ОГЛАВЛЕНИЕ

1.9. Купонная облигация. Зависимость цены облигации от внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения.
Облигация называется купонной, если по этой облигации производятся регулярные выплаты фиксированного процента от номинала, называемые купонными, и выплата номинала при погашении облигации. Последний купонный платеж производится в день погашения облигации.
Будем использовать следующие обозначения:
A - номинал облигации;
f - годовая купонная ставка;
m - число купонных платежей в году;
q - сумма отдельного купонного платежа;
t = 0 – момент покупки облигации или момент, когда предполагается инвестирование в облигацию;
T (в годах) - срок до погашения облигации от момента t = 0;
- время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации (до момента t = 0).
Период времени , измеряемый в годах, называется купонным периодом. В конце каждого купонного периода производится купонный платеж. Так как облигация может быть куплена в любой момент между купонными выплатами, то ? изменяется в пределах от 0 до . Если облигация куплена сразу после купонной выплаты, то = 0. ? = означает покупку облигации непосредственно перед купонным платежом. Так как покупка облигации производится только после оплаты очередного купона, то ? не принимает значение . Таким образом, . Если облигация продается через время после купонной выплаты, а до погашения остается n купонных платежей, то срок до погашения облигации равен
.


Рис. 1.9.1
Тогда . Отсюда , где n – целое неотрицательное число. Следовательно,
если T m – целое, то n = T m и = 0;
если T m – не целое, то n = [T m] + 1 и .
Пример 9.1. По облигации производятся купонные выплаты каждые три месяца. Срок до погашения облигации а) 10,5 месяцев; б) 6 месяцев. Определить число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, а также время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации.
а) Число купонных платежей в году m = 4. Срок до погашения облигации (в годах) равен . Так как Tm = 3,5 – не является целым, то число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, n = [3,5] + 1 = 4. Время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации, равно = = 0,125 года. Значит, облигация куплена через 1,5 месяца после купонной выплаты.
б) Число купонных платежей в году m = 4. Срок до погашения облигации = 0,5 года. Так как T m = 2 – является целым, то n = T m = 2. Тогда = 0. Действительно, = = 0. Значит, облигация куплена сразу после купонной выплаты.
Пусть P – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, купоны по которой выплачиваются m раз в год. Предположим, облигация продается через время после купонной выплаты, когда до погашения остается n купонных выплат. Формула (8.1) для купонной облигации имеет вид:
(9.1)
или
.
Годовая внутренняя доходность r купонной облигации может быть определена из равенства (9.1). Так как обычно величина r мала, то
.
Тогда последнее равенство можно переписать в виде:
.
Вычислив сумму n членов геометрической прогрессии и учитывая, что , получим еще одну формулу для расчета внутренней доходности купонной облигации:
. (9.2)
Для приблизительной оценки внутренней доходности купонной облигации пользуются «купеческой» формулой:
. (9.3)
Пример 9.2. По 9 % - й купонной облигации номиналом 1000 д.е. обещают производить каждые полгода купонные выплаты. Требуется определить внутреннюю доходность облигации, если ее стоимость равна 1050 д.е., а до погашения остается 3,8 года.
Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,09, m = 2, = 45 д.е., T = 3,8 года, P = 1050 д.е. Найдем число купонных платежей n, оставшихся до погашения облигации, а также время ?, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации.
Так как произведение Tm = 7,6 – не является целым, то n = [7,6] + 1 = 8. Тогда = = 0,2 года.
Для расчета внутренней доходности облигации по формуле (9.2) необходимо решить уравнение
.
Методом линейной интерполяции находим r 8,004%.
Приблизительную оценку внутренней доходности облигации получим по «купеческой» формуле (9.3):
= 7,5%.
Рассмотрим факторы, влияющие на цену купонной облигации.
Зависимость цены купонной облигации от внутренной доходности. Цену купонной облигации в момент t = 0 будем рассматривать как функцию ее внутренней доходности r. Используем обозначение P(r).
Теорема 9.1. Функция P(r) является убывающей и выпуклой.
Доказательство. Согласно (9.1),
.
Функция P(r) непрерывна и дифференцируема на множестве . Так как
,
,
то P(r) – убывающая выпуклая функция на множестве . Кроме того, P(r = 0) = qn + A, . График функции P(r) имеет вид:


Рис. 1.9.2
Уменьшение внутренней доходности облигации вызывает рост ее цены. И наоборот: увеличение внутренней доходности облигации вызывает падение ее цены. В этом состоит фундаментальное свойство облигации – ее цена изменяется в направлении, противоположном направлению изменения ее доходности. Заметим, что зависимость P(r) устанавливается для заданного момента времени.
Зависимость цены купонной облигации от купонной ставки. Рассмотрим облигацию номиналом A, купонные выплаты по которой производятся m раз в году по годовой купонной ставке f. Пусть P – цена облигации сразу после купонной выплаты ( = 0), r - ее годовая внутренняя доходность в этот момент времени. Цену облигации сразу после купонной выплаты называют котируемой.
Если P = A, то говорят, что облигация продается по номиналу.
Если P > A, то говорят, что облигация продается с премией П = P –A.
Если P < A, то говорят, что облигация продается с дисконтом Д = A– P.
Подчеркнем, что понятия премии и дисконта определены только для котируемой цены облигации, т.е. соответствуют значению = 0.
Теорема 9.2. Купонная облигация продается сразу после купонной выплаты по номиналу, с премией, с дисконтом тогда и только тогда, когда f = r, f > r, f < r соответственно.
Доказательство. По условию = 0. Тогда по формуле (9.2) котируемая цена облигации равна:
.
Рассмотрим разность
P – A = .
Отсюда P = A f = r ; P > A f > r ; P < A f < r. Теорема доказана.
Обозначим через Pn, Пn, Дn котируемую цену облигации, размер премии и размер дисконта соответственно в момент сразу после очередной купонной выплаты, когда до погашения облигации остается n купонных платежей. Так как = 0, то
Pn = . (9.4)
При f > r облигация продается с премией:
Пn = Pn - A = . (9.5)
При f < r облигация продается с дисконтом:
Дn = A - Pn = . (9.6)
Пример 9.3. По 8% - ной купонной облигации номиналом 1000 д.е. и сроком до погашения 20 лет обещают ежегодно производить купонные выплаты. Определить размер премии (дисконта), если облигация продается с доходностью к погашению а) 9% годовых; б) 7% годовых.
Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,08, m = 1, T = 20 лет, n =20, а) r = 0,09; б) r = 0,07.
а) Так как f < r, то облигация продается с дисконтом. Согласно (9.6),
Д20 = = 91,285.
б) Так как f > r, то облигация продается с премией. Согласно (9.5),
П20 = = 105,940.

Зависимость цены купонной облигации от срока до погашения.
Пусть дана облигация номиналом A, купонные выплаты по которой производятся m раз в году по годовой купонной ставке f. Предположим, годовая внутренняя доходность облигации остается неизменной и равной r до момента ее погашения. Будем считать ? = 0. Рассмотрим зависимость котируемой цены купонной облигации от срока до погашения. Пусть в момент t = 0 сразу после купонного платежа до погашения облигации осталось k купонных периодов (k купонных выплат). Тогда срок до погашения облигации равен (лет). Зависимость котируемой цены Pk купонной облигации от срока до погашения будем рассматривать как зависимость от числа оставшихся до погашения купонных выплат k. Из (9.4) получаем:
Pk = ,
где k = 0, 1, 2, …, n, ... . Котируемая цена облигации в день погашения сразу после выплаты последнего купона, когда k = 0, равна номиналу облигации, т.е. Pk = 0 = A. Кроме того, - стоимость бессрочной облигации (см. стоимость вечной ренты, параграф 1.5).
Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = ,
определенную на множестве . Значения этой функции F(0), F(1), F(2), , F(n),… в точках x = 0, 1, 2,…, n,..., т.е. в точках x = k, где k – неотрицательное целое, – это котируемые цены облигации Pk = 0, P1, P2, …, Pn, … соответственно в день погашения, за 1 купонный период до погашения, за 2,…, n купонных периодов до погашения и т.д. Таким образом, имеем равенство:
F(k) = Pk, k = 0, 1, 2, …, n, … , (9.7)
причем, F(0) = Pk = 0 = A и .
Докажем лемму.
Лемма 9.1. Справедливы следующие утверждения:
1) F(x) является возрастающей вогнутой функцией на множестве , если f > r ;
2) F(x) является убывающей выпуклой функцией на множестве , если f < r ;
3) F(x) является постоянной функцией на множестве , если f = r.
Доказательство. Функция F(x) непрерывна и дифференцируема на множестве . Тогда
F(x)/ = ,
F(x)// = .
Отсюда следует утверждение леммы. Так как F(0) = A, то при f = r функция F(x) = A для каждого . Лемма доказана.
Теорема 9.3. Если внутренняя доходность облигации r не изменяется в течение срока ее обращения, то
1) котируемая цена облигации, продающейся с премией, уменьшается с уменьшением срока до погашения и равна номиналу облигации в день погашения;
2) котируемая цена облигации, продающейся с дисконтом, увеличивается с уменьшением срока до погашения и равна номиналу облигации в день погашения;
3) котируемая цена облигации, продающейся по номиналу, остается неизменной и равной номиналу облигации в течение всего срока ее обращения.
Доказательство. Пусть n1 < n2, где n1 и n2 - число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, и в обоих случаях = 0.
1) По теореме 9.2 облигация продается с премией, если f > r . Тогда по лемме F(x) – возрастающая функция. Значит, если n1 < n2, то F(n1) < F(n2). Используя равенство (9.7), для котируемых цен облигации получим Pn1 < Pn2. Первое утверждение доказано.

Рис. 1.9.3
2) По теореме 9.2 облигация продается сдисконтом, если f < r . Тогда по лемме F(x) – убывающая функция. Значит, если n1 < n2, то F(n1) > F(n2). Используя равенство (9.7), для котируемых цен облигации получим Pn1 > Pn2. Второе утверждение доказано.


Рис. 1.9.4
3) По теореме 9.2 облигация продается по номиналу, если f = r. Согласно лемме, F(x) = A на множестве . Используя равенство (9.7), для котируемых цен облигации получим Pk = A, где k = 0, 1, 2, …, n, … .

Рис. 1.9.5
Следующая теорема является следствием предыдущей.
Теорема 9.4. Если внутренняя доходность купонной облигации r не изменяется в течение срока ее обращения, то размер премии или дисконта уменьшается при уменьшении срока до погашения.
Доказательство. Пусть n1 < n2, где n1 и n2 - число купонных платежей, оставшихся до погашения облигации, и в обоих случаях = 0.
Если облигация продается с премией, то по теореме 9.3 для котируемых цен облигации имеем Pn1 < Pn2. Размер премии при продаже облигации за n1 купонных платежей до погашения составляет Пn1 = Pn1 – A, а при продаже облигации за n2 купонных платежей до погашения Пn2 = Pn2 – A. Следовательно, Пn1 < Пn2 – величина премии уменьшается при уменьшении срока до погашения и равна нулю в день погашения облигации. Действительно, котируемая цена в день погашения (сразу после выплаты последнего купона) Pk = 0 = A. Тогда размер премии в день погашения облигации равен Пk = 0 = Pk = 0 – A = 0.
Если облигация продается с дисконтом, то для котируемых цен облигации имеем Pn1 > Pn2, где n1 < n2. Размер дисконта при продаже облигации за n1 и n2 купонных платежей до погашения равен Дn1 = A – Pn1 и Дn2 = A – Pn2 соответственно. Следовательно, Дn1 < Дn2 – величина дисконта уменьшается при уменьшении срока до погашения и равна нулю в день погашения облигации.
Пример 9.4. Рассчитаем размер премии (дисконта) для облигации из примера 9.3 за 20 и 10 лет до ее погашения при условии, что внутренняя доходность облигации r не изменяется в течение срока ее обращения.
а) Облигация продается с дисконтом (f = 0,08, r = 0,09):
Согласно формуле (9.4)
P20 = 908,715 ; P10 = 935,823 .
Тогда
Д20 = A – P20 = 91,285; Д10 = A – P10 = 64,177.
б) Облигация продается с премией (f = 0,08, r = 0,07):
P20 = 1105,940 ; P10 = 1070,236;
П20 = P20 - A = 105,940; П10 = P10 - A = 70,236.
Если облигация продается через время после купонной выплаты, где , а до погашения остается n купонных платежей, то ее цена в этот момент может быть определена по формуле (9.2):
= Pn.
Здесь Pn – котируемая цена облигации в момент сразу после купонной выплаты, когда до погашения облигации остается n купонных платежей(см.(9.4)). При изменении от 0 до цена облигации Р увеличивается от Pn до Pn по показательному закону:


Рис. 1.9.6
Добавка к котируемой цене, накопленная за время , называется накопленным купонным доходом. При торговле на бирже принято считать, что купонный доход накапливается равномерно в течение купонного периода и равен , где - число дней в купонном периоде, - число дней в сроке . Так как = qm, то для покупателя на бирже цена облигации через время после купонной выплаты составит
PБ = Pn + qm, (9.8)
что несколько отличается от расчета цены по формуле (9.2).



ОГЛАВЛЕНИЕ