стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1.13. Инвестиции в портфель облигаций.
Дюрация и показатель выпуклости портфеля.
Рассмотрим портфель из облигаций, не имеющих кредитного риска. Риск неплатежа от портфеля отсутствует. Однако в условиях рынка остается процентный риск. Изменение процентных ставок на рынке вызывает изменение рыночных цен облигаций, входящих в портфель, а следовательно, изменение стоимости всего портфеля.
Предположим, на рынке имеются облигации без кредитного риска m видов, цены которых в момент t = 0 равны соответственно P1, P2,…, Pm. Предположим также, что на рынке можно купить любое количество облигаций, в том числе нецелое. Пусть ?j – сумма, затраченная инвестором на приобретение облигаций j – го вида, j = 1, 2,…, m. Тогда в момент t = 0 сформирован портфель облигаций П(?1, ?2,…, ?m), стоимость которого равна ? = . kj = и – соответственно количество и доля облигаций j – го вида в портфеле, j = 1, 2,…, m. Следовательно, . Пусть через t1, t2,…, tn лет от момента t = 0 производится платеж хотя бы по одному виду облигаций, входящих в портфель. Обозначим через платеж по облигации j – го вида в момент ti, где i = 1, 2, …, n. Тогда R1, R2, …, Rn в моменты t1, t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от портфеля, где
, i = 1, 2, …, n. (13.1)
Таким образом, портфель П(?1, ?2,…, ?m) в момент t = 0 можно рассматривать как одну облигацию без кредитного риска стоимостью ? с потоком платежей R1, R2, …, Rn в моменты времени t1, t2,…, tn. По своим инвестиционным качествам портфель эквивалентен такой облигации.
Пример 13.1. Сформирован портфель П(2000, 3000, 2000) из облигаций трех видов, потоки платежей по которым указаны в таблице. Определить поток платежей от этого портфеля.

Облигация
Платеж, д.е.
Срок, годы
0
0,5
1
1,5
2
В1
- 850



1035
В2
- 290
10
10
330

В3
- 990

90

1100

Согласно условию, P1 = 850, P2 = 290, P3 = 990; ?1 = 2000, ?2 = 3000, ?3 = 2000. Члены потока платежей от портфеля рассчитаем по (13.1):
R1 = 10 = 103,448 в момент t1 = 0,5.
R2 = 10 + 90 = 285,266 в момент t2 = 1.
R3 = 330 = 3413,793 в момент t3 = 1,5.
R4 = 1035 + 1100 = 4657,516 в момент t4 = 2.
Таким образом, поток платежей от портфеля П(2000, 3000, 2000) имеет вид, показанный в таблице:
Срок, годы
0
0,5
1
1,5
2
Платеж, д.е.
- 7000
103,448
285,266
3413,793
4657,516

Меры доходности портфеля.
Для вычисления доходности портфеля П(?1, ?2,…, ?m) приняты две характеристики:
1) средневзвешенная доходность портфеля rср.; 2) внутренняя ставка доходности rP .
Средневзвешенная доходность портфеля определяется путем усреднения доходностей по всем облигациям в портфеле:
rср. = . (13.2)
Здесь – доля облигаций j – го вида в портфеле, rj – их внутренняя доходность. Недостатком этой характеристики является то, что она несет мало информации о потенциальной доходности портфеля.
Внутренняя ставка доходности rP – это процентная ставка, по которой приведенная стоимость потока платежей по портфелю R1, R2, …, Rn в моменты t1 , t2,…, tn равна его рыночной цене ? в момент t = 0:
. (13.3)
Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и внутренняя доходность облигации. Она предполагает, что платежи по портфелю реинвестируются по ставке, равной rP, а сам портфель держится до погашения. Например, если одна из облигаций в порфеле погашается через 30 лет, то предполагается, что портфель держится 30 лет и все промежуточные платежи (купонные выплаты и погашаемые номиналы) реинвестируются.
Пример 13.2. Для портфеля облигаций П(2000, 3000, 2000) из примера 13.1 рассчитать rср. и rP.
Внутренние доходности облигаций В1, В2, В3 равны соответственно: r1 = 0,10347; r2 = 0,13798; r2 = 0,10053. Тогда согласно (13.2):
rср. = r1 + r2 + r3 = 0,11742.
Внутреннюю ставку доходности rP найдем из уравнения:
.
Методом линейной интерполяции с точностью до пятого знака после запятой получаем rP = 0,11497.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций.
Определение. Дюрацией DP и показателем выпуклости СP портфеля облигаций П(?1,?2,…,?m) называется дюрация и показатель выпуклости облигации, эквивалентной портфелю.
Тогда
, (13.4)
, (13.5)
где r – значения годовых безрисковых процентных ставок в момент t = 0, одинаковые для всех сроков.

Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.
1. Для дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций П(?1, ?2,…, ?m) справедливы равенства:
, (13.6)
, (13.7)
где – доля облигаций j – го вида в портфеле, Dj и Сj – дюрация и показатель выпуклости облигаций j – го вида.
Доказательство. Согласно определению,
= =
= = ,
где использовано выражение (13.1) для членов потока платежей от портфеля.
Аналогично для показателя выпуклости:
= =
= = .
2. Если DP и СP – дюрация и показатель выпуклости портфеля П(?1, ?2,…, ?m), то
,
.
Действительно, , так как . Одновременно . Второе неравенство устанавливается точно также.
3. Если число D таково, что , то всегда можно сформировать портфель, дюрация которого равна D (портфель с заранее заданным значением дюрации).
Доказательство. Составим систему:
(13.8)
?j 0, j = 1, 2,…, m.
Покажем, что эта система разрешима. Если D = Dk, где , то решением системы является следующий набор значений:
?1 = 0, …, ?k = 1,…, ?m = 0.
Если же Dk < D < Dk + 1, где , то решением системы является набор значений:
?1 = 0, …, ?k = , ?k + 1 = , ..., ?m = 0.
4. Пусть в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину ?r, то относительное изменение цены портфеля приблизительно равно:
? (13.9)
или
? + . (13.10)
Возможность оценить изменение цены портфеля по формулам (13.9) и (13.10) следует из того, что портфель можно рассматривать как одну облигацию, дюрация которой равна DP, а показатель выпуклости СP (см. формулы (11.8), (11.9) для облигации).
Из равенств (13.9) и (13.10) следует, что дюрацию портфеля облигаций DP можно рассматривать как меру процентного риска портфеля, а показатель выпуклости СP показывает, насколько точно дюрация оценивает этот риск. Чем меньше СP, тем лучше DP оценивает чувствительность цены портфеля к изменению рыночных процентных ставок. В связи с этим можно сформулировать следующую задачу: сформировать портфель облигаций с заданным значением дюрации D и наименьшим показателем выпуклости. Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:
(13.11)
?j 0, j = 1, 2,…, m.
(min)

5. Если заданное значение дюрации портфеля D удовлетворяет условию
, то задача линейного программирования (13.11) разрешима.
Действительно, для разрешимости задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых решений задачи было не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Согласно свойству 3, если число D удовлетворяет указанному двойному неравенству, то множество допустимых решений задачи (13.11) не пусто. Так как 0, то целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Свойство доказано.
Пусть T лет – срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Для оценки портфеля через t лет после покупки, где t [0, T], используем понятие стоимости инвестиции в портфель в момент t.
Если в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r и после покупки портфеля временная структура процентных ставок остается неизменной до окончания срока T, то ?(r, t) – планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t [0, T]. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину и остались на новом уровне в течение всего инвестиционного периода, то ?( , t) – фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент t [0, T]. Стоимости ?(r, t) и ?( , t) рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда
, (13.12)
, (13.13)
где R1, R2, …, Rn в моменты t1 , t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от портфеля.
Таким образом,
?(r, t) = Rt(r) + Pt(r),
?( , t) = Rt( ) + Pt( ),
где Rt(r) и Rt( ) – результат реинвестирования к моменту t доходов от портфеля под ставку r или соответственно; Pt(r) и Pt( ) – планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент t.
?(r, t) и ?( , t) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда
?(r, t) = , (13.14)
?( , t) = . (13.15)
где ?(r) = ? – цена покупки портфеля, ?( ) – оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после t = 0.

6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.
Пусть DP = DP(r) – дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.
? ( , DP) ? (r, DP) (13.16)
для любых значений .
Действительно, если портфель П(?1, ?2,…, ?m) эквивалентен одной облигации без кредитного риска, то иммунизирующее свойство дюрации облигации (теорема 12.1) переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.
На этом свойстве дюрации портфеля облигаций основан принцип формирования иммунизированного портфеля. В 1952 году Ф. Реддингтон, один из основателей стратегии иммунизации, впервые ввел понятие иммунизации портфеля облигаций и сформулировал условие иммунизации: для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить систему:
(13.17)
?j 0, j = 1, 2,…, m.
Если срок портфеля T удовлетворяет неравенству , то по свойству 3 дюрации портфеля система (13.17) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (13.17), совпадает с его инвестиционным горизонтом, DP = T, и по свойству 6
? ( ,T) ? (r, T). (13.18).
Пример 13.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0) приведены в таблице:

Облигация
А, д.е.
f
m
T, годы
А1
100
5%
2
2
А2
100
8%
1
2

В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись. Определить:
1) поток платежей от портфеля, его дюрацию и показатель выпуклости;
2) относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке с 9 до 8% годовых;
3) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени t = 2 года (момент погашения всех облигаций из портфеля);
4) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля (t = DP).
Решение.
1) Рассчитаем характеристики облигаций, из которых формируется портфель. В момент формирования портфеля процентные ставки для всех сроков r = 0,09 годовых.
Расчет цен облигаций, их дюраций и показателей выпуклости в момент t = 0 приведен в таблицах:
Облигация А1.
Номер платежа
Срок платежа ti
Сумма платежа Ci
Ci(0)

ti
ti (ti +1)
1
0,5
2,5
2,3946
0,02570
0,01285
0,01928
2
1
2,5
2,2936
0,02462
0,02462
0,04924
3
1,5
2,5
2,1968
0,02358
0,03537
0,08843
4
2
102,5
86,2722
0,92609
1,85219
5,55656


Сумма
93,15719
1,00000
1,925032
5,71351


Облигация А2.
Номер платежа
Срок платежа ti
Сумма платежа Ci
Ci(0)

ti
ti (ti +1)
1
1
8
7,3394
0,07471
0,07471
0,14942
2
2
108
90,9014
0,92529
1,85058
5,55175


Сумма
98,24089
1,00000
1,925291
5,70117

Таким образом, в момент t = 0 цены облигаций А1 и А2 равны соответственно P1 = 93,157 д.е. и P2 = 98,241 д.е., их дюрации D1 = 1,925032 лет и D2 = 1,925291 лет, показатели выпуклости C1 = 5,71351 лет2 и C2 = 5,70117 лет2 .
Из облигаций вида А1 и А2 сформирован портфель П(4000, 6000), стоимость которого равна ? = 10000 д.е. Инвестиции в облигации каждого вида ?1 = 4000 д.е., ?2 = 6000 д.е.
Члены потока платежей от портфеля П(4000, 6000) рассчитываются по формуле (13.1). Поток платежей от портфеля показан в таблице:
ti , годы
0,5
1
1,5
2
Платежи, д.е.
107,345
595,940
107,345
10997,195
В следующей таблице показан расчет дюрации и показателя выпуклости этого портфеля по определению (формулы (13.4), (13.5)):
Номер платежа
Срок платежа ti
Сумма платежа Ri
Ri(0)

ti
ti (ti +1)
1
0,5
107,345
102,82
0,01028
0,00514
0,00771
2

стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>