ОГЛАВЛЕНИЕ

Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа.

Рассмотрим теперь на биномиальном -рынке с временным горизонтом набор (последовательность, портфель) платежных обязательств , исполняемых в моменты . Управление таким портфелем не вызывает больших трудностей ввиду развитой выше теории.
Действительно, для каждого обязательства надо вычислить его цену
,
а затем для получения цены всего портфеля надо просуммировать по числу платежных обязательств в портфеле:

Заметим, что в финансовой арифметике детерминированные платежи называют рентой. Пользуясь такой традиционной терминологией, можно охарактеризовать приведенную только что формулу как стоимость стохастической ренты.
Свойство линейности сравнительно легко привело к нахождению цены портфеля платежных обязательств. Однако, его структура далеко не всегда допускает такую аддитивность.
Пусть – некоторая неотрицательная стохастическая последовательность, согласованная с информационным потоком . Рассмотрим случайные величины , принимающие значения "не забегая" в будущее , т.е. . Их принято называть марковскими моментами, или моментами остановки (м.о.).
С помощью последовательности и заданного м.о. построим новое платежное обязательство

Структура показывает, что это обязательство определяется всей историей торгов до момента , но исполняется в случайный момент , называемый моментом исполнения.
Согласно изложенной ранее методологии управления риском, связанным с заданным обязательством, его цена находится вновь с помощью усреднения по риск-нейтральной вероятности для биномиального -рынка:

Обозначая множество всех м.о. приходим к портфелю таких обязательств , занумерованных элементами .
Поскольку – это "риск-нейтральный" прогноз будущих выплат , то абсолютно ясно, что в качестве адаптированной к риску, связанному с таким портфелем, цены должен быть взят максимальный из этих прогнозов:

Далее, набор конечен, поэтому обязательно найдется м.о. такой, что

который и следует взять в качестве момента исполнения для всего портфеля платежных обязательств .
С математической точки зрения нахождение пары решает задачу оптимальной остановки стохастической последовательности , а с точки зрения финансовой экономики – задачу расчета производной ценной бумаги – опциона американского типа, дающего право его предъявления в любой момент времени до истечения даты . Такие опционы составляют более 90% объема опционной торговли.
Примеры опционов американского типа
а) Опционы покупателя и продавца, соответственно, задаются с помощью следующих последовательностей платежных обязательств:
и ,
б) Русский опцион задается с помощью максимума из текущей последовательности цен акций:

Соответствующая методология расчета состоит в следующем.
Здесь полностью сохраняется понятие стратегии (портфеля)
и капитала . Самофинансируемая стратегия называется хеджем, если для любого . При этом для любого м.о. . Хедж – минимальный, если для всех и любого другого хеджа .
Рассмотрим стохастическую последовательность "максимальных прогнозов"

Очевидны граничные значения этой последовательности:

Выясним структуру последовательности , переписывая ее терминальное значение через единственный м.о. :

При имеем

что эквивалентно формуле

Определяя м.о.

находим, что равен либо , либо .
Для произвольного имеем, что

Следуя указанной схеме, находим, что

Для построения хеджирующей стратегии рассмотрим последовательность максимальных прогнозов и заметим, что
для всех
Следовательно, является супермартингалом, для которого запишем разложение Дуба

где – мартингал, – предсказуемая неубывающая
последовательность.
Для можно записать мартингальное представление в виде

где – некоторая предсказуемая последовательность.
Начиная с , построим с помощью самофинансируемую стратегию с капиталом так, что .
Далее, построенная стратегия является хеджем, поскольку

для всех .
По построению находим соответствующую цену

Для иллюстрации представленной выше методологии расчета рассмотрим следующий пример опциона американского типа на двухшаговом (B,S)-рынке с выплатами

где руб., ,

Процентную ставку положим равной 0.2.
Ясно, что риск-нейтральная вероятность определяется бернуллиевской .
Исследуем структуру максимальных прогнозов :

Величина

и в соответствии с этим

Учитывая равенство , приходим к и "оптимальному" моменту исполнения

Приведем также один общий факт, когда "останавливаться" при торговле с американскими опционами надо в самый последний момент .
Пусть , где – некоторая неотрицательная выпуклая функция. Предположим, для простоты, что .
Согласно развитой теории имеем

Согласно неравенству Йенсена является субмартингалом относительно мартингальной вероятности . Поэтому для любого

и мы приходим к оптимальности .





ОГЛАВЛЕНИЕ