэффициентов наращения дискретных рент находим s24, 0.01 = 26,97346485. Тогда наращенная сумма вклада через два года = 200 s24, 0.01 = 5394,69 (д.е.).
Сумма, которую мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года - это современная стоимость ренты = 200a24,0.01 = 4248,68 (д.е.), где коэффициент дисконтирования a24,0.01 = 21,2433873 определен по таблице коэффициентов. Так как = 4248,68(1+0,01)24 = 5394,69 (д.е.), то размещение суммы 4248,68 д.е. на депозитный счет для начисления на нее ежемесячно сложных процентов по годовой ставке 12 % позволит инвестору через два года получить ту же сумму вклада.
Замечание. Рассчитать коэффициенты дисконтирования и наращения , пользуясь приведенными формулами, и проверить соотношения (5.11). Объяснить, почему и можно найти в таблицах коэффициентов, а и - нет. На что может повлиять выбор единицы измерения времени?
Рассмотрим ренту пренумерандо. Связь между коэффициентами дисконтирования и наращения рент пренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени считаем 1 год. Если и - коэффициенты дисконтирования и наращения p - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной ) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения:
=
=
= (1 + i)n .
Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:
=
=
= (1 + i)n .
При непрерывном начислении процентов для p - срочной ренты имеем соотношения:
=

.
Рассмотрим непрерывную ренту. Коэффициенты дисконтирования и наращения постоянной непрерывной ренты можно получить из формул для p - срочной ренты при или по определению (формулы (4.9), (4.10)) для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностью f(t) = 1. Например, для постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов по постоянной силе роста получаем:
,
где - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при непрерывном начислении процентов. Заметим, что так как , где - коэффициент дисконтирования p - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то
.
Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.
Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:
.
Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида (4.6):
= ,
= .
Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений. Так как , где i(p) - эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то
.
С другой стороны,
.
Следовательно
, (5.12)
где , - коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов. Равенства (5.12) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:
и .
Тогда
= = . (5.13)
где - эквивалентная учетная ставка. Из (5.12), (5.13) получаем
, (5.14)
где - эквивалентная номинальная учетная ставка. Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д.е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.
Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.
Если полагают, что срок ренты n = ?, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти. Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n > ?:
.
Для такой же ренты пренумерандо
.
Кроме того,
.
Таким образом,
, , . (5.15)
Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем
, , . (5.16)
Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты At определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,
,
где , , - дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, tk], [t, tk], [0, t] соответственно. Так как , то A -стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты. Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты. Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:
, (5.17)
Пример 5.2. По контракту произведенная продукция стоимостью 2 млн. д.е. оплачивается в рассрочку в конце каждого квартала в течение пяти лет с начислением сложных процентов раз в год по ставке 10% годовых. Найти величину отдельного взноса, если начало оплаты продукции перенесено на полгода после подписания контракта.
Если начало отсчета времени t = 0 – это момент подписания контракта, а единица измерения времени – 1 год, то здесь n = 5, p = 4, i = 0,1, t = 0,5. Согласно формуле (5.17), стоимость потока платежей по оплате продукции на момент подписания контракта равна = , где At = 2 млн. д.е., A - современная стоимость неотсроченной обычной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет. Согласно (5.1), . Из формул для At и A находим величину отдельного взноса = 133432,20 д.е. против 133432,20 = 127222,61 д.е., если бы начало оплаты продукции не откладывалось.
Замечание. Из определения срока ренты следует, что если - период ренты, то срок ренты n (лет) является числом, кратным , т.е. , где m – целое положительное число. Известно, что всякое положительное рациональное число можно представить в виде , где m, p – целые положительные числа, а всякое иррациональное число можно с любой степенью точности заменить рациональным числом . Это означает, что если срок ренты n не является целым, то всегда можно (точно или с любой степенью точности) представить n в виде целого числа периодов некоторой p – срочной ренты и использовать связь коэффициентов дисконтирования и наращения рент: и . Если выбирается в качестве единицы измерения времени, то используются соотношения: = и = . Таким образом, все полученные формулы для коэффициентов дисконтирования и наращения рент справедливы для , т.е. для всех неотрицательных значений n, не только целых.

Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
Рассмотрим зависимость коэффициентов дисконтирования и наращения ренты от срока ренты и процентной ставки. Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.
1) i = 0.
Имеем , .
Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.
2) Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты .
.
Очевидно, - возрастающая функция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис. 1.5.1).



Рис. 1.5.1
3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты .
.
Очевидно, - убывающая функция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как и , то - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис. 1.5.2).


Рис. 1.5.2
4) Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты .
, где .
Так как и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента n (рис. 1.5.3).
Рис. 1.5.3
5) Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты .
, где .
Так как и ( вечная рента), то - возрастающая вогнутая функция аргумента n (рис. 1.5.4).


Рис. 1.5.4
Эти свойства используются в задачах на определение параметров ренты.

Определение параметров ренты.
Параметры ренты R, n, i рассматриваются как основные, p и m – как вспомогательные. При разработке контрактов возможны случаи, когда задается современная стоимость A или наращенная сумма ренты S и два основных параметра. Требуется найти третий.
Определение члена ренты.
Рассматриваются задачи типа: заданы S, n, i или A, n, i. Найти R (годовая рента). Значения годового взноса R находят из равенств:
S = R и A = R .
Определение срока ренты.
Заданы A, R, i. Найти n.
Так как , то , если n - конечно и при (вечная рента). Отсюда получаем условие разрешимости задачи о сроке ренты:
.
В общем случае, когда заданы , то условие разрешимости задачи имеет вид:
.
Заметим, что если современную стоимость ренты рассматривать как сумму, выданную в долг и погашаемую в соответствии с условиями ренты, то полученные неравенства можно рассматривать как условие возврата долга.
Если заданы S, R, i, то задача определения срока ренты n всегда разрешима.
Для нахождения n выражения современной стоимости и наращенной суммы разрешают относительно n.
Определение процентной ставки ренты.
Заданы A, R, n. Найти i.
Так как
,
если i > 0, то условие разрешимости задачи имеет вид:
.
Заданы S, R, n. Так как при i > 0
,
то условие разрешимости задачи в этом случае имеет вид:
.
При выполнении условия разрешимости процентная ставка ренты находится на основании теорем 4.1, 4.2 (см. примеры 4.2 и 4.4) методом линейной интерполяции (или другим приближенным методом).



ОГЛАВЛЕНИЕ