ОГЛАВЛЕНИЕ

Хеджирование платежных обязательств в среднем квадратическом.

Рассмотрим -рынок, вообще говоря, неполный и будем изучать платежные обязательства на временном интервале . Из общей схемы расчетов на неполном рынке известно, что (совершенное) хеджирование требует в этом случае расширения класса на множество стратегий с потреблением.
Другой подход к решению проблемы хеджирования данного платежного обязательства был предложен Фельмером и Зондерманом. Их идея – это синтез идеи обычного (совершенного) хеджирования и портфельного инвестирования (с квадратичной "функцией полезности"). Для объяснения их подхода начнем с одношаговой модели рынка. Обозначим – дисконтированную величину обязательства . В начальный момент хеджер (продавец контракта с выплатой ) формирует портфель с капиталом

Соответственно, для дисконтированной величины этого капитала имеем, что
,
где .
В следующий момент рыночные цены изменяются, и хеджер меняет компоненту на . В соответствии с этим величина капитала становится равной

где должна быть найдена из условия реплицирования
или
Таким образом, нахождение предполагаемой "оптимальной" стратегии хеджирования сводится к построению . Для этого определим следующую ценовую последовательность :

Структура ее имеет ясный смысл: величина должна быть уплачена держателю опциона, – это "выигрыш-проигрыш" от использования на рынке стратегии . Желание минимизировать ценовую последовательность с целью идентификации приводит к следующей экстремальной проблеме: найти такую, что

Далее, если , то дисперсия имеет единственную точку минимума

и, следовательно,

Также естественна задача минимизации

решение которой доставляется с помощью уравнения

Рассмотрим теперь общий случай произвольного временного горизонта . Как это ясно уже из 1-шаговой модели, стратегии должны быть таковы, что определяется по "информации" (предсказуемость), а – по "информации" .
Для дисконтированного капитала мы имеем, что

Стратегию назовем допустимой, если выполнено равенство
или
Цена, или стоимость, такой стратегии в момент определяется разностью

Предполагая с целью упрощений выкладок, что исходная вероятность является мартингальной ( ), определим следующую риск-последовательность

При этом ее начальное значение будем называть риском стратегии .
Заметим, что в случае самофинансируемой стратегии ее (дисконтированный) капитал имеем вид

и, значит, ценовая последовательность постоянна.
Будем решать задачу минимизации риска в классе всех допустимых в указанном выше смысле стратегий.
Предполагая, что – квадратично-интегрируемый мартингал и рассмотрим еще один мартингал

Докажем следующее разложение Кунита-Ватанабе, играющее ключевую роль в решении поставленной задачи:

где – предсказуемая последовательность, а мартингалы и ортогональны:

Для доказательства положим

в качестве искомой предсказуемой последовательности для этого разложения. Обозначая , находим, что – мартингал как разность двух других мартингалов.
Далее, по неравенству Коши-Буняковского имеем, что

и, следовательно, – также квадратично-интегрируемый мартингал.
Покажем, что произведение

является мартингалом.
Этот факт сводится к равенству

которое вытекает непосредственно из вида

Используя мартингальность произведения и предсказуемость , находим, что

Следовательно, ортогонален и и .
Прямой проверкой устанавливается, что разложение Кунита-Ватанабе единственно.
Для минимизации риска заметим, что должна быть равна , поскольку – мартингал. Более того, величина не зависит от изменений "банковской" компоненты стратегии .
Переписывая в следующей форме

мы приходим к заключению, что искомая риск-минимизирующая стратегия определяется единственно возможным способом:
, .
Те же аргументы приводят нас к соответствующему результату для риск-последовательности , равной .
Как результат приходим к общим формулам для оптимальной стратегии :
, , .
Для полноты изложения найдем цену выбранной стратегии :

Этот вид показывает мартингальность цены. Такие стратегии называют самофинансируемыми в среднем.
В качестве применения изложенного метода хеджирования приведем следующий пример.
Рассмотрим одношаговый -рынок с процентной ставкой и доходностью акций

С эволюцией цены акции на указанном рынке свяжем страховой контракт на дожитие со сроком действия 1 год и выплатами, равными при дожитии до этого момента держателя полиса. Будем считать вероятность смерти в течение года 0.004, и находить количество акций и начальную цену соответствующего полиса из минимизации и .
Ясно, что
и
.
Обозначая дисконтированное значение выплат через и
{держатель проживет > года},
получим, что

Далее, изменение дисконтированного значения цены акций имеет вид

и, следовательно, искомое значение количества акций равно



Искомый начальный капитал

Заметим, что в отсутствие дополнительного источника риска, связанного со смертью застрахованного (вероятность смерти равно 0) находим самофинансируемую реплицирующую стратегию из условий





ОГЛАВЛЕНИЕ