ОГЛАВЛЕНИЕ

1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.
До сих пор мы обсуждали рыночную цену облигации в момент t = 0 – момент покупки облигации. Рассмотрено влияние трех важнейших факторов на цену облигации – внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Установлено, что мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке является дюрация облигации, а показатель выпуклости показывает насколько точно дюрация оценивает эту чувствительность.
Проблема оценки облигации существует не только тогда, когда облигация покупается или продается на рынке, но и когда она находится у владельца. Для оценки стоимости облигации через t лет после покупки, где t [0, T], T лет – срок до погашения облигации, используется понятие стоимости инвестиции в момент t.
Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tn = T лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…,Сn соответственно.
Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент t [0, T] – это стоимость потока платежей по облигации С1, С2,…,Сn в момент t.
Напомним, что определение стоимости потока платежей в момент t приведено в параграфе 1.4. Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Как следует из определения, P(t) - это сумма всех членов потока платежей по облигации, приведенных к моменту времени t. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t [tm, tm + 1]. Тогда
, (12.1)
где F(tk, t) - множитель наращения k – го платежа на временном отрезке [tk, t], k = 1, 2,. .., m; ?(t, tk) - дисконтный множитель k – го платежа на отрезке [t, tk], k = m + 1,…, n.
Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент t имеет две составляющие – результат реинвестирования поступивших до момента t платежей по облигации:
Rt =
и рыночную цену облигации в момент t:
Pt = .
Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t = 0 - это рыночная цена покупки облигации, т.е. P(0) = P.
Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений:
1) все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются;
2) в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная t лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене Pt .
Тогда
P(t) = Rt + Pt . (12.2)
Очевидно, что Rt определяется набором годовых безрисковых ставок для инвестиций на сроки (t – t1), (t – t2) лет и т.д. для всех платежей по облигации до момента t. Рыночная цена Pt определяется количеством оставшихся до погашения платежей по облигации и временной структурой процентных ставок на момент t по временному диапазону (T – t) лет.
Рассмотрим облигацию, по которой через t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно. Пусть t [ tm, tm + 1]. Тогда
Rt = , (12.3)
Pt = , (12.4)
где r(t – t1), …, r(t – tm) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (t – t1), …, (t – tm) лет соответственно в моменты t1, t2,…, tm;
r(tm + 1 - t), …, r(tn - t) – годовые безрисковые процентные ставки для инвестирования на (tm+1 - t), …, (tn - t) лет соответственно в момент t.
Пример 12.1. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки (t = 0):
Срок, годы
1
2
3
4
5
6
Платеж, д.е.
20
20
20
15
15
135
Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:
Ставка, %
17
16
15
15
15,5
16
Срок инвестирования, годы
2,5
1,5
0,5
0,5
1,5
2,5
Момент инвестирования
1
2
3
3,5
3,5
3,5
Результат реинвестирования поступивших до момента t = 3,5 платежей по облигации составляет
Rt = 20(1 + 0,17)2,5 + 20(1 + 0,16)1,5 + 20(1 + 0,15)0,5 = 76,0486 (д.е.)
Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет
Pt = = 119,2231(д.е.)
Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.).
Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев:
1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации;
2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными , а затем уже не менялись.
Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P( , t).

Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.
1. P(r, t) и P( , t) – непрерывные возрастающие функции времени:
P(r, t) = , (12.5)
P( , t) = . (12.6)
Действительно, согласно (12.2),
P(r, t) = Rt(r) + Pt(r).
Здесь Rt(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, Pt(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t  [tm, tm+1]. Тогда планируемая стоимость инвестиции
P(r, t) = + =
= = .
Здесь
P(r) =
– рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок.
Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна
P( , t) = Rt( ) + Pt( ).
Здесь Rt( ) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке , Pt( ) – фактическая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Выражение (12.6) для фактической стоимости инвестиции получаем аналогично:
P( , t) = + =
= = .
Здесь
P( ) =
– оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации.
(12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей.
2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой.
Доказательство. Пусть > r. Рассмотрим момент t = 0. Тогда P( ) < P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или
P( , 0) < P(r, 0). (12.7)







Рис. 1.12.1
Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда
P(r, tn) = ,
P( , tn) = .
Так как > r, то
P( , tn) > P(r, tn). (12.8)
Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P( , t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках ?1 и ?2. Следовательно
P( ,?1) = P(r, ?1) и P( ,?2) = P(r, ?2).
= и = .
Тогда
.

Отсюда ?1 = ?2 = t*.




Рис. 1.12.2
Случай, когда < r, доказывается аналогично. Найдем t*.
P( , t*) = P(r, t*),
= ,
.
Отсюда
t* = . (12.9)
3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).
Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.
P( , D) P(r, D) (12.10)
для любых значений .
Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то = r и P( , D) = P(r, D).
Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными , то в момент t = D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P( , D) является функцией . Согласно (12.6),
P( , D) = .
Продифференцируем это выражение по :
.
Так как = (см. параграф 1.11), то
.
Пусть > r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D( ) < D(r) = D. Отсюда P( , D)/ > 0. Значит, P( , D) – возрастающая функция . Следовательно,
P(r, D) < P( , D).
Если < r, то D( ) > D(r) = D. Тогда P( , D)/ < 0. Значит, P( , D) – убывающая функция . Следовательно,
P( , D) > P(r, D). (12.11)
Таким образом, при любых значениях выполняется неравенство (12.10). Заметим, что при ? r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана.
Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1 – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов.
Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r1 и r2 – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r1 < r < r2, то
t*(r2) < D < t*( r1). (12.12)
Доказательство. Рассмотрим r1 < r. Согласно теореме
P(r1, D) > P(r, D).
Так как P(r1, D) = P(r1)(1 + r1)D и P(r, D) = P(r)(1 + r)D, то
P(r1)(1 + r1)D > P(r)(1 + r)D.
Отсюда
,
.
Так как r1 < r, то P(r1) > P(r), , . Тогда
D < = t*(r1).
Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).







Рис. 1.12.3
Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:
1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;
2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.
В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r1) и P(r2), где r1 = 9%, r2 = 11% годовых.
Номер платежа
Срок платежа ti
Сумма платежа Ci
Ci(0)
r = 0,1
r1 = 0,09
r2 = 0,11

ti
1
1
10
9,0909
9,1743
9,0090
0,09091
0,09091
2
2
10
8,2645
8,4168
8,1162
0,08264
0,16529
3
3
110
82,6446
84,9402
80,4311
0,82645
2,47934


Сумма
100,0000
102,5313
97,5563
1,00000
2,73554

Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки D = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна
P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)D = 129,7870.
Фактические стоимости
P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)D = 129,7891.
P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)D = 129,7891.
В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.
2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно
t*(0,09) = = 2,73726
t*(0,11) = = 2,73381.
Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09).



ОГЛАВЛЕНИЕ