<< Предыдущая

стр. 2
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

.
Заметим, что при n = 0 разность D1 – D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.
Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.
.
Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим



.
По предположению индукции Bk > 0.

,
так как , при . Следовательно, Bk+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n. Значит, Dn+1 – Dn > 0. Утверждение доказано.
На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при , m = 1, ? = 0.


Рис. 1.11.2
6с. Пусть . Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет (? = 0), равна
.
Рассмотрим разность
Dn+1 – Dn = ,
где
,
a = (1 – p)(1 – p – fp), .
Преобразуем это выражение к виду:
. (11.19)
Легко убедиться, что если , то B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n достаточно велико, например , то B < 0 (следовательно, ). Действительно,

.
Следовательно, существует срок, когда разность изменяет знак. В качестве приближенного значения такого срока можно взять (целую часть). Число получено при условии, что , когда выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является приближенным с точностью до . Следовательно, чем ближе значения r и f , тем точнее полученное данным методом значение , что и подтверждается расчетами для r = 25% и ряда значений f.

f

(лет)
Значение n (лет), при котором
Dn+1 - Dn меняет знак (точное)
3 %
9,7
9
12
5 %
10,3
10
12
10 %
12,3
12
13
15 %
16,5
16
17
20 %
29,0
29
30
23 %
66,5
66
67
24 %
129,0
129
129

Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Df1
1
1,94
2,82
3,60
4,29
4,87
5,34
5,70
5,96
6,13
6,21
6,24
6,22
6,16
6,08
Df2
1
1,90
2,68
3,35
3,90
4,34
4,68
4,93
5,11
5,23
5,30
5,34
5,36
5,35
5,33

Покажем, что если , то для любого .
Имеем
,
где
.
Установим знак B при условии .
B

,
так как и . Значит .
Следовательно, если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Таким образом, если облигации A1, A2, …, Ak продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n1 < n2 < …< nk < n0, то при прочих равных условиях Dn1 < Dn2 <…< < , где Dn1 , Dn2 ,…, – дюрации этих облигаций.
Покажем, что значение дюрации облигации со сроком погашения n0 удовлетворяет неравенству , где при m = 1 (см. пункт 6а). Предположим противное. Пусть . Следовательно . Отсюда, учитывая, что при , получаем . Противоречие, так как . Следовательно, при f < r характер зависимости дюрации облигации от срока до погашения имеет вид, показанный на рисунке 1.11.3. На этом рисунке показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения для купонных ставок .



Рис. 1.11.3.

<< Предыдущая

стр. 2
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ