ОГЛАВЛЕНИЕ

Фундаментальные теоремы арбитража и полноты. Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках.

Пусть – стохастический (дискретный) базис, . Определим на этом базисе -рынок как две последовательности цен:
безрисковый актив как детерминированную (или даже предсказуемую) последовательность .
рисковый актив как стохастическую последовательность , согласованную с фильтрацией (это значит, при каждом случайная величина полностью определяется событиями из .
Образуем теперь отношение и назовем вероятность мартингальной, если становится мартингалом относительно . Множество таких вероятностей обозначим .
В этой общей постановке сохраняются все понятия, ранее введенные для биномиального рынка: самофинансируемая стратегия, портфель, капитал портфеля и т. д.
Напомним, что арбитраж на этом рынке означает существование такой, что (п.н.), (п.н.) и .
Первая фундаментальная теорема финансовой математики состоит в следующем:
Данный -рынок не допускает арбитража .
Доказательство в целях упрощения изложения осуществляется при . В случае импликации возьмем некоторую и заметим, что для произвольной самофинансируемой стратегии ее (дисконтированный) капитал

является мартингалом относительно . Этот факт в "биномиальном" случае именовался мартингальной, или дуальной, характеризацией класса .
Значит, если – арбитражная стратегия, то с одной стороны, по ее определению, , а с другой, с учетом мартингального свойства последовательности :
.
Одновременно это не может выполняться, и мы приходим к противоречию с существованием арбитражной стратегии . Доказательство обратной импликации технически много сложнее и может быть найдено в более специальных источниках и книгах по финансовой математике.
Рассматриваемый -рынок называется полным, если произвольное платежное обязательство может быть реплицировано капиталом некоторой самофинансируемой стратегии: существует и такие, что (п.н.)
и
Данный рынок содержит базисную стохастическую последовательность дисконтированных цен , которая является мартингалом относительно любой вероятности . Оказывается, любой другой мартингал (относительно может быть представлен (ср. с представлением мартингалов для биномиального рынка) в виде дискретного стохастического интеграла, построенного по . Это свойство рынка будем именовать его репрезентативностью. Следующие рассмотрения показывают, что репрезентативность эквивалентна полноте рынка.
Пусть -рынок полный ( для простоты). Возьмем произвольный мартингал и определим по нему следующее платежное обязательство . Ввиду полноты рынка существуют и такие, что (п.н.)
и
Последнее равенство, как следствие самофинансируемости стратегии , показывает, что – мартингал относительно любой вероятности . Значит, получено два мартингала с одним и тем же терминальным значением . Поэтому для

что и приводит к представлению мартингала через базовый мартингал .
Обратно, если – данное платежное обязательство на рынке со свойством репрезентативности, то рассмотрим стохастическую последовательность для любой фиксированной вероятности . Его можно представить в виде

где – предсказуемая последовательность.
Далее, положим

и с учетом вышеприведенного представления заметим, что

полностью определяется по информации, доставляемой , т. е. – предсказуемая последовательность. Это означает, что пара является самофинансируемой стратегией со свойством (п.н.)

В частности, и мы получаем свойство реплицируемости обязательства , а вместе с этим и полноту рынка.
Основная характеризация полных рынков дается
Второй фундаментальной теоремой финансовой математики:
Данный -рынок является полным множество состоит только из одной вероятности .
Доказательство. Импликация доказывается с помощью следующих соображений. Возьмем произвольное событие и положим в качестве платежного обязательства. Это платежное обязательство можно реплицировать: существует и такие, что
,
при этом
Если теперь и , то относительно обеих вероятностей – мартингалы и, следовательно,

Отсюда мы можем заключить, что .
Обратная импликация технически существенно сложнее. Приведем схему доказательства. Пусть – единственная мартингальная вероятность. Установим по индукции, что . Для этого предположим, что . Возьмем и сконструируем случайную величину

для которой и . По определим новую вероятность и заметим, что

Это означает мартингальность вероятности , и в силу единственности мартингальной вероятности заключаем, что: (п.н.). В результате получаем, что и потому .
Следующий шаг состоит в рассмотрении условных распределений доходностей:
где
Оказывается, эти распределения имеют такую структуру: существуют две предсказуемые последовательности: неположительная и неотрицательная , удовлетворяющие равенству

Приведенное равенство является следствием уже общего вероятностного факта о структуре функций распределений на числовой прямой со свойствами
и
Множество распределений состоит из единственного распределения существуют и .
Имея ввиду сказанное о структуре распределений доходностей , положим

Заметим, что
, или

Следовательно,

Далее, если – мартингал относительно , то существуют функции такие, что

Повторяя те же самые аргументы, которые использовались в случае биномиального рынка, приходим к следующему мартингальному представлению

где – предсказуемая последовательность.
Принимая во внимание эквивалентность полноты и репрезентативности, мы приходим к завершению доказательства.
Приведем теперь общие схемы расчета платежных обязательств на полных и неполных рынках.
Сначала рассмотрим полный -рынок с единственной мартингальной вероятностью . Пусть – платежное обязательство на этом рынке. Определим мартингал, естественно определяемый этим обязательством:

с "граничными" условиями:

В соответствии со второй фундаментальной теоремой запишем мартингальное представление для :

где – предсказуемая последовательность.
Определим стратегию , где и, пользуясь, вышеприведенным представлением, найдем, что последовательность

является предсказуемой.
Следовательно, построенная стратегия и для ее капитала имеют место соотношения: (п.н.)

и, в частности, (п.н.).
Как результат, получаем следующую теорему.
Теорема (Схема расчетов платежных обязательств на полном рынке).
Предположим, что заданный выше -рынок является полным и – платежное обязательство. Тогда существует самофинансируемая стратегия , которая является минимальным хеджем с капиталом

и компонентами , определяемыми из разложений

В частности, цена платежного обязательства равна

Заметим, что минимальность вытекает из следующего соотношения: если и является хеджем для , то (п.н.)

для .
Рассмотрим теперь схему соответствующих расчетов для неполного рынка.
Вначала напишем чисто формально преобразование капитала стратегии , не являющейся, вообще говоря, самофинансируемой. Нам это нужно, поскольку с помощью класса мы здесь уже не можем реплицировать ввиду неполноты рынка.
Мы имеем, что

где

Назовем класс стратегий с неубывающей стохастической последовательностью стратегиями с потреблением, которые и будем рассматривать ниже.
В соответствии со сказанным имеем, что

где – уже не является предсказуемой, поскольку "потребление" определяется по всей информации , а не только по .
Эволюция дисконтированного капитала стратегии с потреблением удовлетворяет соотношению

Идея расчета платежного обязательства состоит в следующем: постараться найти стратегию с потреблением , которая реплицирует . Если это удастся сделать, то капитал такой стратегии будет вполне естественным кандидатом для цены обязательства .
Определим для реализации заявленной идеи следующую последовательность прогнозов для :

Оказывается, стохастическая последовательность является положительным супермартингалом относительно любой . Следовательно, для каждой фиксированной можно написать соответствующее разложение Дуба:
,
где – мартингал относительно , а – предсказуемая неубывающая последовательность.
Приведенное разложение зависит от вероятности , а хотелось бы иметь что-то подобное, но инвариантное для класса мартингальных вероятностей . Эту роль выполняет опциональное разложение, называемое также равномерным разложением Дуба, согласно которому

где – мартингал для любой вероятности из , – неубывающая (но не предсказуемая, вообще говоря) стохастическая последовательность.
Более того, допускает дальнейшее структурирование

где – предсказуемая последовательность.
Определим в соответствии с изложенным такую стратегию с потреблением:

По ее построению находим, что

Следовательно, (п.н.)

что означает реплицируемость с помощью построенной стратегии с потреблением .
Сформулируем соответствующую теорему.
Теорема (Схема расчетов платежных обязательств на неполном рынке)
Пусть – заданное платежное обязательство на неполном -рынке. Тогда существует стратегия с потреблением с минимальным капиталом

и компонентами , определяемыми из опционального разложения положительного супермартингала :

В частности, в качестве начальной (верхней) цены для может быть взята

Для завершения доказательства этой теоремы остается убедиться только в минимальности предложенного хеджа .
Для этого возьмем произвольную стратегию с потреблением , являющуюся хеджем для . Тогда имеем для любой , что для любого

Следовательно, для всех (п.н.)

откуда вытекает требуемая минимальность .




ОГЛАВЛЕНИЕ