ОГЛАВЛЕНИЕ

Структура цен хеджирующих и инвестиционных стратегий в модели Хо-Ли рынка облигаций.

Облигация – это долговое обязательство компании или государства, накладываемое на себя с целью аккумулирования капитала на некоторый период времени , называемый моментом погашения. При этом выплачивается заранее фиксированная величина номинала облигации. В течение срока действия облигации могут выплачиваться промежуточные платежи, называемые купонами. Будем рассматривать облигации без купонов и с единичным номиналом и тогда во избежание арбитражной ситуации следует предположить, что , где – текущая цена облигации со сроком погашения . В качестве модели эволюции облигации рассмотрим модель Хо-Ли, согласно которой
,
где – последовательность независимых случайных величин, принимающих значения 0 и 1 с вероятностями и – функция возмущений, зависящая от разности , такая, что , .
В качестве вероятностного пространства можно взять , , – вероятность, определяемая бернуллиевским параметром . Налицо очевидная аналогия с биномиальной моделью -рынка. Семейство называется безарбитражным если для каждого стохастическая последовательность
, где ,
является мартингалом относительно некоторой вероятности .
Безарбитражность приводит к существованию такого, что
.
При этом устанавливается, что для некоторого имеют место соотношения

Рассмотрим введенное семейство облигаций и банковский счет с процентной ставкой .
Заметим, что

и
.
Далее, вводя новый параметр перепишем функцию возмущений в виде
.
С учетом этого приходим к следующей структуре цен облигаций в рассматриваемой модели Хо-Ли:

Выберем из семейства некоторую облигацию в качестве рискового актива, банковский счет – в качестве безрискового и образуем финансовый рынок. Тогда портфель будет образовываться из единиц актива и облигаций со сроком погашения , а соответствующий капитал портфеля будет иметь структуру
.
Самофинансируемость означает, что

Таким образом, построенный -рынок является полной аналогией биномиального -рынка с единственной мартингальной вероятностью .
На этом рынке рассмотрим платежное обязательство , соответствующее (европейскому) опциону покупателя, . Согласно развитой ранее методологии его цена определяется единственным образом равенством
.
Далее, из приведенной структуры цен следует, что , если не менее величин из принимает значение 1, где
.
Положим

где суммирование осуществляется по всем векторам из 0 и 1 таким, что .
С учетом этого находим, что

Далее, с учетом обозначения получаем и структуру капитала минимального хеджа :

На этом же облигационном рынке можно рассмотреть и решить методами параграфа 5 задачу максимизации средней логарифмической полезности инвестора.
Для этого перепишем сначала плотность (вероятности относительно ) в виде
.
Тогда дисконтированный капитал оптимальной стратегии равен
.
Полагая в качестве пропорции рисковой части во всем капитале стратегии величину
,
с учетом самофинансируемости имеем, что
.
С использованием структуры цен получаем
и
.
В результате приходим к формуле для оптимальной пропорции:
.



ОГЛАВЛЕНИЕ