ОГЛАВЛЕНИЕ

1.8. Внутренняя доходность облигации.
Временная структура процентных ставок.
Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным видом таких ценных бумаг являются облигации.
Облигация – это обязательство выплатить в определенные моменты времени в будущем заранее установленные денежные суммы. Основные параметры облигации – номинальная цена (номинал), дата погашения, размеры и сроки платежей по облигации. С момента эмиссии и до погашения облигации продаются и покупаются на фондовом рынке. Рыночная цена облигации устанавливается на основе спроса и предложения и может быть равна ее номиналу, выше или ниже номинала.
Будем рассматривать облигации в условиях определенности: эмитент не может отозвать облигацию до установленной даты погашения, платежи по облигации задаются фиксированными значениями в определенные моменты времени. При этом поступление будущих доходов точно в указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным. Про такие облигации говорят, что они не имеют кредитного риска. Основным фактором риска остается процентный риск – риск изменения рыночных процентных ставок.
Рассмотрим облигацию, по которой через t1 , t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0, где 0 < t1 < t2 <…< tn, обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Очевидно, что Ci > 0, i = 1, 2,…, n. Пусть P – рыночная стоимость облигации в момент t = 0. Тогда естественно считать, что P < С1 + С2 +…+ Сn. Момент времени t = 0 – это момент, в который предполагается произвести инвестицию в облигацию или момент покупки облигации. Момент времени t = tn, когда выполняется последний платеж по облигации, называют моментом погашения облигации, а срок T = tn (в годах) – сроком до погашения. Два показателя в основном интересуют инвестора – доходность и цена облигации. Внутренняя доходность – самый важный и наиболее широко используемый показатель оценки облигации. Известен также как доходность к погашению.
Определение. Годовая внутренняя доходность облигации r – это годовая ставка сложных процентов, по которой современная стоимость потока платежей по облигации равна рыночной стоимости облигации в момент t = 0:
. (8.1)
Здесь внутренняя доходность облигации определяется как годовая доходность денежного потока С1, С2,…,Сn, стоимость которого P (см. параграф 1.4).
В зарубежной практике существует рыночное соглашение, согласно которому если платежи по облигации выплачиваются через равные промежутки времени m раз в году, то для дисконтирования членов денежного потока применяется годовая номинальная ставка внутренней доходности j :
.

Свойства внутренней доходности облигации.
1. Ставка внутренней доходности облигации равна преобладающей рыночной процентной ставке для инвестиций в альтернативные финансовые инструменты с такой же степенью риска. Или короче – ставка внутренней доходности облигации равна доходности сравнимых с ней инструментов.
2. Годовая внутренняя доходность облигации – это ставка доходности, получаемая инвестором, если выполняются два условия:
1) инвестор владеет облигацией до момента ее погашения t = tn;
2) все платежи по облигации реинвестируются по ставке, равной внутренней доходности облигации r в момент ее покупки.
Покажем, что при выполнении этих условий среднегодовая доходность инвестиции в облигацию равна ее внутренней доходности. Покупку облигации, затем владение ею до момента погашения с реинвестированием поступающих доходов будем рассматривать как финансовую операцию (см. параграф 1.2). Срок операции T = tn лет. Денежная оценка начала операции P(0) – это рыночная цена покупки облигации P в момент t = 0. Согласно (8.1), P = . Денежная оценка момента погашения облигации t = tn для инвестора при выполнении условий 1), 2) – это сумма P(tn) = . Согласно определению доходности финансовой операции (2.2):
P(tn) = P ,
где - среднегодовая доходность инвестиции в облигацию на срок T = tn лет. Подставим в это равенство выражения для P и P(tn):
= .
Откуда получаем r = .
Таким образом, среднегодовая доходность инвестиции в облигацию, равная r, реализуется в день погашения облигации при выполнении условий 1), 2). Отсюда другое название внутренней доходности – доходность к погашению. Если пункты 1) или 2) не выполняются, то реальная доходность, получаемая инвестором, может быть выше или ниже внутренней доходности облигации. Риск, с которым сталкивается инвестор при покупке облигации, – это риск того, что будущие ставки реинвестирования будут ниже ставки внутренней доходности. Этот риск называется реинвестиционным риском, или риском ставки реинвестирования.
Внутренняя доходность облигации используется для оценки привлекательности альтернативных инструментов инвестирования. При прочих равных условиях, чем выше доходность к погашению облигаций данного выпуска, тем более привлекательным он является.
Рассмотрим задачу определения внутренней доходности облигации. Внутренняя доходность облигации – это решение уравнения (8.1). Согласно теореме 4.1, это уравнение при выполнении условия P < С1 + С2 +…+ Сn имеет единственное положительное решение. Это решение находят, используя приближенные методы. Один из них – метод линейной интерполяции (изложен в параграфе 1.4, примеры 4.2, 4.4).
Пример 8.1. Определить годовую внутреннюю доходность r облигации, поток платежей по которой указан в таблице:

Срок, годы
0
1
2
Платеж, д.е.
-948
50
1050

Приближенное значение внутренней доходности облигации найдем методом линейной интерполяции. Согласно определению годовой внутренней доходности облигации
.
Необходимо найти решение уравнения F(r) = 0, где
F(r) = .
Так как 948 < 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F(0,07) = – 15,8396, F(0,08) = 1,4979, то искомая внутренняя доходность r (0,07; 0,08). По формуле (4.8) находим первое приближение
rл1 = 0,07 + .
При этом значение функции F(rл1) = 0,02567 > 0. Значит, решение r (0,07; 0,07914). Следующий шаг метода дает
rл2 = 0,07 + .
Поэтому можно считать, что r 0,07913 или 7,913 % с точностью до третьего знака после запятой.
Определение. Облигация называется чисто дисконтной, если по этой облигации производится только одна выплата.
Определение. Внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без кредитного риска, срок до погашения которой t лет, называется годовой безрисковой процентной ставкой для инвестиций на t лет. Другое название – годовая спот-ставка.
Пусть А – погашаемая сумма по чисто дисконтной облигации, t лет - срок до погашения, Р – рыночная цена облигации в момент t = 0, r(t) – внутренняя доходность облигации. Тогда согласно определению внутренней доходности облигации,
.
Отсюда
(8.2)
– годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет.
В качестве примера чисто дисконтных облигаций, не имеющих кредитного риска, можно привести бескупонные облигации Казначейства США. Доходности казначейских бумаг служат эталоном при оценке всех видов облигаций.
Рассмотрим, как можно оценить любую облигацию, если на рынке имеются чисто дисконтные облигации. Пусть на рынке имеется облигация В без кредитного риска, по которой через t1 , t2,…, tn лет обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Облигацию В можно оценить, если рассматривать ее как портфель из чисто дисконтных облигаций В1, В2,…, Вn со сроками погашения через t1 , t2,…, tn лет соответственно. Предположим, выполняются следующие условия:
1) известны годовые безрисковые процентные ставки r(t1), r(t2), …, r(tn) для инвестиций на t1 , t2,…, tn лет, отсчитанных от момента t = 0;
2) чисто дисконтные облигации В1, В2,…, Вn можно приобрести на рынке в любом количестве без трансакционных расходов. Тогда для этих облигаций имеем
,
i = 1, 2, …, n, где Pi – текущая рыночная цена одной облигации i – го вида, Ai – погашаемая сумма по этой облигации, r(ti) - ее внутренняя доходность. Платеж С1 от портфеля погашается облигациями В1, платеж С2 – облигациями В2, и т.д., платеж Сn – облигациями Вn. Тогда в портфеле , i = 1, 2, …, n, облигаций каждого вида. Следовательно, стоимость портфеля в момент t = 0 равна
.
Тогда рыночная стоимость облигации В в момент t = 0 составляет
. (8.3)
Каждый платеж по облигации В индивидуально дисконтируется по соответствующей безрисковой процентной ставке.
Определение. Набор годовых безрисковых процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tn) для инвестиций на t1 , t2,…, tn лет, отсчитанных от момента t = 0, где , называется временной структурой процентных ставок.
Таким образом, если известна временная структура процентных ставок, то стоимость облигации, не имеющей кредитного риска, может быть рассчитана по формуле (8.3).
Определение. График функции r = r(t), где r(t) - годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет, называется кривой доходностей (или кривой спот-ставок).
В условиях реального рынка всегда существует лишь конечный набор чисто дисконтных облигаций (например, не существует бескупонных долговых обязательств Казначейства США со сроком погашения больше одного года). Поэтому кривую доходностей невозможно построить только по наблюдениям на рынке. В связи с этим строят теоретическую кривую доходностей. Для этого, используя доходности реально существующих чисто дисконтных облигаций, рассчитывают теоретические значения доходностей для различных сроков инвестирования. Существует несколько методов получения теоретических значений доходностей. Один из них называется «процедурой бутстреппа». Рассмотрим этот метод на примере.
Пример 8.2. На рынке имеются государственные облигации А, В, С, D, Е, потоки платежей по которым и цены в момент t = 0 указаны в таблице:


Срок в годах

P

0,5
1
1,5
2
2,5

A
108




105,27
B

121



113,83
C
10
11
109


118,71
D
11
11
11
120

135,64
E
8
8
8
8
108
118,84

А и В – чисто дисконтные облигации. Их внутренние доходности r(0,5) = 5,25 % и r(1) = 6,3 %, определенные по формуле (8.2), являются безрисковыми процентными ставками для инвестиций на 0,5 года и 1 год. Зная эти две ставки, можно вычислить теоретическую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года, используя облигацию С. Цена облигации С по формуле (8.3) равна
118,71 = ,
где r(0,5) = 0,0525, r(1) = 0,063. Тогда
118,71 = .
Откуда получаем теоретическую годовую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года: r(1,5) = 6,9 %. Данная ставка – это та ставка, которую предлагал бы рынок по 1,5 - годовым чисто дисконтным облигациям, если бы такие ценные бумаги существовали на самом деле.
Зная теоретическую 1,5 – годовую безрисковую процентную ставку, можно вычислить теоретическую двухлетнюю безрисковую процентную ставку, используя облигацию D:
135,64 = .
Откуда r(2) = 7,1 % - теоретическая двухлетняя безрисковая процентная ставка. Применяя еще раз описанную процедуру для облигации E, определяем теоретическую 2,5 - летнюю безрисковую процентную ставку: r(2,5) = 7,9 %.
Безрисковые процентные ставки r(0,5), r(1), r(1,5), r(2), r(2,5), построенные с помощью такого процесса, задают временную структуру процентных ставок по 2,5 - летнему диапазону относительно момента времени, к которому относятся цены облигаций.
Зная временную структуру процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tn), можно построить кривую доходностей. Один из методов построения кривой – линейное интерполирование. Полагают
, , i = 1, 2, …, n – 1. (8.4)

Кривая доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, при использовании линейного интерполирования имеет вид:
Рис. 1.8.1
Пользуясь кривой доходностей, можно определить приближенное значение безрисковой процентной ставки для инвестиций на любой срок от t1 до tn лет. Например, так как 1,25 [1;1,5], то
r(1,25) r(1) = 0,066.
Другой способ построения кривой доходностей – интерполирование (n – 1) – го порядка:
r(t)
+ (8.5)
…………………..
+ ,
где t [t1, tn]. Тогда r(t) – многочлен степени (n – 1) относительно переменной t. При t = t1, t2, …, tn значения многочлена совпадают с r(t1), r(t2), …, r(tn) соответственно. Уравнение кривой доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, имеет вид:
r(t) 0,00633 t4 - 0,031 t3 + 0,04442 t2 - 0,00325 t + 0,0465, где t [0,5; 2,5].
Пользуясь полученной кривой, вычислим стоимость облигации без кредитного риска, платежи по которой относительно момента t = 0 указаны в таблице:

Срок, годы
0,7
1,7
Платеж, д.е.
10
115

Рыночная стоимость данной облигации в момент t = 0 составляет, согласно (8.3):
P = .
Приближенные значения годовых безрисковых процентных ставок для инвестиций на 0,7 года и 1,7 года равны соответственно:
r(0,7) 0,00633 (0,7)4 - 0,031 (0,7)3 + 0,04442 (0,7)2 - 0,00325 0,7 + 0,0465 = 0,0569,
r(1,7) 0,00633 (1,7)4 - 0,031 (1,7)3 + 0,04442 (1,7)2 - 0,00325 1,7 + 0,0465 = 0,0699.
Тогда рыночная стоимость данной облигации
P = = 112,14.
Рассмотренная «процедура бутстреппа» получения теоретических значений безрисковых процентных ставок может быть использована, если на рынке имеются подходящие для этой процедуры облигации. Рассмотрим еще один метод получения теоретических значений процентных ставок.
Предположим, известна временная структура процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tk) для инвестиций на t1 , t2,…, tk лет, а на рынке имеется облигация без кредитного риска стоимостью P, по которой через t1 , t2,…, tk, tk + 1, …, tn лет обещаны выплаты С1, С2,…, Сk, Сk+1,…, Сn соответственно. Приближенные значения безрисковых процентных ставок r(tk+1), r(tk+2), …, r(tn) можно найти, используя линейную интерполяцию на отрезке [tk, tn]. Для этого полагают r(tn) = r. Безрисковая процентная ставка r(tk) известна. Тогда
,
,
……………….. (8.6)
,
r(tn) = r,
где tk + 1, tk + 2, …, tn – 1 [tk, tn].
Так как стоимость облигации P в момент t = 0 известна, то
. (8.7)
Подставляя в это выражение вместо r(tk + 1), r(tk + 2), …, r(tn) равенства (8.6), получим уравнение с одним неизвестным r. Решение этого уравнения находим методом линейной интерполяции. Зная r, по формулам (8.6) находим безрисковые процентные ставки r(tk+1), r(tk+ 2), …, r(tn). Таким образом, имеем временную структуру процентных ставок r(t1), r(t2), …, r(tk), r(tk+1),…, r(tn) по tn – летнему диапазону относительно момента t = 0.
Пример 8.3. Используя линейное интерполирование, построить кривую доходностей, если известны годовые безрисковые процентные ставки:
r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1,5) = 0,08
и дана облигация (без кредитного риска) со следующим потоком платежей:

Срок, годы
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Платеж, д.е.
-100
5
5
5
5
105

Уравнение (8.7) для данной облигации имеет вид:
.
Используем линейное интерполирование на отрезке [1,5; 2,5]. Так как r(1,5) = 0,08, r(2,5) = r, то r(2) 0,08 + r = 0,04 + 0,5 r. Тогда достаточно решить уравнение
86,01581 = .

Решая это уравнение методом линейной интерполяции, найдем r 0,10489.
Следовательно, r(2) 0,04 + 0,5 r = 0,09245, r(2,5) 0,10489. Таким образом, по заданным r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1,5) = 0,08 и вычисленным
r(2) 0,092; r(2,5) 0,105 значениям безрисковых процентных ставок можно построить кривую доходностей:

Рис. 1.8.2
Кривая доходностей, полученная для облигаций, не имеющих кредитного риска, используется также для оценки рискованных инструментов на рынке. Теоретические значения безрисковых процентных ставок с добавлением премии за риск используются для оценки всех видов облигаций. Кроме того, форма кривой доходностей рассматривается как отображение вероятного направления будущих изменений процентных ставок денежного рынка. На рис. 1.8.3 показаны четыре основные формы кривой доходностей: 1 – нормальная (возрастающая) кривая; 2 – обратная (убывающая) кривая; 3 – «горбатая» кривая; 4 – плоская (горизонтальная) кривая.


Рис. 1.8.3
Есть две основные теории, объясняющие форму кривых доходностей, – теория ожиданий и теория сегментации рынка [13, 14]. Возрастающая кривая чаще всего означает предполагаемый рост темпа инфляции. Убывающая кривая чаще всего свидетельствует об ожидаемом снижении темпа инфляции. Горизонтальная кривая доходностей означает, что годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы. Горизонтальная кривая используется при изучении ряда важнейших понятий теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом. Например таких, как дюрация и показатель выпуклости облигации, стоимость инвестиции в облигацию, иммунизация портфеля облигаций.



ОГЛАВЛЕНИЕ