ОГЛАВЛЕНИЕ

Функции полезности и Санкт-Петербургский парадокс. Расчет оптимального инвестиционного портфеля.

При изучении поведения инвестора на финансовом рынке мы наблюдали стратегии (портфели) его действий в контексте хеджирования платежных обязательств, что представляет один из критериев сравнения стратегий инвестирования. В финансовой экономике признаются и широко применяются и другие способы сравнения. Одно из общепринятых правил такого предпочтения реализуется с помощью функции полезности , когда инвестор стремится повысить ее значение.
Непосредственно желание увеличения может приводить к сложностям, поскольку капитал – случайная величина. Поэтому сравнивают полезность в среднем, и такой подход называют ожидаемой полезностью:
стратегия "лучше" стратегии .
Основы такого рода теории предпочтений заложили Нейман и Моргенштейн, а ее развитие привело к определенной системе аксиом и понятию "risk aversion" как характеристики не расположенного к риску поведения на рынке. Это выделило целый класс выпуклых функций полезности и определило чисто математическую характеристику "неприятия риска" – функцию Эрроу-Пратта: .
Эта функция при характеризует убывание неприятия риска, а при – возрастание .
Таким образом, введение таких выпуклых функций полезности позволяет задавать меру инвестиционного предпочтения для тех участников рынка, кто "не испытывает склонности к риску".
По существу, теория оптимального инвестирования с использованием функций полезности выросла из знаменитого Санкт-Петербургского парадокса Н. Бернулли.
Петр предлагает Павлу следующую игру, заключающуюся в подбрасывании монеты. Игра прекращается при первом появлении герба , при этом Петр платит Павлу 1, 2, 4 и т. д. дукатов в зависимости от того, на каком "броске" n впервые выпал герб.
Сколько же должен Павел заплатить Петру за возможность участия в предлагаемой игре?
Пусть – величина выигрыша Павла, которую, естественно, считать случайной.
Первая естественная идея найти – это посчитать среднее :
.
Таким образом, в среднем выигрыш Павла бесконечен и поэтому он может соглашаться на любую цену, предложенную Петром, что само по себе парадоксально.
Д. Бернулли предложил "обойти" эту ситуацию следующим образом: находить из уравнения

которое приводит к разумной цене , поскольку

Предполагая выпуклость, возрастание и гладкость функции , рассмотрим задачу нахождения самофинансируемой стратегии такой, что

Для упрощения последующих рассмотрений будем ниже считать . Тогда
,
и, значит, исходная задача максимизации сводится к задаче
.
Обозначим через дисконтированный капитал , который, как было установлено ранее, является положительным мартингалом относительно риск-нейтральной вероятности . Это дает нам следующую редукцию исходной задачи:
Найти положительный мартингал такой, что
,
где максимум берется по всем положительным мартингалам с начальным значением .
В качестве рассмотрим величину , определяемую начальным значением и плотностью мартингальной вероятности . Остальные значения определяются прогнозами для относительно :
.
Далее, для любого другого подобного мартингала в силу свойств логарифмической функции имеем, что

Следовательно, – "оптимальный мартингал". Как указывалось ранее, такой мартингал обязательно является дисконтированным капиталом некоторой самофинансируемой стратегии , которую необходимо найти.
Для нахождения этого оптимального портфеля введем пропорцию его рисковой части во всем капитале портфеля.
Индукцией по устанавливается, что с одной стороны,
,
а с другой,
.
В результате приходим к уравнению для нахождения :
.
В случае это уравнение переписывается в виде:
.
На множестве имеем, что
.
Прямым подсчетом устанавливаем, что .
Рассмотрения на другом множестве приводят к точно такомц же выражению для пропорции. Предполагая, что , по индукции устанавливаем, что равно приведенному выше значению.
Таким образом, оптимальная стратегия в задаче максимизации средней логарифмической полезности характеризуется постоянной пропорцией рисковой части во всем капитале стратегии и равной
.
Следовательно, управление портфельным риском здесь – это удержание указанной пропорции постоянной на всем промежутке инвестирования (см. рис. 2.5.1)

Рис. 2.5.1
Стратегия управления риском портфельного инвестирования, вообще говоря, отличается от хеджирующих портфелей платежных обязательств.
Проиллюстрируем это на рассмотренных в предыдущем параграфе примерах.
Напомним, что в них рассматривается одношаговый биномиальный -рынок с процентной ставкой и доходностью рискового актива , принимающей значения 0.5 и –0.3 с вероятностями 0.4 и 0.6 соответственно.
Средняя доходность строго меньше процентной ставки , а оптимальная пропорция отрицательна и равна . Все это свидетельствует о необходимости депозитной стратегии с указанным займом акций.
Для рассмотренных ранее двух платежных обязательств

и

где значения принимаются с вероятностями 0.4 и 0.6, цены равны 26 и 9.3 соответственно. Вычисляя терминальное значение капитала стратегии в этих точках, убеждаемся, что они отличаются от значений платежных обязательств:

Значит, оптимальная стратегия управления портфельным риском отличается от обеих стратегий минимального хеджирования.
Замечание. Рассмотрим одношаговую биномиальную модель -рынка и определим портфель парой неотрицательных пропорций , означающих вложения в активы и , соответственно. Тогда его доходность равна взвешенной сумме доходностей и :
.
В этой ситуации выбор оптимального портфеля сводится к максимизации средней доходности

в предположении либо ограниченности дисперсии этой доходности

либо при ограничении на вероятность дефицита
.
Именно на этом пути возникают понятия эффективных портфелей, развиваются теории Марковица, САРМ (Capital Asset Pricing Model), а также современные концепции стоимости риска VaR (Value of Risk).



ОГЛАВЛЕНИЕ