ОГЛАВЛЕНИЕ

Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.

Поскольку цены акций являются положительными, то всегда можно их представить в экспоненциальном виде:

где ,

С другой стороны, из рекуррентных уравнений эволюции цен акций и определения стохастических экспонент следует, что

где для удобства в дальнейшем мы обозначили
.
Собирая вместе оба этих представления цен, приходим к соотношению между двумя стохастическими последовательностями и :

С помощью разложения Дуба представим , где , , – предсказуема, а последовательность образует мартингал .
Значит, в исходной модели цены акций можно переписать в виде

и считать заданными на , где .
Пусть стохастическая последовательность образует гауссовское семейство независимых случайных величин со средними и дисперсиями :

Вводя стандартные гауссовские случайные величины , перепишем в виде:

Ясно, что в этом, гауссовском, случае ранее введенные и имеют конкретную форму:
– детерминированная последовательность,
– гауссовский мартингал
с квадратичной детерминированной характеристикой
.
При этом будем считать, что

Определим стохастическую последовательность

Утверждается, что – мартингал относительно исходной вероятности .
Это утверждение вытекает из нижеследующих рассмотрений с использованием независимости гауссовских случайных величин
.
Ясно, во-первых, что

Во-вторых, (п.н.) для

и, следовательно, является мартингалом.
Далее, и , поэтому с помощью можно корректно определить "новую" вероятность :

Вычисляя

заключаем, что является относительно гауссовской последовательностью случайных величин с нулевым средним и дисперсией .
Независимость вытекает из следующего равенства

В качестве важнейшего следствия получаем такой вариант теоремы Гирсанова, играющей исключительно важную роль в количественном финансовом анализе:
Если , независимы относительно , то относительно
и независимы.
Перейдем к изучению следующей дискретной гауссовской модели финансового -рынка:

где неотрицательные детерминированные последовательности (процентная ставка банковского счета) и таковы, что
В контексте развитой выше теории нам необходимо изучить вопрос, когда некоторая вероятность является мартингальной для введенной модели рынка.
Будем строить искомую вероятность с помощью следующего преобразования Эсшера:

где
,
– некоторая детерминированная последовательность, подлежащая построению.
Для этого запишем мартингальное свойство для относительно вероятности :

Последнее равенство эквивалентно

где .
Принимая во внимание форму плотности , приходим к следующим соотношениям:

и


Поскольку , то

и, следовательно, мы получаем

Используя такое , находим, что

Последнее приводит нас к нахождению
и

где .
Рассмотрим в целях технических упрощений несколько более частную гауссовскую модель -рынка:

где
– независимые случайные величины на стохастическом базисе

с .
Представим по аналогии с примером в параграфе 5, что на этом рынке работает страховая компания, предлагая своим клиентам договор "чистого дожития" до даты . Пусть компания имеет страхователей, согласившихся на такой договор, и образующих группу людей в возрасте и количестве . Разумно считать эту группу однородной, характеризовать страхователей их временами жизни , которые считаются заданными на другом пространстве и независимыми. Фильтрацию зададим естественным образом .
Обозначим – условную
вероятность дожития -ым страхователем до возраста , начиная с .
Из формулы Байеса вытекает, что

Обозначим случайный процесс
,
представляющий собой "счетчик" смертей в рассматриваемой группе страхователей.
Ясно, что

Согласно контракту компания выплатит каждому страхователю величину
,
где – некоторая конкретизированная в договоре функция, если страхователь доживет до даты . Дисконтированная величина общей выплаты компании равна

где .
Для того, чтобы оценить указанный контракт (т.е. рассчитать указанное платежное обязательство, имеющее страховую компоненту), рассмотрим новый стохастический базис

Рассматривая стохастические последовательности и на этом базисе, мы автоматически получим их независимость, что вполне соответствует смыслу поставленной задачи – ведь продолжительность жизни страхователя и цены финансового рынка вряд ли сильно зависят друг от друга.
Согласно предыдущему мы знаем, что новая вероятность с плотностью

является мартингальной на рассматриваемом -рынке. Полагая , мы приходим к вероятности на , которая "сохраняет" мартингальность отношения и "оставляет" прежними распределения .
Применим для нахождения подходящей премии по контракту методологию среднеквадратического хеджирования описанного выше платежного обязательства и получим, что



Здесь мы воспользовались равенством и независимостью цен и времен жизни .
Оптимальная стратегия и ее капитал имеют вид:

где

определяет соответствующую страховую премию, получаемую компанией от всей группы страхователей.
В целях нахождения конкретных формул рассмотрим три случая.
Первое, возьмем в качестве и найдем, что

При этом премия идентифицируется величиной

а риск такой стратегии считается непосредственно:

где – вероятность смерти в течение следующего после года.
В частности, из последней формулы вытекает
при
что означает пренебрежимую малость риска такого контракта для компании, если группа страхователей достаточно большая.
Второе, и в этом случае

что свидетельствует о необходимости инвестирования в банковский счет. Риск-последовательность здесь такова

При этом риск

и снова при .
Третье, Переписывая мы приходим к необходимости подсчета
и
Для второго условного ожидания (прогноза) имеем, что

где относительно , – гауссовская случайная величина с соответствующими параметрами.
Заметим, что для и постоянных , и имеем равенство
где
– стандартное нормальное распределение.
Поэтому получаем, что

Замечание. Из только что выведенной формулы (для ) вытекает формула

Это и есть дискретный вариант знаменитой формулы Блэка-Шоулса для цены опциона покупателя.
Обратимся теперь к первому условному ожиданию и получим, что

Замечая для равенство

можно переписать вышеприведенное выражение таким образом

В результате получаем следующие конкретные формулы для капитала оптимальной стратегии и ее структуры:







ОГЛАВЛЕНИЕ