ОГЛАВЛЕНИЕ

Биномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, единственность риск-нейтральной вероятности, мартингальное представление.

Уточним введенную в предыдущем параграфе модель рынка, предполагая, что доходности
с вероятностью
с вероятностью
образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, . Вероятностное пространство можно идентифицировать с – множеством последовательностей длины вида с или , – множество всех подмножеств , – вероятность, индуцированная бернуллиевской вероятностью
, , .
Фильтрация порождается последовательностью .
Такая модель -рынка называется биномиальной, или моделью Кокса-Росса-Рубинштейна:
, ,
, .
В рамках этой модели определения стратегии, хеджа и т.д. специфицируются следующим образом:
Стратегия (портфель) – двухкомпонентная предсказуемая последовательность.
Платежное обязательство – это произвольная случайная величина на стохастическом базисе ;
Хедж – это (самофинансируемая) стратегия с терминальным капиталом (п.н.);
Минимальный хедж – это хедж с минимальным текущим капиталом: (п.н.): для всех и всех других хеджей .
Арбитраж означает, что существует (арбитражная стратегия) такая, что
и .
Эвристически арбитраж означает возможность получения прибыли без риска.
Рисковый характер рынка при нашем подходе идентифицируется со случайностью цен . Далее, та или иная вероятность позволяет численно оценивать эту случайность, или рисковость. При этом начальная вероятность может давать также вероятностные характеристики для , которые могут быть весьма далеки от безрискового актива . В то же время ясно, что исчисление того или иного обязательства должно быть нейтральным к риску. Такая нейтральность может идентифицироваться с другой вероятностью , относительно которой поведение рискового актива "близко" к поведению безрискового. Разумно выбирать такую вероятность для того, чтобы в среднем (относительно вероятности ) и совпадали, или дисконтированная цена должна быть постоянной в среднем относительно :
для .
Из приведенного условия с учетом уравнений -рынка при находим, что

где – бернуллиевская вероятность, определяющая вероятность .
Ясно, что и, следовательно, .
Последнее равенство означает, что в рамках биномиальной модели соответствующая вероятность "риск-нейтрального" расчета определяется однозначно.
Можно ли сказать больше о поведении дисконтированных цен акций относительно найденной вероятности ?
Для ответа найдем соответствующий прогноз: для всех

Значит, последовательность образует мартингал относительно риск-нейтральной вероятности , которую по этой причине называют также мартингальной.
Следующий шаг в изучении биномиальной модели состоит в доказательстве безарбитражности этого рынка.
Рассмотрим произвольную самофинансируемую стратегию с дисконтированным капиталом . Используя установленные свойства мартингальной вероятности , имеем для любого

Значит, дисконтированный капитал самофинансируемой стратегии является мартингалом относительно , что дает так называемую мартингальную характеризацию класса .
Далее, пусть существует некоторая арбитражная стратегия . Из ее определения вытекает, что
.
С другой стороны, свойство мартингальности отношение приводит к равенству
.
Далее, вероятности и связаны положительной плотностью : для всех событий .
Используя это замечание и установленные выше соотношения, получим

Это противоречит предположению об арбитражности и позволяет констатировать, что рассматриваемый рынок не допускает арбитража.
Теперь установим, что в рамках биномиального рынка любой мартингал является стохастическим интегралом относительно некоторого базового мартингала. Именно, пусть – последовательность независимых случайных величин на таких, что


Определим фильтрацию . Любой мартингал , относительно может быть представлен в виде
,
где – предсказуемая последовательность, а сумма – "бернуллиевский мартингал".
Доказательство этого мартингального представления состоит в следующем. Поскольку порождается , а полностью определяется по , то существуют такие функции с либо , либо , что
.
Необходимое представление нам удобно переписать в виде
,
или, с учетом предыдущего замечания,

Откуда получаем

что и следует установить для получения исходного представления.
Из мартингального свойства вытекает
, или
,
что можно переписать в виде

С учетом формулы для отсюда приходим к требуемому утверждению.
С помощью полученного мартингального представления можно следующим образом конкретизировать плотность мартингальной вероятности относительно :
,
где .
Для этого рассмотрим прогноз . По свойствам прогнозов – мартингал относительно и фильтрации . Следовательно, в соответствии с вышеприведенным представлением мартингалов можно записать в виде (с заменой и на и ):
,
где – предсказуемая последовательность.
Далее, и поэтому имеем следующее стохастическое уравнение
.
Следовательно, его решение представляется в виде
.
Найдем коэффициенты пользуясь тем, что является плотностью мартингальной вероятности.
При из этого условия получаем, что

и, значит, .
Предполагая теперь все , равными этой константе, используя независимость , имеем

что приводит к и к соответствующей формуле плотности.



ОГЛАВЛЕНИЕ