ОГЛАВЛЕНИЕ

1.15. Простейшие активные и пассивные стратегии управления портфелем облигаций.
Стратегии управления портфелем облигаций разделяют на активные и пассивные. Активная стратегия предполагает изменение структуры портфеля в соответствии с изменениями условий на рынке. Стратегия иммунизации – активная стратегия управления портфелем облигаций.
Другой пример активной стратегии – стратегия управления дюрацией портфеля в соответствии с прогнозом изменения рыночных процентных ставок. Если ожидается снижение процентных ставок, то дюрация портфеля увеличивается. И наоборот – если ожидается рост процентных ставок, то дюрация портфеля уменьшается. Изменение дюрации портфеля осуществляется с помощью обмена (свопа) облигаций из портфеля на новые. Выполняется так называемый упреждающий своп.
Пример 15.1. Имеется портфель П0 = П(1000, 1500, 2500, 4000) из облигаций четырех видов. Дюрации облигаций соответственно равны D1 = 1,5 года, D2 = 2 года, D3 = 3,5 года, D4 = 5 лет. В данный момент безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8% годовых. Выполнить упреждающий своп для следующего прогноза процентных ставок: а) ставки увеличатся на 1%; б) ставки снизятся на 1%. Рынок облигаций удовлетворяет тем же условиям, что и в параграфе 1.14. Трансакционные расходы при покупке и продаже облигаций отсутствуют.
Дюрация портфеля П0 согласно формуле (13.6) равна
= 3,694 (года),
стоимость портфеля ? = 9000 д.е. Относительное изменение стоимости портфеля П0 при изменении процентных ставок на рынке на величину ?r согласно формуле (13.9) приблизительно равно
? .
а) r = 8 %, ? r = 0,01. Тогда
? = – 0,0342,
где ?? = – ?(0,08), ?(0,08) = ?. При увеличении процентных ставок на 1 % стоимость портфеля П0 снизится и станет равной
= ?(0,08) + ?(0,08)? (– 0,0342) = 8692,13.
Чтобы падение цены портфеля было менее резким, дюрацию портфеля следует уменьшить. Для этого долгосрочные облигации надо заменить на краткосрочные. Облигации с дюрацией D4 = 5 лет – продать и на вырученную сумму 4000 д.е. приобрести облигации с дюрацией D1 = 1,5 года. Новый портфель имеет вид П1 = П(5000, 1500, 2500,0). Стоимость портфеля не изменилась. Его дюрация равна
= 2,139 (года).
Тогда относительное изменение стоимости портфеля П1 при увеличении процентных ставок на 1 % приблизительно равно
? = = – 0,0198,
а новая стоимость П1 в результате увеличения процентных ставок на 1 % составит
= ?(0,08) + ?(0,08)? (– 0,0198) = 8821,76.
б) r = 8 %, ? r = – 0,01. Тогда
? = 0,0342.
При снижении процентных ставок на 1 % стоимость портфеля П0 станет равной
= ?(0,08) + ?(0,08)? 0,0342 = 9307,87.
Чтобы еще больше увеличить цену портфеля, его дюрацию следует увеличить. Для этого краткосрочные облигации надо заменить на долгосрочные. Облигации с дюрацией D1 = 1,5 года – продать и на вырученную сумму 1000 д.е. приобрести облигации с дюрацией D4 = 5 лет. Новый портфель имеет вид П1 = П(0,1500, 2500, 5000). Стоимость портфеля не изменилась. Его дюрация равна
= 4,083 (года).
Тогда относительное изменение стоимости портфеля П1 при снижении процентных ставок на 1 % составит
? = = 0,0378,
а новая стоимость П1 равна
= ?(0,08) + ?(0,08)? 0,0378) = 9340,28.
Заметим, что исследования не подтверждают возможность прогнозирования процентных ставок, позволяющую постоянно получать доходность выше рыночной.
Пассивная стратегия управления портфелем облигаций предполагает, что структура портфеля, сформированного в начальный момент времени, остается неизменной в течение всего срока существования портфеля независимо от ситуации на рынке. Один из примеров пассивной стратегии управления портфелем – портфель с согласованными денежными потоками, или предназначенный портфель. Согласно этой стратегии, облигации приобретаются таким образом, что финансовый поток, получаемый в каждый период, в точности равен оттоку средств за этот период. Рассмотрим формирование такого портфеля. Предположим, инвестор через t1, t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 должен выплатить денежные суммы S1, S2,…, Sn соответственно. На рынке имеются m видов облигаций без кредитного риска, из которых можно сформировать портфель с потоком платежей в моменты t1, t2,…, tn. Цены облигаций в момент t = 0 равны соответственно P1, P2,…, Pm. Требуется сформировать портфель наименьшей стоимости, поток платежей от которого достаточен для выполнения обязательств инвестора. Предположим, на рынке можно купить любое количество облигаций, в том числе нецелое. Пусть xj – количество облигаций j – го вида в портфеле, j = 1, 2,…, m. Тогда портфель формируется в соответствии с решением задачи:
(15.1)
f = (min)
Здесь платеж по облигации j – го вида в момент ti , i = 1, 2, …, n. Решением задачи (15.1) является портфель, позволяющий выполнить обязательства инвестора и имеющий наименьшую стоимость. Для такого портфеля нет необходимости реинвестировать поступающие платежи. Следовательно, отсутствует реинвестиционный риск. Кроме того, портфель не продается до погашения. Значит, отсутствует процентный риск.
Пример 15.2. Через 1, 2 и 3 года инвестору предстоят выплаты в размерах 260 д.е., 660 д.е., 440 д.е. соответственно. На рынке имеются облигации двух видов А1 и А2 с параметрами
Вид облигации



Pj
А1
10
10
110
100
А2
50
150
0
150
Сформировать из этих облигаций портфель наименьшей стоимости, платежи от которого позволяют выполнить обязательства инвестора.
Задача (15.1) имеет вид:

f = 100 x1 + 150 x2 (min)
Это задача линейного программирования, которую можно решить графическим методом.
Рис. 1.15.1
При решении задачи используем две теоремы из линейного программирования. Теорема о разрешимости задачи линейного программирования: задача (минимизации) линейного программирования разрешима тогда и только тогда, когда множество допустимых решений задачи не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Теорема об оптимальном решении задачи линейного программирования: если задача линейного программирования разрешима, то по крайней мере одна из угловых точек множества ее допустимых решений является оптимальным решением этой задачи.
Несложно убедиться, что задача разрешима. А(4;4,4), В(6,4), С(66,0) – угловые точки множества ее допустимых решений. Значения целевой функции в этих точках f(А) = 1060, f(В) = 1200, f(С) = 6600. Следовательно, точка А(4;4,4) – оптимальное решение задачи. Предназначенный портфель П(400, 660) содержит 4 облигации вида А1 и 4,4 облигации вида А2. Стоимость портфеля 1060 д.е. Сделаем проверку. Платежи от портфеля в конце 1 – го, 2 – го и 3 – го годов равны соответственно:
10?4 + 50?4,4 = 260;
10?4 + 150?4,4 = 700;
110?4 = 440.
Как видим, портфель позволяет выполнить обязательства инвестора. В конце 2 – го года от портфеля поступают избыточные средства.
Недостатком этой стратегии является то, что согласование потока платежей и потока обязательств является трудным и дорогостоящим. Это объясняется тем, что на рынке существует лишь конечный набор чисто дисконтных облигаций и для формирования нужного потока платежей от портфеля инвестор вынужден приобретать купонные облигации. Вследствие этого в моменты t1, t2,…, tn от портфеля могут поступать избыточные средства. Уменьшить стоимость портфеля позволяет использование следующей разновидности стратегии предназначенного портфеля. Избыточная часть Gi поступающего платежа от портфеля в момент ti, i = 1, 2,…, n – 1, используется для выполнения обязательства инвестора в следующий момент ti+1. Эта часть платежа реинвестируется на срок (ti+1 – ti) лет под действующую в момент ti годовую безрисковую процентную ставку ri. Тогда портфель формируется в соответствии с решением следующей задачи:
(15.2)
f = (min)

Чтобы решить эту задачу, необходимо знать годовые безрисковые процентные ставки ri для инвестиций в момент ti на срок (ti+1 – ti) лет, i = 1, 2,…, n – 1.
Пример 15.3. В условиях примера 15.2 избыточная часть платежей от портфеля реинвестируется для выполнения обязательства инвестора через год. Безрисковые процентные ставки на весь период 5 % годовых.
Задача (15.2) имеет вид:

f = 100 x1 + 150 x2 (min)
Решим эту задачу симплекс – методом.
x1
x2
G1
G2
t1
t2
t3
B
10
50
-1
0
-1
0
0
260
10
150
1,05
-1
0
-1
0
660
110
0
0
1,05
0
0
-1
440
-100
-150
0
0
0
0
0
0
0
50
-1
-0,0954545
-1
0
0,0909091
220
0
150
1,05
-1,0954545
0
-1
0,0909091
620
1
0
0
0,0095455
0
0
-0,0090909
4
0
-150
0
0,9545455
0
0
-0,9090909
400
0
0
-1,35
0,269697
-1
0,3333333
0,0606061
13,333333
0
1
0,007
-0,007303
0
-0,0066667
0,0006061
4,1333333
1
0
0
0,0095455
0
0
-0,0090909
4
0
0
1,05
-0,1409091
0
-1
-0,8181818
1020
0
0
-5,005618
1
-3,7078652
1,2359551
0,2247191
49,438202
0
1
-0,0295562
0
-0,0270787
0,0023596
0,0022472
4,494382
1
0
0,0477809
0
0,0353933
-0,0117978
-0,011236
3,5280899
0
0
0,3446629
0
-0,5224719
-0,8258427
-0,7865169
1026,9663
104,7619
0
0
1
4,441E-16
-2,22E-16
-0,952381
419,04762
0,6185773
1
0
0
-0,0051852
-0,0049383
-0,0047031
6,6767784
20,928865
0
1
0
0,7407407
-0,2469136
-0,2351558
73,838918
-7,2134039
0
0
0
-0,7777778
-0,7407407
-0,7054674
1001,5168

Оптимальное решение задачи = 0, = 6,676778, G1 = 73,838918, G2 = 419,047619. Значение функции f( ) = 1001,5168. Следовательно, предназначенный портфель П(0; 1001,5168) не содержит облигации вида А1 и содержит 6,676778 облигаций вида А2. Стоимость портфеля снизилась по сравнению с его стоимостью в предыдущем примере и составляет 1001,5168 д.е. Сделаем проверку.
В конце 1 – го года платеж от портфеля составит 50?6,676778 = 333,8389 д.е. Из них 260 д.е. выплачиваются по обязательствам инвестора, а оставшиеся G1 = 73,838918 д.е. реинвестируются на 1 год по ставке 5% годовых.
В конце 2 – го года инвестор получит сумму: 150?6,676778 + 73,838918(1 + 0,05) = 1079,04756 д.е. Из них 660 д.е. выплачиваются по обязательствам инвестора, а оставшаяся сумма G2 = 419,047619 д.е. реинвестируется на 1 год по ставке 5% годовых.
В конце 3 – го года платеж от портфеля не поступает. Результат наращения суммы G2 за год составит 419,047619(1 + 0,05) = 440 д.е. – сумма, необходимая инвестору для выполнения его обязательства в конце 3 – го года. Таким образом, предназначенный портфель составлен только из облигаций вида А2 и позволяет выполнить обязательства инвестора. Стоимость портфеля 150?6,676778 = 1001,5168 д.е., что заметно ниже суммы, необходимой инвестору для выполнения его обязательств согласно первому варианту стратегии (пример 15.2).



ОГЛАВЛЕНИЕ