ОГЛАВЛЕНИЕ

Хеджирование платежных обязательств на биномиальном финансовом рынке. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна. Форвардные и фьючерсные контракты.

Рассмотрим в рамках введенной в предыдущем параграфе биномиальной модели -рынка некоторый финансовый контракт.
Любой финансовый контракт предполагает определенное в нем платежное обязательство , как правило, оттянутое в будущее к моменту его истечения. Если детерминировано, то неопределенность, или риск неуплаты, с ним связанная, доступна для оценивания и управления. Ввиду неслучайности его рыночная рисковость тривиальна, поскольку очевиден прогноз этого обязательства . Значит, необходимо уравнять его стоимость в "сегодняшних" единицах, произведя дисконтирование . Знание этой дисконтированной величины полностью снимает вопрос о риске неуплаты по обязательству.
Положение существенно осложняется, когда платежное обязательство , лежащее в основе контракта, зависит от поведения рынка в контрактный период . Так возникает нетривиальный риск, как возможность неуплаты по . Отождествляя эту возможность, или риск, со случайностью обязательства, можно строить оценки и управлять риском на основе методов вероятностного анализа.
Для нас оценивать риск и управлять им – значит уметь прогнозировать по поступающей в результате каждодневных торгов рыночной информации .
Предваряя общую методологию расчета платежных обязательств, приведем конкретные примеры, иллюстрирующие сущность приводимой ниже методологии хеджирования.
На пространстве с и – состоящей из всех возможных событий , рассмотрим биномиальный "одношаговый" -рынок: pyб., ("годовая" процентная ставка ), руб. с вероятностью и 70 руб. с вероятностью .
Финансовый контракт (опцион покупателя) предполагает в момент выплату в размере руб. = руб. = 50 руб. с вероятностью 0,4 и 0 руб. с вероятностью 0,6.
Если рассуждать эвристически, то надо рассмотреть следующий вариант оценки такого опциона:
"Эвристическая" цена =
Если стремиться к цене минимального хеджирования, то естественно строить самофинансируемую стратегию , воспроизводящую в том смысле, что .
Учитывая равенства
и ,
можно это уравнение переписать в виде

и найти его решения, равные и .
Значит, "цена минимального хеджирования" равна
.
Заметим, что построенная стратегия управления риском предполагает взятие кредита и размещение этих средств в акциях в количестве 5/8.
Наконец, расчет цены, или прогноза , на основе риск-нейтральной вероятности приводит к нахождению из условия

Следовательно, "риск-нейтральная" цена равна
.
На том же рынке рассмотрим другой опционный контракт с выплатами в момент и равными .
Заметим, что с вероятностью 0,4 и 30 с вероятностью 0,6. Следовательно, "эвристическая цена" равна
.
Стратегия минимального хеджирования , как и в предыдущем случае, определяется условием , которое приводит к системе уравнений:

и "цене минимального хеджирования"
.
Заметим, что "риск-нейтральная" цена равна той же величине
.
Отметим, что стратегия хеджирования этого обязательства отличается от предыдущего случая тем, что предполагает взятие в долг акций (в количестве 3/8) и размещение средств на банковском счете.
Общей чертой обоих примеров является совпадение цены минимального хеджирования с риск-нейтральной ценой и несовпадение её с эвристической ценой опциона. Это обстоятельство является проявлением следующего общего факта:
цена платежного обязательства равна прогнозу его дисконтированного значения относительно риск-нейтральной вероятности.
Объяснение этого факта состоит в следующем.
Пусть – заданное платежное обязательство на биномиальном -рынке. Прогноз (относительно риск-нейтральной вероятности ) его дисконтированного значения является, согласно свойствам прогнозов мартингалом с граничными значениями:
.
Для него запишем мартингальное представление
,
где полностью задаются .
Полагая
и ,
получаем стратегию с капиталом
и .
В частности, и, значит, – хедж для .
Для любого другого хеджа имеем по свойствам прогнозов, что

Следовательно, – минимальный хедж для обязательства .
Назовем ценой обязательства начальный капитал такого хеджа , который, как указывалось выше и реализовывалось в примерах, в точности равен .
Найдем выраженную в терминах параметров биномиальной модели цену опциона покупателя. В этом случае соответствующее платежное обязательство .
Данная производная ценная бумага дает право её держателю в момент купить акцию не по рыночной цене , а по заранее оговоренной цене . При этом эмитент опциона обязан продать акцию по этой цене .
Согласно изложенной методологии имеем, что

Следовательно, необходимо найти указанное математическое ожидание.
Для этого вычислим

Определяя , приходим к следующему виду :

где – целая часть числа .
Учитывая очевидные равенства

находим, что

Используя свойства стохастических экспонент и представление цен акций в виде , находим, что




Вводя новые обозначения

приходим к классической формуле Кокса-Росса-Рубинштейна

Приведенная формула дает значение цены платежного обязательства в момент . Анализ методологии приводит к заключению, что цена этого обязательства при будет определяться формулой

где .
Величина есть капитал минимального хеджа в момент , а структура приведенной формулы для такова, что минимальный хедж определяется рисковой компонентой . Другая компонента определяется из условия самофинансируемости.
Таким образом, с помощью формулы Кокса-Росса-Рубинштейна достигается полное описание стратегии риск-нейтрального управления для опциона покупателя.
Еще один популярный опцион – опцион продавца с обязательством дает право продать акцию не по рыночной ее стоимости , а по заранее оговоренной цене . Графики платежных функций обоих опционов указаны ниже:


Рис. 2.3.1. Платежные функции опционов call и put.
Обозначим цену опциона продавца через . Далее, с учетом очевидного равенства

и "мартингальности" получаем, что

Указанная взаимосвязь, называемая паритетом цен покупателя и продавца, позволяет пересчитывать эти опционы один через другой.
Следующее замечание состоит в том, что для целого класса платежных обязательств вида , где , – гладкая функция, цена может быть найдена через цену опциона покупателя.
По формуле Тейлора, данная гладкая функция может быть представлена в виде
.
Подставляя в это равенство , деля на и усредняя по , получим, что

Таким образом, зная формулу Кокса-Росса-Рубинштейна, можно вычислить цену любого другого опциона с гладкой функцией выплат.
Заметим, что для произвольного платежного обязательства его цена, вычисленная по формуле , обладает следующими свойствами:
Она устраивает и продавца опциона (при правильном инвестировании всегда имеется возможность из сделать капитал и расплатиться) и покупателя (он платит наименьшую величину, достаточную продавцу для хеджирования). В этом смысле найденная цена "справедливая", а риск для обеих сторон минимален.
Если продавец опциона продает эту бумагу по цене , то приобретает такую арбитражную возможность: вложить в минимальный хедж, а оставшаяся часть представляет чистый доход, не зависящий ни от какой рыночной конъюнктуры.
Если же продавец опциона назначит цену , то уже покупатель имеет "арбитражный" доход .
Следовательно, вся область цен распадается на две подобласти арбитражных цен, разделенных , которую в связи с этим называют безарбитражнон ценой (см. рис. 2.3.2)


Рис. 2.3.2. Структура цен опциона на биномиальном рынке.
Приведем применение изложенной теории минимального хеджирования и формулы Кокса-Росса-Рубинштейна к следующей задаче "гибкого" страхования.
Страховая компания, работающая на биномиальном рынке, создает контракт "чистого дожития". Согласно контракту, страхователь, доживший до окончания контракта , получает выплату в размере

где – цена акции на биномиальном рынке, – константа, равная минимальному гарантированному уровню выплат.
Сколько же ( ) может стоить такой страховой полис?
Пусть компания заключила такой договор с группой страхователей в количестве в возрасте лет. Каждый страхователь , характеризуется положительной случайной величиной – временем своей жизни. Обозначим условную вероятность прожить еще лет после и предположим независимость этих случайных величин самих по себе и от .
Согласно развитой теории разумно находить из равенства средних суммарных премий и выплат:

где – усреднение по мартингальной вероятности.
Используя равенство , независимость и и формулу Кокса-Росса-Рубинштейна, получим вполне разумную величину премии

Покажем теперь, как соображения безарбитражности приводят к расчетам цен таких линейных производных инструментов финансового рынка, какими являются форварды и фьючерсы.
Форвардный контракт – это обязательное для исполнения соглашение между двумя сторонами о покупке или продаже определенного актива в фиксированный в будущем момент (момент исполнения) по определенной цене (цене поставки).
Для определенности будем рассматривать форварды как инвестиционный инструмент на биномиальном -рынке. Заключение соглашения может происходить в любой момент . В связи с этим возникают и разные цели поставки актива : . Структуру цен необходимо уметь рассчитывать.
Капитал инвестора, вкладывающего средства в банковский счет и в акции через посредство форвардов можно представить в виде

где – количество единиц покупаемого актива , а при , .
Далее, дисконтированный капитал такой стратегии имеет вид

ввиду того, что для форвардного контракта, заключаемого в момент при , при .
Критерий, который следует выбрать для нахождения предполагаемой форвардной цены , должен базироваться на соображениях безарбитражности стратегии . Это приводит к выбору из условия

и, значит,

Отсюда приходим к заключению о равенстве

которое гарантирует безарбитражность .
Фьючерсный контракт – это тоже форвардное соглашение, но осуществляемое не непосредственно, а через клиринговую палату, где открываются так называемые маржинальные счета участников. Все перерасчеты динамики контракта осуществляются через эти счета.
Фьючерсные цены обозначим

Пусть контракт на акцию заключается в момент с назначением цены . В следующий момент может оказаться, что котировочная цена либо больше, либо меньше . В первом случае проигрывает продавец акции и вносит вариационную маржу на счет покупателя.
Во втором случае – покупатель должен внести .
Обозначим .
Формируя инвестиционный портфель из единиц банковского счета и единиц акций, покупаемых посредством фьючерсов, имеем аналогично случаю форвардных контрактов, что

Вновь привлекая критерий безарбитражности, приходим к условию для нахождения фьючерсных цен

что, на самом деле, эквивалентно мартингальности относительно и, значит, .
Учитывая теперь, что , приходим к .
В результате приходим к общему выводу, что на полном безарбитражном биномиальном -рынке форвардные и фьючерсные цены совпадают.



ОГЛАВЛЕНИЕ