стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1.7. Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного проекта.
Параметры проекта – это величины членов денежного потока, их распределение во времени и процентная ставка дисконтирования. Зависимость показателей эффективности от параметров проекта классического характера рассмотрим для проекта, в котором инвестиции - разовые в момент t = 0 в размере I, поток доходов – постоянная годовая обычная (неотложенная) рента в течение n лет. Годовой доход R. Ставка дисконтирования проекта – годовая процентная ставка i. Проект описывается финансовым потоком вида
(-I, R,…, R). (7.1)
Показатели эффективности проекта (7.1) рассчитываются на основе современных стоимостей потока доходов Ran,i и инвестиций I.
Чистая современная стоимость проекта при процентной ставке i:
NPV(i) = Ran,i – I , (7.2)
Значение показателя IRR - решение уравнения доходности NPV(r) = 0, которое для проекта (7.1) имеет вид:
Ran,r – I = 0. (7.3)
Срок окупаемости n* определяется из уравнения:
Ran*,i = I (7.4)
Индекс доходности проекта (7.1) равен:
. (7.5)
Зависимость показателей эффективности от срока проекта (периода отдачи) n рассмотрим, считая заданными размеры вложенных инвестиций I, поступающих платежей R и процентную ставку дисконтирования i. Срок проекта (7.1) совпадает с его периодом отдачи. Параметры I, R, i определяют окупаемость проекта. Действительно, при заданных I, R, i условие возврата инвестиции, или, что тоже самое, условие существования срока окупаемости проекта, - это условие разрешимости уравнения (7.4), т.е. задачи о сроке ренты (см. параграф 1.5). Условие существования срока окупаемости проекта запишем в виде:
(7.6)
1) Рассмотрим зависимость показателя NPV(i) от срока n проекта при заданных I, R, i. Чистая современная стоимость проекта (7.1) рассчитывается по формуле:
NPV(i) = Ran,i – I ,
коэффициент дисконтирования ренты , где (не только целое, см. Замечание в параграфе 1.5). Тогда , . Следовательно, NPV(i) – возрастающая вогнутая функция n на множестве , причем , . Значение последнего предела – это NPV(i) проекта, в котором поток доходов – вечная рента. Если считать, что параметры i, R, I проекта (7.1) таковы, что выполняется условие (7.6), то существует единственная точка n* > 0 такая, что
= NPVn*(i) = 0.
Согласно свойству 3 срока окупаемости (параграф 1.6), n* - срок окупаемости (DPP) проекта (7.1). Таким образом, неравенство (7.6) является не только условием существования срока окупаемости проекта (7.1), но и условием существования проектов с NPV(i) 0.
График зависимости показателя NPV(i) от срока проекта n показан на рисунке 1.7.1:









Рис. 1.7.1
Чем больше срок проекта (7.1), тем больше его NPV(i). Найдем n* из уравнения NPVn*(i) = 0, что равносильно уравнению (7.4), при условии (7.6):
. (7.7)
Если n*, определенное по (7.7), удовлетворяет условию n* n, где n – срок проекта, то (7.7) - формула точного значения срока окупаемости проекта (7.1) (см. определение срока окупаемости, параграф 1.6). Если срок проекта n < n*, то проект не имеет срока окупаемости. При этом его NPV(i) < 0. Чтобы проект окупался при данных ставке i, инвестициях I и доходах R необходимо, чтобы продолжительность проекта была не меньше n*.
2) При заданных значениях I, R, i установим зависимость показателя IRR проекта (7.1) от его срока n. Из уравнения (7.3) имеем an,r = , где . Дифференцируем это выражение по n: . Отсюда . Так как , то . С другой стороны, так как , то . Следовательно, . Значит, r(n) - возрастающая функция на множестве . Так как для каждого конечного n > 0, то . Отсюда при и при . Кроме того, если r = 0, то . График зависимости r(n) показан на рисунке 1.7.2:

Рис. 1.7.2
С увеличением срока проекта (7.1) его показатель IRR возрастает, приближаясь к значению IRR проекта, поток доходов которого – вечная рента. Заметим, что если срок проекта меньше , то доходность проекта отрицательна. И наоборот – значениям r > 0 соответствуют сроки проекта (см. условие разрешимости задачи о процентной ставке ренты, параграф 1.5). При r = i срок проекта n совпадает с его сроком окупаемости n*, т.е. n = n* (свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). Значениям r < i соответствует срок проекта n < n* - проект является убыточным (свойство 3 показателя IRR, параграф 1.6) и не имеет срока окупаемости (см. свойство 5 срока окупаемости, параграф 1.6). При r > i срок проекта n > n* - проект прибыльный и имеет срок окупаемости.
3) Рассмотрим зависимость индекса доходности d от срока n проекта (7.1) при заданных i, R, I. Будем считать, что параметры i, R, I проекта таковы, что выполняется условие (7.6): .
Согласно определению, индекс доходности проекта (7.1) рассчитывается по формуле (7.5). Тогда
= ,
где . Отсюда
.
Характер зависимости d(n) показан на рисунке:


Рис. 1.7.3
С увеличением срока проекта (7.1) его показатель PI возрастает, приближаясь к значению PI проекта, поток доходов которого – вечная рента. Значению d = 1 соответствует срок проекта n = n*, где n* - срок окупаемости проекта (свойство 3 PI, параграф 1.6). Если n > n*, то проект имеет срок окупаемости, при этом d > 1. При n < n* проект не имеет срока окупаемости, его индекс доходности d < 1.
Заметим, что условие (7.6) обеспечило существование проектов, индекс доходности которых d 1.
Итак, показатели NPV(i), IRR, PI возрастают при увеличении срока проекта (7.1). При этом срок окупаемости проекта существует, когда его NPV(i) 0, PI  1, а следовательно, IRR i (см свойство 5 PI, параграф 1.6), т.е. когда все остальные показатели указывают на приемлемость проекта. Заметим, что неравенство (7.6) при условии, что срок проекта n n*, обеспечивает приемлемость проекта по всем показателям, что также подчеркивает согласованность показателей в оценке проекта.
Замечание. Чем более протяжен во времени проект, тем более тщательная оценка требуется для членов денежного потока последних лет реализации проекта. Здесь инвестиционный проект рассматривается в условиях определенности, когда поступление платежей точно в срок и в полном объеме считается гарантированным.
Зависимость показателей эффективности от величины вложенных инвестиций I рассмотрим, считая заданными срок проекта n, размеры поступающих платежей R и ставку дисконтирования i.
1) Увеличение инвестиций в проект влечет уменьшение его IRR (формула 6.14). Рассмотрим подробнее зависимость показателя IRR проекта (7.1) от величины инвестиций I.
Уравнение NPV(r) = 0 для проекта (7.1) имеет вид: I = Ran,r, где . Так как , , то , . Значит, r(I) – убывающая выпуклая функция на множестве значений I . Если , то ; если r = 0, то I = nR; если , то . График зависимости r(I) показан на рисунке:







Рис. 1.7.4
С увеличением инвестиций I доходность проекта r уменьшается. При I > nR доходность отрицательна, r < 0, проект заведомо убыточен. На этом рисунке значению r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, соответствует максимальный уровень затрат Imax, при котором проект не является убыточным. Действительно, NPV(r = i) = 0, откуда Imax = Ran,i. Если I > Imax , то r < i , что означает убыточность проекта (см. свойство 3 IRR, параграф 1.6). И наоборот, значениям I < Imax соответствуют r > i, при которых проект является прибыльным.
Замечание. Если исходить из того, что инвестиции в проект не могут превышать стоимости вечной ренты, т.е. выполняется условие (7.6): , тогда анализ функции r(I) требует уточнения. Рекомендуется рассмотреть это самостоятельно.
2) Чистая современная стоимость проекта (7.1) рассчитывается по формуле:
NPV(i) = Ran,i – I .
Определим множество значений показателя. Если считать, что I при заданных R, n, i, то NPV(i)  . Если предполагается, что , то NPV(i)  , где < 0.
Очевидно, что NPV(i) – линейная функция I при заданных R, n, i. Зависимость NPV(i) проекта (7.1) от величины вложенных инвестиций имеет вид:





Рис. 1.7.5
Выколотая точка на вертикальной оси означает, что проект с нулевыми инвестициями и ненулевыми доходами не существует. С увеличением инвестиций I NPV(i) проекта уменьшается. На этом рисунке значению NPV(i) = 0 соответствует максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным. Если при некотором значении затрат I величина NPV(i) > 0 и инвестиции в проект увеличить на величину (см. рис. 7.5), то чистая современная стоимость полученного проекта станет равной нулю. На рисунке длины отрезков NPV(i) и равны между собой, как стороны прямоугольного равнобедренного треугольника. При этом длина отрезка = Ran,i – I = NPV(i) > 0. Таким образом, увеличение инвестиций на величину, не превышающую = NPV(i) > 0, позволяет избежать убытков. Увеличение инвестиций на величину, превышающую , приводит к отрицательному значению чистой современной стоимости проекта, т.е. к убыткам (см. свойство 3 NPV(i), параграф 1.6).
3) Очевидно, что чем меньше инвестиции, тем меньше срок окупаемости проекта. Уточним эту зависимость для проекта (7.1), считая заданными R, n, i.
Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Значит, инвестиции I в проект таковы, что . Найдем все решения уравнения (7.4) для . Те из них, которые удовлетворяют условию n* n, являются сроком окупаемости проекта. Рассмотрим (7.7):
.
Дифференцируем это выражение по I. Получаем . Значит, n*(I ) –возрастающая выпуклая функция на множестве . Кроме того, и . Зависимость n*(I) показана на рисунке:

Рис. 1.7.6
С увеличением инвестиций I срок окупаемости проекта увеличивается. На этом рисунке значению n* = n , где n – срок проекта, соответствует максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным. Действительно, если I > Imax , то n* > n – проект не имеет срока окупаемости, следовательно, является убыточным. И наоборот, значениям I < Imax соответствуют n* < n. Проект имеет срок окупаемости и за время n позволит получить прибыль.
4) Так как , зависимость индекса доходности от величины вложенных инвестиций при заданных R, n, i имеет вид:


Рис. 1.7.7
С увеличением инвестиций в проект его индекс доходности уменьшается. Значению d = 1 соответствует максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным. Действительно, если I > Imax , то d < 1 – проект является убыточным. И наоборот, значениям I < Imax соответствуют d > 1 – проект является прибыльным.
Итак, показатели IRR, NPV(i), PI уменьшаются при увеличении инвестиций в проект, а показатель DPP увеличивается. Это означает, что в отношении увеличения инвестиций в проект все показатели ведут себя одинаково: каждый из них указывает на снижение эффективности проекта. Максимальный уровень затрат Imax = Ran,i, при котором проект не является убыточным, соответствует следующим значениям показателей: NPV(i) = 0, IRR = i, DPP = n, PI = 1.
Пример 7.1. Рассчитать, как изменится оценка проекта А(–100,–20,20,20,80,50,10,20), ставка дисконтирования i = 11 % годовых, если увеличить инвестиции в этот проект в конце 2-го года до 25 д.е.
В результате увеличения инвестиций в проект в конце 2-го года будет получен новый проект В(–100,–25,20,20,80,50,10,20). Показатели эффективности проектов следующие:
NPV(i)A = 10,2; IRRА = 13,3 %; = 6; dА = 1,086;
NPV(i)B = 5,7; IRRВ = 12,3 %; = 7; dB = 1,046.
Увеличение инвестиций в проект А привело к уменьшению его показателей NPV(i),  IRR, PI и увеличению срока окупаемости. Для обоих проектов NPV(i) > 0, i < IRR, d > 1 - проект остался выгодным. Так как NPV(i)В < NPV(i)А  и dB < dА, то проект стал менее прибыльным. Так как IRRВ < IRRА , то проект стал более рискованным (уменьшилась разность IRR – i ).
Замечание. Рассмотреть самостоятельно зависимость показателей эффективности проекта (7.1) от величины его доходов R.
Зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования i рассмотрим при заданных доходах R, сроке проекта n, инвестициях I. Параметры R, n, I определяют значение показателя внутренней нормы доходности (IRR) проекта. Установим множество значений показателя IRR при заданных R, n, I. Значение показателя IRR при заданных R, n, I - решение r уравнения доходности (7.3). Покажем, что r > 0 тогда и только тогда, когда I < nR. Из уравнения доходности имеем:
Ran,r = I .
Тогда коэффициент дисконтирования . С другой стороны, . Если решение уравнения (7.3) r > 0, тогда an,r < n. Значит, . Отсюда I < nR. И наоборот. Пусть I < nR. Тогда согласно теореме 4.2 уравнение (7.3) имеет единственное положительное решение r > 0. Несложно убедиться, что отрицательное решение уравнения (7.3) r < 0 соответствует условию I > nR, что означает заведомую убыточность проекта. Этот случай может представлять только теоретический интерес, как и значения . Таким образом, в общем случае r . Однако если значения R, n, I заданы, то можно показать, что . В этом случае показатель r . Таким образом, при заданных R, n, I показатель IRR проекта фиксирован и принимает одно из значений из указанного интервала.
1) Рассмотрим зависимость показателя NPV(i) от ставки дисконтирования i. Будем считать, что параметры R, n, I таковы, что I < nR, что обеспечивает положительное значение показателя IRR проекта.
Имеем: NPV(i) = Ran,i – I , где коэффициент дисконтирования ренты . Тогда , . Значит, NPV(i) – убывающая выпуклая функция i на множестве , причем NPV(i = 0) = nR – I > 0, . График функции NPV(i) имеет вид:

Рис. 1.7.8
С увеличением ставки дисконтирования значение показателя NPV(i) уменьшается, причем в точке i = r, где r - значение IRR проекта, NPV(r) = 0. При 0 i < r , как и было установлено, NPV(i) > 0 и NPV(i) < 0 если i > r (см. свойство 3 показателя IRR, параграф 1.6). Увеличение ставки дисконтирования делает проект менее выгодным или вообще неприемлемым. И наоборот, чем меньше ставка дисконтирования i < IRR, тем более выгодным является проект. Таким образом, инвестор заинтересован в том, чтобы ставка дисконтирования была меньше.
2) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от ставки дисконтирования i при заданных R, n, I. Здесь n* - точное значение срока окупаемости, удовлетворяющее определению.
Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Тогда ставка дисконтирования . Найдем все решения уравнения (7.4) для . Те из них, которые удовлетворяют условию n* n, являются сроком окупаемости проекта.
Согласно определению срока окупаемости, Ran*,i = I. Тогда an*,i = . Дифференцируем это выражение по i: . Отсюда . Так как , то . С другой стороны, так как , то . Следовательно, . Кроме того, . Из (7.7) находим . График зависимости n* от ставки дисконтирования i показан на рисунке:







Рис. 1.7.9
Если параметры R, n, I таковы, что I > nR, то проект не имеет срока окупаемости, так как все значения n* > n. Если же R, n, I удовлетворяют условию I < nR, проект имеет срок окупаемости. В этом случае существуют значения n* n. Одновременно условие I < nR означает положительное значение показателя IRR проекта. С увеличением ставки дисконтирования i срок окупаемости проекта растет. При i = r, где r - значение показателя IRR проекта, срок окупаемости n* = n (см. свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). Срок окупаемости имеют те проекты, для которых i r, так как для этих проектов n* n. Значениям ставки дисконтирования i > r соответствуют n* > n. Это означает то, что при i > r проект не имеет срока окупаемости. Этот результат соответствует свойству 5 DPP (параграф 1.6).
Как уже отмечалось, в ходе реализации проекта ставка дисконтирования может измениться. При увеличении i срок окупаемости проекта может превысить ограничение по этому показателю, если оно существует, и проект может оказаться неприемлем. В примере 6.5 уже рассматривалось влияние увеличения ставки дисконтирования на оценку проекта. Увеличение ставки дисконтирования на 1 % привело к тому, что проект стал убыточным и перестал иметь срок окупаемости.
3) Для проекта (7.1) рассмотрим зависимость показателя PI от ставки дисконтирования i при заданных R, n, I.
Согласно определению индекса доходности, для проекта (7.1) значение показателя PI равно:
.
При заданных значениях R, n, I зависимость показателя PI от ставки дисконтирования i определяется зависимостью коэффициента дисконтирования годовой ренты an,i от i (рассмотрена в параграфе 1.5). Имеем:
.

Рис. 1.7.10
С увеличением ставки дисконтирования i индекс доходности проекта уменьшается. При i = r, где r - значение показателя IRR проекта, индекс доходности d = 1 (см. свойство 2 индекса доходности, параграф 1.6). Если i < r , то d > 1 – проект прибыльный; значениям i > r соответствуют d < 1, что означает убыточность проекта. Эта зависимость согласуется с ранее установленной зависимостью NPV(i) от i (рис. 22).
Пример 7.2. Рассмотрим влияние ставки дисконтирования на показатели эффективности проекта А(-100,-20,20,20,80,50,10,20) из примера 7.1. Его показатель IRR = 13,3%.
i
11%
11,5%
12%
12,5%
13%
13,5%
NPV(i)
10,2
7,9
5,6
3,5
1,3
-0,7
DPP
6 (5,95)
7 (6,14)
7 (6,34)
7 (6,56)
7 (6,78)
нет
PI
1,086
1,067
1,048
1,029
1,011
0,994
В скобках в третьей строке указаны точные значения срока окупаемости. Получены из предположения о непрерывном и равномерном поступлении дохода в течение того года, когда сумма ?Rk/(1+i)k изменяет знак, с постоянной годовой интенсивностью, равной величине платежа за этот год. Например, во 2-м - 4-м столбцах точное значение n* найдено из уравнения NPVn*(i) = 0 (см. свойство 3 DPP), или
= 0.
Итак, зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования i следующая: NPV(i), PI – убывающие функции, DPP – возрастающая функция i. Следовательно, при возрастании i все показатели указывают на снижение эффективности проекта. В отношении показателя IRR можно сказать, что при этом уменьшается резерв безопасности проекта, характеризуемый величиной IRR – i. Значит, ставку дисконтирования желательно минимизировать, особенно в случае, если проект финансируется за счет заемных средств.

Взаимосвязь показателей эффективности.
Зависимость показателей эффективности от IRR проекта установим при заданных R, n, i.
1) Установим зависимость показателя NPV(i) от IRR. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем показатель IRR проекта (см. зависимость IRR от I).
Имеем: NPV(i) = Ran,i – I, NPV(r) = Ran,r – I = 0. Тогда NPV(i) = Ran,i – Ran,r, где коэффициент дисконтирования ренты . Тогда , . Значит, NPV(i) – возрастающая вогнутая функция r на множестве , причем ; ; . График зависимости NPV(i) от r показан на рисунке:


Рис. 1.7.11
Чем больше внутренняя норма доходности проекта r, тем больше его NPV(i). Отрицательные значения r соответствуют тому, что условие I < nR не выполняется, т.е. проект заведомо убыточен. NPV(i) < 0 если r < i и NPV(i) > 0 при r > i, что соответствует свойству 3 показателя IRR, параграф 1.6. Когда r принимает значение ставки дисконтирования i, тогда NPV(r = i) = = 0. Таким образом, чем больше IRR, тем более прибыльным является проект.
Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости NPV(i) от r и рисунок, если предположить, что .
2) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от его внутренней нормы доходности r при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель IRR проекта.
Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Следовательно, инвестиции I в проект таковы, что . Отсюда, так как I = Ran,r, то 1 - ian,r > 0. Это неравенство справедливо для значений r таких, что an,r < . Это значит, что , где r0 - решение уравнения . Можно показать, что если in < 1, то r0 < 0, а если in > 1, то r0 > 0, причем r0 < i. Найдем все решения уравнения (7.4) для . Те из них, которые удовлетворяют условию n* n, являются сроком окупаемости проекта.
Согласно определению срока окупаемости проекта и внутренней нормы доходности, Ran*,i = I = Ran,r. Отсюда an,r = an*,i, где . Тогда
.
Дифференцируем это выражение по r. Так как , то (an,r)/r < 0, (an,r)//rr > 0. Тогда (n*)/r < 0, (n*)//rr > 0. Значит, n*(r) – убывающая выпуклая функция на множестве . Если , то . При этом, . Так как , то . В случае, когда r0 < 0, т.е. in < 1, можно найти значение n* при r = 0. Действительно, так как , то .
График зависимости n*(r) показан на рисунке, где использовано обозначение :







Рис. 1.7.12
Значения n* n являются сроком окупаемости проекта. С увеличением внутренней нормы доходности r срок окупаемости проекта уменьшается. При r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, срок окупаемости n* = n , где n – срок проекта (см. свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). При r < i проект не имеет срока окупаемости, так как этим значениям r соответствуют n* > n. При r > i срок окупаемости n* < n. Условие означает, что инвестиции в проект приближаются к значению стоимости вечной ренты, т.е. . Срок окупаемости такого проекта .
Пример 7.3. Расчет n*(r), где r > r0, приведен в таблицах для in < 1 и in > 1.
in < 1 (i = 5%, n = 3, r0 = - 56,7%)
r
-50%
-30%
-10%
-0,1%
0,0%
5%
10%
50%
a n,r
14,00
6,385
3,717
3,006
3,331
2,723
2,487
1,407
n *
24,677
7,882
4,215
3,338
=3,734
n =3,000
2,721
1,496

in > 1 (i = 35 %, n = 3, r0 = 2,47%)
r
2,48%
3%
10%
20%
35%
40%
50%
a n,r
2,86
2,829
2,487
2,106
1,696
1,589
1,4074074
n *
40,8458
15,350
6,809
4,454
n =3,000
2,706
2,2607

3) Рассмотрим зависимость индекса доходности d от внутренней нормы доходности r проекта при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем показатель IRR проекта.
Согласно определению индекса доходности и внутренней нормы доходности, имеем: , I = Ran,r = . Так как , то , где . Кроме того, так как , то . Так как , то . Так как при , то . Характер зависимости d(r) показан на рисунке:
Рис. 1.7.13
Чем больше внутренняя норма доходности r проекта, тем больше его индекс доходности d, т.е. эффективность вложений. При r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, d = 1. Если r < i, то d < 1 – проект не окупается. При r > i значения d > 1 – инвестиции эффективны.
Пример 7.4. Рассмотрим проекты
А( –90, 50, 50),
В( –100, 50, 50),
С( – 110, 50, 50).
Так как для проекта А выполняется условие I < nR (90<50 + 50), то внутренняя норма доходности этого проекта rА > 0 и его индекс доходности dА . Для проекта В имеем I = nR, что соответствует значениям rВ = 0 и dВ . Для проекта С выполняется условие I > nR, что означает заведомую убыточность проекта, rС < 0 и значение индекса доходности dС < dВ < 1.
Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости d(r) и рисунок, если предположить, что .
Итак, зависимость показателей эффективности от внутренней нормы доходности IRR проекта можно охарактеризовать следующим образом: NPV(i), PI – возрастающие функции r, срок окупаемости DPP – убывающая функция r. Следовательно, при увеличении IRR проекта все показатели указывают на возрастание эффективности проекта, включая сам показатель IRR, что снова означает согласованность показателей в оценке проекта.
Зависимость показателей эффективности от NPV(i)  проекта установим при заданных R, n, i.
1) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от его NPV(i). Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель NPV(i) проекта.
Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Значит, инвестиции I в проект таковы, что . Следовательно, показатель NPV(i) = Ran,i – I будем рассматривать для значений . Тогда NPV(i)  . Учитывая равенство (7.4), имеем NPV(i) = Ran,i – I = Ran,i - Ran*,i = Ran,i - R . Отсюда несложно установить, что n*(NPV(i)) - убывающая выпуклая функция, характер зависимости которой имеет вид:
Рис. 1.7.14
Значения n* n являются сроком окупаемости проекта. Заметим, что n* n когда NPV(i) 0, что соответствует свойству 4 DPP. С увеличением NPV(i) срок окупаемости проекта уменьшается. На этом рисунке значению n* = n, где n – срок проекта, соответствует NPV(i) = 0. Проекты с NPV(i) < 0 не имеют срока окупаемости, что подтверждает свойство 4 DPP, параграф 1.6.
2) Рассмотрим зависимость индекса доходности d проекта (7.1) от его NPV(i) при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель NPV(i) проекта.
Имеем: = , где в общем случае NPV(i) .
Характер зависимости d(NPV(i)) имеет вид:
Рис. 1.7.15
С увеличением показателя NPV(i) проекта его индекс доходности растет. Значения индекса доходности d > 1 имеют проекты с NPV(i) > 0, что подтверждает свойство 4 показателя PI, параграф 1.6.
Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости d(NPV(i)) и рисунок, если предположить, что .
Таким образом, срок окупаемости уменьшается, а индекс доходности увеличивается при увеличении NPV(i) проекта. С учетом ранее рассмотренной зависимости показателей NPV(i) и IRR, можно утверждать, что с увеличением NPV(i) все показатели, включая сам показатель NPV(i), указывают на возрастание эффективности проекта. 
Связь срока окупаемости n* и индекса доходности d установим при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем его срок окупаемости n* (см. зависимость DPP от I).
Согласно определению индекса доходности и срока окупаемости, имеем: , Ran*,i = I. Тогда , где . Так как , , то ,
. Следовательно, d(n*) – убывающая выпуклая функция на множестве . Так как , то < 1. Так как , то . График зависимости d(n*) показан на рисунке:
Рис. 1.7.16
Значения n* n являются сроком окупаемости проекта. С увеличением срока окупаемости проекта n* его индекс доходности уменьшается, т.е. оба показателя указывают на снижение эффективности проекта (см. пример 7.1). При n* = n, где n – срок проекта, d = 1 (свойство 3 показателя PI). Индекс доходности d > 1 тех проектов, которые имеют срок окупаемости n*< n. И наоборот: проекты, не имеющие срока окупаемости (для этих проектов n*> n), имеют d < 1. Таким образом, анализ зависимости d(n*) приводит к ранее полученным выводам.
Рассмотренные в этом параграфе зависимости показателей эффективности от параметров проекта и связь показателей подтверждают согласованность показателей в оценке проекта, установленную в параграфе 1.6: если какой-либо из показателей изменяется и указывает, например, на повышение эффективности проекта по этому показателю, то и остальные показатели при этом изменяются так, что проект оценивается как более эффективный и по всем остальным показателям. И наоборот: снижение эффективности проекта по одному из показателей означает точно такой же вывод в отношении остальных показателей. Очевидно, что снижение эффективности по разным показателям происходит в разной мере. Окончательная оценка проекта – за лицом, принимающим решение о финансировании проекта.
Заметим, что здесь рассматривались лишь проекты с классической схемой инвестирования – сначала расходы, затем отдача. Проекты с неординарными денежными потоками и проблемы выбора проектов для реализации среди альтернативных рассмотрены в специальной литературе, например [5, 10].


стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>