ОГЛАВЛЕНИЕ

Структура цен опционов на неполных рынках и рынках с ограничениями. Инвестиционные стратегии, основанные на опционах.

Как можно было убедиться в предыдущем параграфе, если в модели -рынка доходности (соответственно, цены ) принимают более двух значений, то риск-нейтральных вероятностей может быть много. Поэтому и чисел , претендующих на роль безарбитражных цен обязательства , может быть столько же.
Как устроены безарбитражные цены для обязательства в ситуации неполного рынка?
Естественный ответ состоит в следующем: надо рассматривать отрезок
.
Из вышесказанного вытекает, что каждое число из этого отрезка может служить безарбитражной ценой опциона с выплатой .
Подойдем к объяснению этого с другой стороны. Обозначим – терминальный капитал самофинансируемой стратегии, "стартующей" из и определим величины
, .
Когда риск-нейтральная вероятность одна, то существует хедж с начальным капиталом и терминальным капиталом в точности совпадающим с . Значит, в этом случае .
В рассматриваемом случае, вообще говоря, и соответствующий отрезок представляет собой максимальную область безарбитражных цен, когда обе стороны контракта с обязательством должны рисковать, а оставшиеся области
– интервал арбитражных цен для покупателя опциона,
– интервал арбитражных цен для продавца опциона:


Рис. 2.8.1. Структура цен опциона на неполном рынке.
Например, если , то из полученной премии следует взять и на эту сумму построить стратегию такую, что , . Это возможно ввиду определения . Тогда

представляет чистый доход продавца. Другой случай для объяснения вышеприведенной структуры цен рассматривается аналогично.
На самом деле совпадает с , что дает принципиальный способ управления риском платежного обязательства и в ситуации неполного рынка.
Для нахождения верхней и нижней цены и платежного обязательства удобной оказывается методология суперхеджирования. Ее сущность состоит в следующем. Обязательство , возможно, довольно сложной структуры, доминируется другим, более простым, обязательством (п.н.), которое реплицируется самофинансируемой стратегией. Тогда начальный капитал этой стратегии может быть взят в качестве суперцены . Ясно, при этом, что так определенная цена оказывается завышенной. Далее, для каждой мартингальной вероятности имеем, что , а из определения и вытекает их совпадение с верхней и нижней суперценой.
Проиллюстрируем этот общий факт примером опциона покупателя c . Ввиду неотрицательности заметим, что . По неравенству Йенсена для любой мартингальной вероятности получаем (с учетом мартингальности относительно ), что

Следовательно,
,
а с учетом специфики метода рынка внешние неравенства становятся равенствами, приводящими к точным значениям верхней и нижней цен опциона покупателя.
Величина называется спрэдом и характеризует меру неполноты финансового рынка.
Неполные рынки представляют первый шаг отхода от идеальности -рынка ввиду более сложного вероятностного устройства цен рискового актива. Еще более реалистичными являются рынки с ограничениями. Рассмотрим одну из простейших моделей такого типа, называя её в дальнейшем -рынком.

где, как и ранее, – последовательность независимых случайных величин (доходностей актива ), принимающих два значения и с вероятностями и соответственно.
Активы и можно интегрировать как депозитный и кредитный счета, а – как акцию. Если , то приходим к -рынку.
Стратегия (портфель) на -рынке состоит из трех предсказуемых (т.е. зависящих в каждый момент времени только от ) последовательностей . Ее капитал равен
,
а его неотрицательность означает допустимость стратегии. При этом самофинансируемость означает, что
.
Чтобы избежать арбитраж, связанный с неодинаковостью ставок кредита и депозита, введем запрет на одновременное размещение капитала на депозитном и кредитном счетах, означающий, что .
Отождествим стратегию с пропорцией рискового капитала . В связи с указанным выше ограничением на класс используемых стратегий инвестор будет "вкладывать" долю своего капитала в депозитный счет, а – в кредитный. Следовательно, эволюция капитала такой допустимой стратегии должна описываться соотношением
,
.
Ранее, на полном -рынке цена платежного обязательства определялась однозначно из соображений безарбитражности. При переходе к неполному рынку эта однозначность терялась, и принцип безарбитражности приводил к интервалу безарбитражных цен с границами и . Подобное происходит и на -рынке, что иллюстрирует излагаемая ниже методология.
Для вычисления "разумных" цен платежного обязательства на -рынке посмотрим вспомогательный -рынок и найдем условия, при которых капитал стратегии с одной и той же рисковой пропорцией совпадают на обоих рынках. С этой целью рассмотрим некоторую постоянную такую, что , и определим -рынок:

где процентная ставка .
Согласно изложенной ранее теории, примененной к полному -рынку, цена платежного обязательства определяется однозначно как начальный капитал минимального хеджа и равна
,
где – усреднение по -мартингальной вероятности -рынка.
По пропорции построим соответствующие стратегии и на -рынке и -рынке. Оказывается, при совпадении начальных капиталов имеет место эквивалентность:
для всех
для всех .
Для доказательства заметим, что на -рынке эволюция капитала происходит согласно следующему рекуррентному уравнению:

Аналогично приходим к соответствующему рекуррентному уравнению и на -рынке:
.
Ясно теперь, что при равенстве начальных капиталов эти уравнения и приводят к нужной эквивалентности.
Установленная эквивалентность закладывает основу расчета цены платежного обязательства на -рынке, когда для постоянной строится -рынок. На нем берется минимальная хеджирующая стратегия и находится справедливая цена как начальный капитал этой стратегии.
Наконец, определяются величины и как вполне разумные и естественные значения для нижней и верхней цены на исходном рынке с ограничениями.
Рассмотрим реализацию этой методологии для опциона покупателя с . В этом случае определяется формулой Кокса-Росса-Рубинштейна и, как функция процентной ставки , является возрастающей. Следовательно, на -рынке нижняя и верхняя границы цен для могут быть найдены снова с помощью формулы Кокса-Росса-Рубинштейна, примененной на -рынках с процентной ставкой и соответственно:

Цены , иллюстрируют несимметричность позиций покупателя и продавца на -рынке.
Величина привлекательна для покупателя как та минимальная цена опциона, гарантирующая ему терминальную выплату.
Величина отражает точку зрения продавца в его стремлении продать опцион настолько дорого, чтобы не терялись его качества как инвестиционного инструмента для покупателя.
Для иллюстрации изложенного продолжим рассмотрение предыдущего примера с ценой акции и и 70 руб. с вероятностями и соответственно. Относительно ставок депозитного и кредитного счетов предположим , . Согласно полученным ранее формулам для и имеем, что

Следовательно, спрэд такого -рынка равен .
Если аналогичный подсчет провести для -рынка со ставками и , то получим и спрэд .
Таким образом, данный пример, в котором, как нетрудно проверить, условия эквивалентности и выполняются, наглядно показывает уменьшение спрэда как меры неидеальности -рынка при сближении ставок кредита и депозита.
Рассмотрим проблему нахождения оптимальной (в смысле максимизации среднего логарифмической функции полезности) на -рынке. Воспользуемся равенством капиталов допустимых стратегий и с пропорцией на исходном и вспомогательном -рынке при условии

Исходная задача оптимизации, таким образом, переносится на полный -рынок, где решается изложенным выше методом и дает оптимальную пропорцию
.
В "пограничных" случаях и эта пропорция равна
,
при условии и , соответственно.
Приведем решение подобного рода задачи в рамках уже рассмотренного ранее примера со ставками кредита и депозита и :

Значит, оптимальная пропорция должна держаться на уровне 0,13 при размещении остающегося капитала на депозитном счете со ставкой .
Наряду с наличием разницы между ставками кредита и депозита, накладывающем ограничения на класс выбираемых инвестиционных стратегий, на финансовом рынке могут присутствовать трансакционные издержки.
Для объяснения финансового анализа с учетом этого ограничения рассмотрим биномиальную модель -рынка

с параметрами .
Пусть, в отличие от предыдущих рассмотрений, на операцию по переводу средств из одного актива в другой наложено следующее ограничение в виде трансакционных издержек: цены покупки и продажи акции в момент равны, соответственно,
и ,
где – фиксированное число (параметр, коэффициент трансакционных издержек).
Опцион покупателя представляет собой обязательство эмитента продать в момент исполнения одну акцию по фиксированной цене . Получив причитающуюся ему премию , он перераспределяет средства на активах и в количествах , образуя тем самым стратегию хеджирования принятого по опциону финансового обязательства.
Предположим, что в терминальный момент цены покупки и продажи одинаковы и равны .
Перепишем обязательство по этому опциону следующим, более подходящим для наших целей здесь образом:

где и – количества единиц банковского счета и акций, необходимых эмитенту опциона для выполнения своего обязательства.
Покажем, что в рассматриваемой модели рынка с указанными трансакционными издержками существует единственная (справедливая) цена опциона покупателя.
Сначала установим механизм перераспределения средств из пары в при стоимости акции и величине банковского счета . Достаточно рассмотреть два случая (покупки и продажи акции ), когда производятся трансакционные, или комиссионные, выплаты.
Если , то необходимо продать акций и вырученные средства вложить в адекватное количество единиц банковского счета, что ведет к такому условию перераспределения

При обратном соотношении соответствующее перераспределение возможно при условии

Очевидно, что оба условия переписываются единым образом

С учетом сказанного сформулированное выше утверждение о цене опциона покупателя вытекает из следующей теоремы Бойля и Ворста.
Теорема. В рамках описанной выше модели с трансакционными издержками существует единственная реплицирующая опцион покупателя стратегия. При этом ее построение осуществляется построением реплицирующей стратегии для того же опциона на полном биномиальном рынке без трансакционных издержек со значениями доходности , определяемыми равенствами:
и
Доказательство. Применим метод обратной индукции. Для этого введем следующие обозначения для значений величин и (определяемых на основе знания информации ) на множествах и :


Записывая в этих обозначениях условие перераспределения средств, получим, что

Далее, путем вычитания второго уравнения из первого определим функцию:

Ясно, что задача построения и на основе знания величин и свелась к разрешимости выписанной выше системы, или к задаче о количестве нулей функции . Заметим, что непрерывна, линейна на и обладает положительной производной, равной, соответственно

Ввиду строгой монотонности и непрерывности существует единственное решение уравнения

Остается установить, что

или, эквивалентно, что
и
Ясно, что

Далее, записывая уравнения перераспределения средств для предыдущего шага индукции с учетом

находим, что


Вычитая одно равенство из другого, получаем, что

С учетом полученного соотношения приходим к такому неравенству

поскольку и .
Аналогичные соображения приводят к неравенству .
Для проверки базы индукции заметим, что в момент исполнения возможны два вида портфелей:
и
при этом в любом случае .
Пусть , то – единственное решение системы перераспределения средств и .
Если , то единственное решение принимает вид

с .
Случай тривиален: .
Теорема доказана.
В заключение этого параграфа приведем две группы типичных инвестиционных стратегий, базирующихся на опционах.
Первую группу составляют комбинации, "скомбинированные" из опционов разного типа. Вторую группу, спрэдов, образуют стратегии, построенные из опционов одного вида.
Комбинации: стрэддл, стрэнгл, стрэп, стрип.
Стреддл – это комбинация опционов покупателя и продавца на одни и те же активы с одинаковыми ценами исполнения и временем исполнения . Назовем функцией выигрыша-проигрыша и в случае покупателя определяющейся формулой
(см. рис. 2.8.2)


Рис. 2.8.2. Стрэддл.

Стрэнгл – комбинация опционов покупателя и продавца с одной датой исполнения , но с разными ценами исполнения и . Соответствующий график функции выигрыша-проигрыша представлен на рис. 2.8.3.
Ее аналитическое выражение имеет вид
.
Стрэп – комбинация из одного опциона продавца и двух опционов покупателя с одной датой исполнения N и разными, вообще говоря, ценами исполнения и . При имеем

и соответствующий график (рис. 2.8.4).


Рис. 2.8.3. Стрэнгл.


Рис. 2.8.4. Стрэп.

Стрип – комбинация из одного опциона покупателя и двух опционов продавца с одинаковыми датами исполнения , но разными, вообще говоря, ценами исполнения и . Вид и ее график представлены ниже (см. рис. 2.8.5).



Рис. 2.8.5. Стрип.

Спрэды – спрэд "быка" и спрэд "медведя".
Спрэд "быка" – это стратегия, состоящая в покупке опциона покупателя с ценой исполнения . Функция имеет график, представленный на рисунке 2.8.6.


Рис. 2.8.6. Спрэд быка.

Обычно спрэд "быка" применяется в расчете на повышение цен акций.
Спрэд "медведя" – стратегия, представляющая собой продажу опциона покупателя с ценой исполнения . Применяется при повышении курса акций. Вид функции выигрыша-проигрыша и ее график представлены ниже (см. рис. 2.8.7).



Рис. 2.8.7. Спрэд медведя.



ОГЛАВЛЕНИЕ