ОГЛАВЛЕНИЕ

Критерий ожидаемой полезности
Чтобы быть полезной, информация также должна быть полезной.
Международные стандарты оценки (МСО 2003, МПО 1, Дополнение А, п.А5.3.1).
Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств.
В. Хмурый
Начнем с того, что ожидаемый капитал естественно определять не для любых политик. Пусть, например, состояний природы счетное множество и они просто занумерованы по порядку. Политика F при этом будет полностью характеризоваться последовательностью чисел {F(1),F(2),...,F(s),...}. Здесь совершенно неясно, как можно разумно сравнить две политики, характеризующиеся последовательностями {1,2,...,s,...} и {0,2,0,4,...,0,2s,...}. Причина понятна — обе политики могут давать сколь угодно большой капитал. Назовем поэтому политику F ограниченной, если существует такое число N, что |F(s)|<N для всех sIS. Будем поэтому выяснять, как устроен функционал ожидаемого эффекта только для ограниченных политик.
Далее, любому субъекту “наиболее понятны” детерминированные политики, дающие вполне определенный, не зависящий от “состояния природы” капитал. Обозначим через Ib политику, при всех состояниях природы дающую капитал b. Для нее, очевидно, F(s)?b. Естественно принять, что ожидаемый капитал здесь совпадает с “обычным” (это требование названо в [31] аксиомой согласованности):
E(Ib)=b "b.
Рассмотрим теперь такие две политики, что первая при каждом состоянии природы дает капитал не меньший, чем вторая. Естественно считать, что и ожидаемый капитал у первой политики не меньше, чем у второй (это требование названо в [31] аксиомой монотонности):
F(s)> G(s) "s?E(F)> E(G).
Назовем политику F, ступенчатой на разбиении S=A1E...EAm, если функция F(s) постоянна на каждом из множеств Ai. Следующие требования будут относиться только к ступенчатым политикам.
Любая политика F, ступенчатая на разбиении S=A1E...EAm, характеризуется набором величин xi=F(Ai), поэтому значение E(F) будет некоторой функцией от всех xi: E(F)=f(x1,...,xm). Приводимые ниже аксиомы описывают некоторые разумные требования к виду этой функции.
В силу аксиомы монотонности функция f(x1,...,xm) не убывает по каждому аргументу, а в силу аксиомы согласованности f(b,...,b)=b. Однако этого еще не достаточно и мы потребуем, прежде всего, чтобы функция f была гладкой, т.е. имела непрерывные производные по всем аргументам.
Зафиксируем одно из событий, например, A1, и набор (x1,...,xm). Хотелось бы, чтобы при изменении x1 величина f(x1,...,xm) изменялась “регулярно”, т.е. либо оставалось неизменной, либо возрастала с положительной скоростью. При этом, какой бы случай ни имел место, он должен иметь место при любом наборе “остальных” x2,...,xm, и при любом разбиении пространства S, содержащем событие A1. Введем поэтому следующие определения.
Функцию g(x) назовем сильно возрастающей по x, если она имеет непрерывную и положительную производную по x в каждой точке.
Событие A1 назовем несущественным, если при любом, содержащем A1, разбиении S=A1E...EAm соответствующая функция f(x1,...,xm) не зависит от x1, и существенным, если при любом таком разбиении соответствующая функция f(x1,...,xm) сильно возрастает по x1.
Теперь можно сформулировать следующую аксиому (она не “покрывает” аксиому монотонности, которая относится не только к ступенчатым функциям).
Аксиома существенности: Любое событие из S должно быть либо существенным, либо несущественным, причем в пространстве S имеется по крайней мере три существенных события.
Заметим теперь, что в процессе разработки политики её нередко предлагается так или иначе “улучшить” (например, изменить объемы вложений в те или иные активы). При этом некоторые подобные предложения увеличивают капитал при одних состояниях природы и уменьшают при других. Учитывая эту особенность, возьмем два существенных множества Ai и Ak и рассмотрим f(x1,...,xm) как функцию только от xi и xk. Представим другую политику субъекта с тем же ожидаемым капиталом, которая при событиях Ai и Ak приводит к капиталам соответственно x?i и x?k, но не меняет капитал при других событиях. Тогда пара (xi,xk) будет в каком-то смысле эквивалентна паре (x?i,x?k). Хотелось бы, чтобы такая эквивалентность имела место независимо от того, какой капитал будет иметь субъект при всех остальных событиях:

Такого типа требования в теории полезности (см., например, [62]) называются аксиомами независимости. Подобную аксиому использовал и Сэвидж. Нам она понадобится в несколько ином виде, ориентированном на сопоставление мало различающихся политик. Поскольку функция f сильно возрастающая по xi и xk, написанные равенства определяют x?k как убывающую гладкую функцию от x?i. Ее производная в точке xi, взятая со знаком “минус” — , отразит, на сколько надо увеличить xk, чтобы скомпенсировать уменьшение xi на малую единицу, т.е. относительную ценность прироста капитала xi по сравнению с приростом капитала xk. Такую величину, следуя Хиксу [], назовем (предельной) нормой замещения капитала xi капиталом xk. Если принять аксиому независимости, эта норма будет зависеть только от xi и xk. Это требование, заменяющее для наших целей аксиому независимости, мы выделим в самостоятельную аксиому.
Аксиома замещения. Если политика F ступенчатая на разбиении S=A1E...EAm, причем множества Ai и Ak — существенные, а xi=F(Ai), то норма замещения wik зависит только от xi и xk.
Аксиома замещения весьа важна. Если бы она не выполнялась, то принятие решений даже о малых корректировках политики существенно усложнилось: оценивая корректировки, влияющие на капитал только при двух возможных событиях, субъекту пришлось бы учитывать результаты политики при всех остальных событиях. Наоборот, при выполнении этой аксиомы малые корректировки политики оцениваются очень просто. Так, если предлагаемая корректировка сводится только к уменьшению капитала на малое bi при осуществлении события Ai и увеличению капитала на малое bk при осуществлении события Ak, то это предложение следует отклонить, если отношение bk/bi<wik, и принять в противном случае.
Если, не меняя разбиения S=A1E...EAm, изменять политику F, т.е. величины xi=F(Ai), то нормы замещения wik будут, вообще говоря, меняться. В частном случае, когда все xi примут одно и то же значение x, эти нормы будут зависеть только от x. Однако эта ситуация будет отвечать детерминированной политике Ix. Поэтому было бы весьма странно, если бы фирма, чья политика при любых состояниях природы обеспечивала ей капитал, скажем, равный 500, была согласна потерять 1 при событии Ai и получить wik при событии Ak, но отказалась бы от этого, если бы ее политика всегда обеспечивала ей капитал 400 или 600. На этом основании мы принимаем следующую аксиому.
Аксиома однородности. Если множества Ai и Ak — существенные, то нормы замещения wik, отвечающие детерминированной политике Ix, не зависят от x.
Нашей целью является доказательство следующей теоремы.
Теорема. Для того чтобы функционал E(·) удовлетворял аксиомам согласованности, монотонности, существенности, замещения и однородности, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая сильно возрастающая функция полезности u(x) и такая конечно-аддитивная нормированная мера P, определенная на всех подмножествах S, что полезность ожидаемого капитала E(F) любой ограниченной политики F равна усреднению полезности неопределенного капитала по мере P.
Это условие можно записать двумя эквивалентными равенствами:
, (5.2)
где u-1 — функция, обратная к u (очевидно, что функция, обратная к сильно возрастающей, также будет сильно возрастающей).
Доказательство. Поскольку функционал (5.2) удовлетворяет указанным аксиомам, то их необходимость очевидна. Достаточность мы докажем в два этапа. Вначале, используя аксиомы, мы построим функцию полезности u(x), определим меры некоторых событий и подтвердим справедливость (5.2) для некоторых ступенчатых функций F(s). На втором этапе мы определим меру для всех событий и покажем, что (5.2) справедливо для любых ограниченных F(s).
Предварительно докажем простую лемму.
Лемма 1. Пусть T — некоторое непустое подмножество числовой оси, n>2. Если положительные функции двух переменных wik (i,k=1,…,n; i?k), определенные на T?T, удовлетворяют соотношениям:
wik(xi,xj)= wij(xi,xj)wjk(xj,xk), (5.3)
при любых не равных между собой i,j,k, то существуют такие положительные функции ri(x) на T, что wik(xi,xk)=ri(xi)/rk(xk).
Доказательство. Возьмем любую точку aIT и положим ri(x)=wi1(x,a) для всех i>1, r1(x)=w12(x,a)r2(a). Очевидно, что все ri(x)>0. Докажем, что они образуют искомый набор. Действительно, если i,k>1, i?k, то в силу (5.3) имеем: . Далее, если i>2, k=1, то . Аналогично при i=1, k>2 имеем: . Случаи i=1, k=2 и k=1, i=2 рассматриваются аналогично.
Легко видеть, что указанные свойства определяют функции ri с точностью до постоянного положительного множителя. €
Перейдем теперь к доказательству теоремы, предполагая, что множество возможных значений капитала фирмы T — вся числовая ось.
Пусть S=A1E...EAnE...EAm — некоторое разбиение, причем множества A1, ..., An — существенные, а все остальные — несущественные, причем n> 3. Рассмотрим ступенчатую функцию F(s), равную xi на Ai при всех i. Тогда E(F)=f(x1,...,xn), поскольку E(F) не зависит от xn+1,...,xm. В силу аксиом существенности и замещения, норма замещения wki (i,k< n) будет положительной непрерывной функцией от xi и xk: . Кроме того, wij(xi,xj)=wik(xi,xk)wkj(xk,xj). Тогда в силу леммы 1, найдутся функции ri(x)>0 такие, что wij(xi,xj)=ri(xi)/rj(xj). Но для политики Ix нормы замещения Zij не зависят от x. Поэтому все функции ri(x) пропорциональны друг другу, а стало быть, и функции . Тогда дроби pi=ri(x)/r(x) будут положительными константами, в сумме равными 1, причем . Отсюда следует, что функция r(x) непрерывна. Определим искомую функцию полезности равенством: . Очевидно, что она сильно возрастающая, u(0)=0, u(1)=1, и
. (5.4)
Отсюда , так что . Это равенство верно при всех i?j, поэтому . Общим решением этого уравнения в частных производных будет с какой-то функцией h. В частности, . Таким образом, функция h будет просто обратной функцией к u: h=u-1. Поэтому функция h — сильно возрастающая. Но тогда .
Определим теперь меры множеств Ai так: P(Ai)=pi для любого существенного Ai и P(Ai)=0 в противном случае. Для каждого множества A, образованного объединением некоторых из множеств Ai, определим меру P(A) как сумму соответствующих P(Ai). Очевидно, что при этом получим P(S)=1, а полученная выше формула примет более простой вид: , поскольку слагаемые, отвечающие несущественным множествам, равны нулю.
Докажем, что так определенная мера и функция полезности u(x) — искомые. Это делается в несколько шагов.
1. Если множество Ai — несущественное, то, какое бы разбиение мы ни взяли, ему будет приписана мера 0.
2. Выясним, как изменятся меры существенных событий, если в исходном разбиении S=A1E...EAm одно из них, например, A1, разбить на две части: A1=A?1EA?1. В этом случае новому разбиению S=A?1EA?1EA2E...EAm отвечают какие-то новые функция полезности v(x) и коэффициенты q?1,q?1,q2,...,qm. Возьмем любую ступенчатую функцию F, которая принимает на A1 одно и то же значение x1. Тогда норму замещения wik (i,j> 2) можно будет определить и по “старой” и по “новой” формуле. Отсюда в силу (5.4) имеем:
. (5.5)
Это означает, что функции u? и v? пропорциональны, поэтому v(x)=au(x)+b. Однако v(0)=u(0), v(1)=u(1), поэтому v(x)=u(x) при всех x. Тогда v?(x)=u?(x), откуда и из (5.5) следует, что все отношения qi/pi совпадают при i> 2. Заметим теперь, что увеличение капитала x2 на w12 малых единиц может быть скомпенсировано уменьшением на одну единицу капитала x1 при событии A1, или, что то же самое, таким же уменьшением капитала при событиях A?1 и A?1. Но тогда , так что . Поэтому меры q?1+q?1,q2,... ,qm пропорциональны p1,p2,...,pm. Однако сумма тех и других мер равна 1, поэтому они точно совпадают, а стало быть, при i> 2. Таким образом, при “измельчении” разбиения функция полезности и все “старые” меры сохраняются, а мера “измельчаемого” события становится равной сумме мер его частей. Легко видеть, что этот вывод будет справедлив и тогда, когда одно из событий A?1 и A?1 — несущественное.
3. Пусть теперь мы построили функции полезности и меры для двух разных разбиений S=A1E...EAm и S=B1E...EBk, про которые нельзя сказать, что одно из них более мелкое, чем другое. Оказывается, что и в этом случае результат будет тот же. Действительно, для этого рассмотрим третье разбиение, образованное всевозможными непустыми пересечениями AiCBj. Это разбиение будет более мелким, чем оба исходных, поэтому функция полезности для третьего разбиения будет такой же, как для двух первых, а любое событие, которое входит и в первое и во второе разбиение, будет иметь там одну и ту же меру.
Таким образом, функция полезности и мера любого события не зависят от того, применительно к какому разбиению мы их определяем, а мера объединения непересекающихся событий равна сумме мер объединяемых событий. Поэтому построенная мера P является конечно-аддитивной и нормированной (НК-мерой).
Пусть F(s) — ступенчатая функция, равную xi на Ai при всех i. Тогда, как показано выше, . Но сумма здесь является усреднением ступенчатой функции u[F(s)] по мере P, так что . Таким образом, равенство (5.2) справедливо для любых ступенчатых функций F(s). Чтобы доказать его справедливость для любой ограниченной F(s), построим, как и при определении усреднения, последовательности ступенчатых функций Gk(s) и Hk(s), равномерно стремящиеся к F(s) и такие, что Gk(s)< F(s)< Hk(s). Тогда в силу аксиомы монотонности имеем:
. (5.6)
Поскольку функция полезности u(x) возрастающая и гладкая, то u[Gk(s)] < u[F(s)] < u[Hk(s)]. При k®? функции u[Gk(s)] и u[Hk(s)] равномерно стремятся к u[F(s)], соответственно снизу и сверху. Поэтому их усреднения и стремятся к . Остается заметить, что обратная функция u-1 непрерывна, поэтому при k®? правая и левая части (5.6) стремятся к , что и доказывает искомое равенство (5.2). n
Таким образом, для корректного сравнения вариантов финансовой политики может использоваться критерий или эквивалентный, более простой критерий , который принято называть критерием ожидаемой полезности.
С практической точки зрения это тот же результат, который получен и Сэвиджем, однако он получен при иных предположениях и ориентирован на более широкую сферу применения. Укажем лишь одно отличие. При наших предположениях функция полезности может быть и неограниченной, зато мы приняли, что каждая политика характеризуется ограниченной функцией F(s). Это не совсем одно и то же. Пусть, например, пространство S — это положительная числовая полуось, т.е. состояния природы “занумерованы” положительными числами. Тогда политика, дающая в состоянии s капитал F(s)=s, может быть оценена по Сэвиджу, поскольку функция u(s) ограничена. Под условия нашей теоремы он не подпадает, т.к. капитал здесь может быть сколь угодно большим. С другой стороны, функция полезности u(s)=sn при любом n>0 не удовлетворяет теореме Сэвиджа, но отвечает условиям нашей теоремы.
Отметим, что задавшись (на основе своих предпочтений в отношении разных состояний природы) какой-то субъективной НК-мерой на S, субъект получает возможность оценивать некоторые политики, дающие сколь угодно большие значения капитала. Иными словами, операция усреднения по заданной мере P применима и к некоторым неограниченным функциям F(s). Это делается так.
Рассмотрим произвольную неограниченную функцию F(s) и разложим её на положительную и отрицательную части:
F(s)= F+(s)-F-(s), где F+(s)=max{F(s),0}, F-(s)=max{-F(s),0}.
Будем определять усреднение для каждой из этих частей в отдельности. Рассмотрим возрастающие последовательности функций Gn(s)=min{F+(s),n} и Hn(s)=min{F-(s),n}. Поскольку все Gn(s) и Hn(s) ограничены, усреднения gn=MP[Gn] и hn=MP[Hn] существуют, неотрицательны и с ростом n не убывают. Поэтому при n®? они имеют конечные или бесконечные пределы, соответственно g и h. В том случае, если оба этих предела конечны, функция F(s) называется суммируемой по мере P, а её усреднение определяется как разность MP[F]=g-h. Легко проверить, что “обычные” свойства усреднения при этом сохраняются. Однако важно учесть, что функции F(s), суммируемые по одной мере, могут не быть суммируемыми по другой. Поэтому если, даже в иллюстративных целях, оценивается политика, которая, в зависимости от состояния природы может давать сколь угодно большой капитал, приходится предполагать, что соответствующая функция F(s) суммируема по субъективной НК-мере.
До сих пор мы говорили об оценке ожидаемого капитала субъекта. Между тем, в “одношаговой” модели финансовая политика определяется как составом оптимального пакета ФТ, так и неопределенной доходностью этих вложений. В этой связи полезно ввести и понятие ожидаемой доходности. (например, одношагового проекта или ФТ). Пусть, например, на шаге 0 субъект вкладывает капитал K в проект, в результате которого наращенный капитал на шаге 1 увеличивается в неопределенное число x=x(s) раз. Величину x можно рассматривать как неопределенную брутто-доходность проекта. Пусть a=MP[x] и D=MP[(x-a)2] — её среднее значение и дисперсия. Сравним данную политику вложений с другой, увеличивающей вкладываемый капитал в детерминированное число m раз. То значение m, при которой обе политики равноэффективны, можно назвать ожидаемой доходностью исходной политики (иногда термин “ожидаемый” используют как синоним среднего значения или математического ожидания; в данной работе мы различаем эти понятия). Ее величина, очевидно, будет корнем уравнения:
. (5.7)
Заметим теперь, что функция u выпукла вверх и, стало быть, ограничена сверху касательной к своему графику. Поэтому
,
причем равенство возможно только при x=m, т.е. для “безрисковых” вложений. Поскольку u?(x)>0, из полученного неравенства следует, что m< a, т.е. ожидаемая доходность вложений не больше средней, причем равенство возможно только в детерминированном случае. Уточнить это неравенство можно в ситуации, когда D мало. Тогда, заменив u(x) первыми членами ряда Тейлора, получаем:

Отсюда, используя введенные в п. 3.1 показатели “неприятия риска” по Пратту ARA и “склонности к риску” q, найдем: . Таким образом, превышение средней доходности над ожидаемой увеличивается с ростом дисперсии доходности и неприятия риска инвестором (или — уменьшения склонности инвестора к риску). Чем больше ARA или чем меньше q, тем меньшую ценность имеет для инвестора случайный наращенный капитал по сравнению с гарантированным его средним значением.



ОГЛАВЛЕНИЕ