ОГЛАВЛЕНИЕ

Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового рынка и расчета рисков платежных обязательств.

В финансовой экономике принято оперировать понятием актива, относя к нему любую ценность. В зависимости от того, связано или нет владение тем или иным активом с риском, их множество разделяется на рисковые и безрисковые. Риск при этом понимается как та неопределенность в финансовых контрактах с активами, которая может привести к финансовым потерям. Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет) . Они образуют основу финансового рынка как пространства, снабженного соответствующей "торговой" инфраструктурой.
Пусть активы (безрисковый) и (рисковый) полностью определяются в любой момент времени своими ценами. Поэтому естественно считать базисной компонентой финансового рынка эволюцию цен и , которая осуществляется в соответствии с уравнениями
,
,
где
, ,
Относительно сразу будем говорить как о постоянной процентной ставке. Величины , определяющие эволюцию цен , уточним несколько позднее.
Ещё одной неотъемлемой компонентой финансового рынка является набор допустимых действий, или стратегий, которые можно производить с активами и .
Последовательность называется стратегией (портфелем), если для каждого величины и полностью определяются значениями цен . Это означает, что и являются функциями от : и . Их интерпретация – это количество единиц актива и соответственно.
С портфелем неразрывно связано понятие капитала портфеля:
,
где первая компонета показывает, сколько средств лежит на банковском счете, а вторая – сколько вложено в акции.
Если изменение капитала портфеля

происходит только за счет изменения цен банковского счета и акций
,
то портфель называется самофинансируемым ( ).
Модель эволюции цен и с классом называется -рынком, или финансовым рынком с базовыми активами и .
На этом рынке, где активы и играют роль основных ценных бумаг, можно формировать производные ценные бумаги.
Например, форвардный контракт на покупку акции в момент времени – это соглашение, регламентирующее одной стороне покупку этой акции, а другой – продажу по цене (цена поставки). Другой контракт – опцион покупателя – это соглашение, дающее право одной стороне на покупку акции по цене (цена исполнения), а другую обязывающее обеспечить продажу акции по цене в момент . В отличие от форвардного опционный контракт предполагает в момент заключения уплату премии.
Общая черта всех производных ценных бумаг – это их "распространенность в будущее" и "оттянутая в будущее выплата" . В первом случае , а во втором . Такие будущие платежи, которые можно отождествлять с производными ценными бумагами, будем называть платежными обязательствами.
Основной проблемой здесь является нахождение цены такого обязательства (или бумаги) в любой момент времени до истечения его срока действия. Ключевым элементом в этой проблеме является хеджирование платежных обязательств.
Портфель называется хеджем для , если при любом поведении рынка. Таких портфелей может быть много и важно выбрать хедж с наименьшим капиталом (минимальный хедж): для любого хеджа при любом развитии рынка (см. рис. 2.1.1):

Рис.2.1.1: Динамика капитала хеджирующих стратегий.
Ясно, что построение минимального хеджа открывает естественный путь решения проблемы цены платёжного обязательства как капитала минимального хеджа, а также управления риском с ним связанным.
Для этого потребуется некоторое уточнение понятия рискового актива в рассматриваемой модели финансового рынка, которое основывается на определенных понятиях из теории вероятностей и стохастического анализа.
Будем исходить из априорного понятия "эксперимент" с вполне определенным знанием его возможных исходов и незнанием того, какой из этих исходов произойдет до проведения эксперимента (случайность эксперимента).
Пример биржевых торгов. Есть знание возможных значений курса рубль/доллар и т. д., но до самих торгов неизвестно, какой же всё-таки будет курс.
Обозначим множество "элементарных" исходов через . Из них образовываются события (неэлементарные исходы), которые формируют множество событий , содержащее невозможное и достоверное события.
Далее, если , то повторение эксперимента раз фиксирует событие раз и соответственно частоту появления . Рассматривают только такие эксперименты, "случайность" которых обладает свойством статистической устойчивости, когда для любого события существует число такое, что при .
Указанное свойство называют статистической устойчивостью эксперимента, а определяемое этим свойством число – вероятностью события . Очевидны свойства вероятности , как функции на :
и ;
для .
Набор принято называть вероятностным пространством. Часто вместо события рассматривают его индикатор :
если
если
Индикатор является важным и простым примером случайной величины , как функции от на этом пространстве, когда каждому значению сопоставляется вполне определенное действительное число . В зависимости от того, исчерпывается множество значений случайной величины числовой последовательностью или заполняет целые интервалы, случайную величину называют дискретной или непрерывной соответственно. В этих случаях естественной числовой характеристикой является среднее, или математическое ожидание:

где называется распределением, а неотрицательная функция – плотностью.
Формально обе формулы можно записать в виде
,
где называют функцией распределения.
Ясно, что в дискретном случае , а в непрерывном
.
Если – некоторая функция, то можно говорить о случайной величине . Для нее также определено математическое ожидание

соответственно,

если сумма или интеграл в правой части существуют.
В частности, для соответствующее математическое ожидание называется дисперсией :

Примеры распределений:
Распределение Бернулли – это распределение случайной величины , принимающей два значения : с вероятностью и с вероятностью ;
Биномиальное распределение – это распределение случайной величины, принимающей значения при этом , , ;
Пуассоновское распределение (с параметром ) – это распределение случайной величины со значениями и при этом .
Нормальное распределение – это распределение случайной величины с плотностью .
Пусть на задана положительная случайная величина c . Для каждого события определим его новую вероятность . Тогда относительно этой новой вероятности случайная величина имеет и новое среднее:

При выводе этой формулы замены вероятности в математическом ожидании была использована линейность, устанавливаемая непосредственно из определения:
для постоянных .
Несколько следующих понятий и фактов обсудим только для дискретных случайных величин и со значениями и соответственно.
Вероятность называется совместным распределением и , при этом и .
Обозначая и , приходим к важному понятию независимости и , означающему, что .
Как следствие, для двух независимых случайных величин и имеем, что .
Условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , называется число .
Случайная величина есть по определению условное математическое ожидание при условии , если совпадает с на множестве .
В частности, для "тривиальных" случайных величин и получаем определение условной вероятности .
Отметим следующие свойства условных математических ожиданий:
, что для и соответствует формуле полной вероятности ;
для независимых и имеем, что .
Ввиду самого определения условное математическое ожидание является функцией от и в этом смысле может интерпретироваться как прогноз на основе информации, доставляемой "наблюдаемой" величиной .
Наконец, для "восстановления" распределения случайной величины , принимающей значения полезно понятие производящей функции , для которой и для независимых случайных величин .
Обратимся снова к примеру биржевых торгов и рассмотрим этот случайный эксперимент от нуля до ( – это "сегодня", – это месяц, квартал, год и т.д.) Ясно, что "элементарный" исход такого эксперимента может быть записан в виде последовательности , где – "элементарный" исход завтрашних торгов и т.д.
Возникает вероятностное пространство таких растянутых до "временного горизонта" торгов.
Если торги рассматривать до каждого момента , то соответствующее пространство имеет элементарные исходы и запас событий .
Таким образом, стремление уловить эволюцию торгов приводит к необходимости рассматривать пространство с выделенным информационным потоком , таким, что , которое принято называть стохастическим базисом (случайного эксперимента торгов).
Вернемся к модели финансового рынка.
Первый актив считается безрисковым, поэтому разумно предположение о его неслучайности: для всех . Второй актив – рисковый и разумно отождествить его рисковость со случайностью, предполагая – случайными величинами на описанном выше стохастическом базисе (например, биржевых торгов). При этом, каждая из величин полностью определяется результатами торгов до момента , или набором событий . Будем предполагать, с другой стороны, что случайность механизма торгов полностью исчерпывается ценами акций, что записывается в виде .
Для получения конкретных ответов в предполагаемых финансовых расчетах необходимо конкретизировать механизм случайности цен. Пусть в модели -рынка величины являются случайными, независимыми и принимающими два значения и , где , . Значит, формально представленное выше вероятностное пространство можно отождествить с – пространством последовательностей длины , где на -м месте располагается либо , либо ; – множество всех подмножеств из ; – вероятность, индуцируемая бернуллиевской вероятностью .
Информационный поток, или фильтрация , порождается ценами , или, что эквивалентно, последовательностью :

Последнее просто означает, что любая случайная величина на является функцией от или с учетом их взаимосвязи , Финансовый -рынок, заданный на описанном выше стохастическом базисе, будем называть биномиальным.
Вспоминая проблему хеджирования, сразу отмечаем, что платежное обязательство , исполняемое в последний день торгов, определяется, вообще говоря, событиями всей предыдущей предыстории и, следовательно, является функцией : . Проблема же состоит в возможности оценить на основе доступной лишь к моменту рыночной информации . Значит, необходимо делать оценку, или прогноз, на основе текущей информации , .
Сформулируем те эвристически понятные свойства прогноза, который будем обозначать для .
– это функция только от , но не от ненаблюдаемых ещё рыночных цен
Прогноз на основе тривиальной информации должен совпадать со средним прогнозируемого платежного обязательства: при , .
Прогнозы должны быть согласованы в том смысле, что прогноз совпадает с прогнозом для следующего прогноза . Как следствие, прогноз в среднем совпадает со средним от : .
Прогноз по всей доступной информации совпадает с прогнозируемой величиной: .
Прогноз для линейной комбинации , где и полностью определяются по информации , равен линейной комбинации прогнозов:

Если прогнозируемая величина не зависит от текущей информации , то прогноз на основе такой информации тривиален и равен среднему .
Обозначая из свойства 3) получаем, что для всех . Такие стохастические последовательности называются мартингалами.
Значит, если от прогнозов потребовать перечисленные выше естественные свойства, то они образуют мартингал на стохастическом базисе . "Мартингальность" означает, что прогноз для следующего значения прогноза совпадает с его предыдущим значением.
Как подсчитываются прогнозы? Сравнивая введенное ранее понятие условного математического ожидания с понятием прогноза обнаруживается естественная их взаимосвязь: прогноз на основе – это условное математическое ожидание случайной величины относительно случайных величин .
Пример. Пусть изменение цены акции от месяца к месяцу происходит согласно рекурентному соотношению , с независимыми доходностями , принимающими значения 0.2 и –0.1 с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. Предполагая цену акции в текущем месяце равной руб., найдем прогноз средней цены акции на следующие два месяца.
Поскольку для доходности и на следующие два месяца их средние равны , то по указанным выше свойствам прогнозов имеем

руб.
Приведем сводку понятий и фактов того вероятностного, или стохастического, анализа, которые будут необходимы для дальнейшего.
Предположим, задан стохастический базис . Для избежания ряда технических трудностей будем считать, что состоит из конечного числа элементарных событий. В целом ряде случаев мы будем указывать, как от этого предположения можно избавиться.
Заданная на этом (дискретном) базисе и согласованная с стохастическая последовательность называется мартингалом (субмартингалом, супермартингалом), если для любого (п.н.) (соответственно и ).
Введенная ранее случайная величина называется плотностью новой вероятности относительно . Рассмотрим обе эти вероятности на пространствах , и обозначим соответствующие плотности . Тогда и дает пример мартингала, играющего важную роль в дальнейшем.
Если – субмартингал, то его можно представить в виде (разложение Дуба):

где – мартингал, – неубывающая ( ) стохастическая (предсказуемая) последовательность такая, что и полностью определяется по .
Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно представить приращение в виде

Квадрат мартингала является субмартингалом, поэтому по разложению Дуба
,
где – мартингал, – предсказуемая неубывающая последовательность, называемая квадратической характеристикой .
Из предыдущего ясно, что
и
.
Для двух квадратично-интегрируемых мартингалов и вводится величина, подобная ковариации случайных величин

Эти мартингалы и ортогональны, если , или их произведение – вновь мартингал.
Из заданного квадратично-интегрируемого мартингала можно строить другие мартингалы с помощью следующего преобразования, называемого дискретным стохастическим интегралом:

где – предсказуемая стохастическая последовательность.
При этом

Далее, пусть , – стохастическая последовательность.
Построим по ней новую стохастическую последовательность следующим конкретным способом
.
Это простейшее линейное разностное уравнение, или стохастическое уравнение. Его решение

будем называть стохастической экспонентой.
Если задается неоднородным уравнением
,
то его решение имеет вид
.
Для полноты отметим следующие важные свойства стохастических экспонент, используемые в дальнейшем:
,где ;
– мартингал – мартингал;
– для всех ;
, где – правило умножения.



ОГЛАВЛЕНИЕ